Эллиптическое распределение - Elliptical distribution

В вероятности и статистики , эллиптическая распределение является любой член широкого семейства вероятностных распределений , обобщающие многомерное нормальное распределение . Интуитивно понятно, что в упрощенном двух- и трехмерном случае совместное распределение образует эллипс и эллипсоид, соответственно, на графиках изоплотности.

В статистике нормальное распределение используется в классическом многомерном анализе , в то время как эллиптические распределения используются в обобщенном многомерном анализе для изучения симметричных распределений с тяжелыми хвостами , такими как многомерное t-распределение , или легкими (по сравнению с нормальным распределение). Некоторые статистические методы, которые изначально были мотивированы изучением нормального распределения, имеют хорошую производительность для общих эллиптических распределений (с конечной дисперсией), особенно для сферических распределений (которые определены ниже). Эллиптические распределения также используются в надежной статистике для оценки предлагаемых многомерных статистических процедур.

Определение

Эллиптические распределения определяются в терминах характеристической функции теории вероятностей. Случайный вектор в евклидовом пространстве имеет эллиптическое распределение, если его характеристическая функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению (для каждого вектора-столбца ) ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ phi _ {X- \ mu} (t) = \ psi (t '\ Sigma t)}$

для некоторого параметра местоположения , некоторой неотрицательно определенной матрицы и некоторой скалярной функции . Определение эллиптических распределений для реальных случайных векторов было расширено для размещения случайных векторов в евклидовых пространств над полем из комплексных чисел , поэтому облегчая применение в анализе временных рядов . Доступны вычислительные методы для генерации псевдослучайных векторов из эллиптических распределений, например, для использования в моделировании Монте-Карло . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ psi}$

Некоторые эллиптические распределения альтернативно определяются в терминах их функций плотности . Эллиптическое распределение с функцией плотности f имеет вид:

${\ Displaystyle е (х) = к \ cdot g ((х- \ му) '\ Sigma ^ {- 1} (х- \ му))}$

где - нормализующая константа , - -мерный случайный вектор со средним вектором (который также является средним вектором, если последний существует), и является положительно определенной матрицей, которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Примеры

Примеры включают следующие многомерные распределения вероятностей:

• Многомерное нормальное распределение
• Многомерное t -распределение
• Симметричное многомерное стабильное распределение
• Симметричное многомерное распределение Лапласа
• Многовариантное логистическое распределение
• Многомерное симметричное общее гиперболическое распределение

Характеристики

В 2-мерном случае, если плотность существует, каждый локус изоплотности (набор пар x ₁ , x _2, каждая из которых дает конкретное значение ) является эллипсом или объединением эллипсов (отсюда и название эллиптического распределения). В более общем смысле, для произвольного n локусы изоплотности являются объединениями эллипсоидов . Все эти эллипсоиды или эллипсы имеют общий центр μ и являются масштабированными копиями (гомотетами) друг друга. ${\ displaystyle f (x)}$

Многомерное нормальное распределение является частным случаем , в котором . Хотя многомерная нормаль не ограничена (каждый элемент может принимать сколь угодно большие положительные или отрицательные значения с ненулевой вероятностью, потому что для всех неотрицательных ), в общем случае эллиптические распределения могут быть ограниченными или неограниченными - такое распределение ограничено, если для все больше, чем некоторая ценность. ${\ Displaystyle г (г) = е ^ {- г / 2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle e ^ {- z / 2}> 0}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle g (z) = 0}$${\ displaystyle z}$

Существуют эллиптические распределения с неопределенным средним значением , например, распределение Коши (даже в одномерном случае). Поскольку переменная x входит в функцию плотности квадратично, все эллиптические распределения симметричны относительно${\ displaystyle \ mu.}$

Если два подмножества совместно эллиптического случайного вектора некоррелированы , то, если их средние существуют, они являются средними независимо друг от друга (среднее значение каждого подвектора, обусловленное значением другого подвектора, равно безусловному среднему).

Если случайный вектор X распределен эллиптически, то DX также будет распределен для любой матрицы D с полным рангом строки . Таким образом, любая линейная комбинация компонентов X является эллиптической (хотя и не обязательно с таким же эллиптическим распределением), и любое подмножество X является эллиптическим.

Приложения

Эллиптические распределения используются в статистике и экономике.

В математической экономике эллиптические распределения использовались для описания портфелей в математических финансах .

Статистика: обобщенный многомерный анализ

В статистике многомерное нормальное распределение (Гаусса) используется в классическом многомерном анализе , в котором большинство методов оценки и проверки гипотез основаны на нормальном распределении. В отличие от классического многомерного анализа, обобщенный многомерный анализ относится к исследованию эллиптических распределений без ограничения нормальности.

Для подходящих эллиптических распределений некоторые классические методы по-прежнему обладают хорошими свойствами. При предположении конечной дисперсии справедливо расширение теоремы Кохрана (о распределении квадратичных форм).

Сферическое распределение

Эллиптическое распределение с нулевым средним и дисперсией в форме, где - единичная матрица, называется сферическим распределением . Для сферических распределений были расширены классические результаты по оценке параметров и проверке гипотез. Аналогичные результаты справедливы для линейных моделей , а также для сложных моделей (особенно для модели кривой роста ). Анализ многомерных моделей использует полилинейную алгебру (в частности, произведения Кронекера и векторизацию ) и матричное исчисление . ${\ displaystyle \ alpha I}$${\ displaystyle I}$

Надежная статистика: асимптотика

Другое использование эллиптических распределений - это надежная статистика , в которой исследователи изучают, как статистические процедуры работают с классом эллиптических распределений, чтобы получить представление о производительности процедур при решении даже более общих проблем, например, используя ограничивающую теорию статистики (" асимптотика »).

Экономика и финансы

Эллиптические распределения важны в теории портфелей, потому что, если доходность всех активов, доступных для формирования портфеля, совместно эллиптически распределена, то все портфели можно полностью охарактеризовать своим расположением и масштабом, то есть любыми двумя портфелями с одинаковым расположением и масштабом портфеля. доходность имеет идентичное распределение доходности портфеля. Различные функции анализа портфеля, включая теоремы разделения паевых инвестиционных фондов и модель ценообразования капитальных активов , применимы для всех эллиптических распределений.

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение