Евклида элементы - Euclid's Elements

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Элементы
Титульный лист первой английской версии «Элементов Евклида» сэра Генри Биллингсли, 1570 (560x900) .jpg
Фронтиспис первой английской версии сэра Генри Биллингсли о Евклида Элементов , 1570
Автор Евклид
Язык Древнегреческий
Предмет Евклидова геометрия , элементарная теория чисел , несоизмеримые линии
Жанр Математика
Дата публикации
c. 300 г. до н.э.
Страницы 13 книг

Элементы ( древнегреческий : Στοιχεῖον Stoikheîon ) представляет собой математический трактат , состоящий из 13 книг , приписываемых древнего греческого математика Евклида в Александрии , Птолемеев Египет с. 300 г. до н. Э. Это собрание определений, постулатов, предложений ( теорем и построений ) и математических доказательств предложений. Книги охватывают плоскую и твердую евклидову геометрию , элементарную теорию чисел и несоизмеримые прямые. Элементы - это самый старый из дошедших до нас крупномасштабных дедуктивных методов математики . Он оказался важным инструментом в развитии логики и современной науки , и его логическая строгость не была превзойдена до 19 века.

« Начала » Евклида называют самым успешным и влиятельным учебником из когда-либо написанных. Это была одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретения печатного станка, и, по оценкам, она уступала только Библии по количеству изданий, опубликованных с момента первой печати в 1482 году, число которых достигло более тысячи. . На протяжении веков, когда квадривиум был включен в учебную программу всех студентов университетов, от всех студентов требовалось знание хотя бы части Элементов Евклида . Только в XX веке, когда его содержание повсеместно преподавалось в других школьных учебниках, он перестал считаться чем-то, что читали все образованные люди.

Геометрия стала неотъемлемой частью стандартного образования английского джентльмена в восемнадцатом веке; к викторианскому периоду он также становился важной частью образования ремесленников, детей в школах-интернатах, колониальных подданных и, в гораздо меньшей степени, женщин. ... Стандартным учебником для этой цели был не что иное, как «Элементы» Евклида .

История

Фрагмент Элементов Евклида на части Oxyrhynchus papyri

Основа в более ранней работе

Иллюминация из рукописи, основанной на переводе
Элементов Аделарда из Бата , ок. 1309–1316; Перевод Аделарда - старейший из сохранившихся переводов Элементов на латинский язык, сделанный в работе XII века и переведенный с арабского языка.

Ученые считают, что « Элементы» в значительной степени представляют собой сборник предложений, основанных на книгах более ранних греческих математиков.

Прокл (412–485 гг. Н. Э.), Греческий математик, живший примерно через семь веков после Евклида, написал в своем комментарии к Элементам : «Евклид, который собрал воедино элементы , собрал многие из теорем Евдокса , усовершенствовал многие из Теэтета », и также доводя до исчерпывающей демонстрации то, что его предшественники лишь в некоторой степени слабо доказали ».

Пифагор (ок. 570–495 до н. Э.), Вероятно, был источником большинства книг I и II, Гиппократ из Хиоса (ок. 470–410 до н. Э., Не более известный Гиппократ из Кос ) для книги III и Евдокс Книдский (ок. 408–355 до н.э.) для книги V, а книги IV, VI, XI и XII, вероятно, были созданы другими пифагорейскими или афинскими математиками. Элементы могут быть основаны на более раннем учебнике Гиппократа Хиоса, который также может быть создавшим использование букв для обозначения цифр.

Передача текста

В четвертом веке нашей эры Теон Александрийский выпустил издание Евклида, которое было настолько широко использовано, что стало единственным сохранившимся источником до того, как в 1808 году Франсуа Пейрар обнаружил в Ватикане рукопись, не принадлежащую Теону. Эта рукопись, рукопись Хейберга , сделана в византийской мастерской около 900 года и является основой современных изданий. Papyrus Oxyrhynchus 29 - крошечный фрагмент еще более древней рукописи, но содержит только одно утверждение.

Хотя это известно, например, Цицерону , не существует никаких записей о том, что текст был переведен на латынь до Боэция в пятом или шестом веке. Около 760 г. арабы получили элементы от византийцев; эта версия была переведена на арабский язык при Харуне аль Рашиде ок. 800. Византийский ученый Аретас заказал копию одной из сохранившихся греческих рукописей Евклида в конце девятого века. Хотя элементы были известны в Византии, они были потеряны для Западной Европы примерно до 1120 года, когда английский монах Аделард из Бата перевел их на латынь с арабского перевода.

Евклид - Elementorum libri XV Paris, Hieronymum de Marnef & Guillaume Cavelat, 1573 г. (второе издание после изд. 1557 г.); in 8: 350, (2) с. ТОМАС – СТЕНФОРД, Ранние издания « Элементов Евклида» , № 32. Упоминается в переводе Т.Л. Хита. Частная коллекция Гектор Зенил.

Первое печатное издание появилось в 1482 году (основано на издании Кампана Новары за 1260 год), и с тех пор оно было переведено на многие языки и опубликовано примерно в тысяче различных изданий. Греческое издание Теона было восстановлено в 1533 году. В 1570 году Джон Ди предоставил широко уважаемое «Математическое предисловие» вместе с обильными примечаниями и дополнительными материалами к первому английскому изданию Генри Биллингсли .

Копии греческого текста все еще существуют, некоторые из них можно найти в Ватиканской библиотеке и Бодлианской библиотеке в Оксфорде. Доступные рукописи разного качества и неизменно неполные. Путем тщательного анализа переводов и оригиналов были выдвинуты гипотезы о содержании исходного текста (копии которого больше не доступны).

Древние тексты, которые относятся к самим Элементам , и к другим математическим теориям, которые были актуальны на момент написания, также важны в этом процессе. Такой анализ проводится JL Heiberg и сэром Thomas Little Heath в их редакциях текста.

Также важны схолии или аннотации к тексту. Эти дополнения, которые часто отличались от основного текста (в зависимости от рукописи), постепенно накапливались с течением времени по мере того, как мнения расходились по поводу того, что заслуживает объяснения или дальнейшего изучения.

Влияние

Страница с полями из первого печатного издания Elements , напечатанного Эрхардом Ратдольтом в 1482 году.

Элементы до сих пор считается шедевром в применении логики к математике . В историческом контексте он оказался чрезвычайно влиятельным во многих областях науки . Ученые Николай Коперник , Иоганн Кеплер , Галилео Галилей , Альберт Эйнштейн и сэр Исаак Ньютон находились под влиянием Элементов и применяли свои знания о них в своей работе. Математики и философы, такие как Томас Гоббс , Барух Спиноза , Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , попытались создать свои собственные фундаментальные «Элементы» для своих соответствующих дисциплин, приняв аксиоматизированные дедуктивные структуры, представленные работой Евклида.

Строгая красота евклидовой геометрии многими воспринималась в западной культуре как проблеск потусторонней системы совершенства и определенности. Авраам Линкольн хранил копию Евклида в своей седельной сумке и изучал ее поздно ночью при свете лампы; он рассказал, что сказал себе: «Из тебя никогда не получится стать юристом, если ты не понимаешь, что означает демонстрация; и я оставил свое положение в Спрингфилде, пошел домой, в дом моего отца, и оставался там, пока не смог сделать какое-либо предложение в шесть книг Евклида в поле зрения ". Эдна Сент-Винсент Миллэй написала в своем сонете « Евклид один только взглянул на красоту обнаженной »: «О, ослепительный час, о святой, ужасный день, Когда первый луч в его видении засиял Анатомированным светом!». Альберт Эйнштейн вспомнил копию Элементов и магнитный компас как два подарка, которые оказали на него большое влияние в детстве, назвав Евклида «священной маленькой книгой по геометрии».

Успех « Элементов» в первую очередь связан с логическим изложением большей части математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала не принадлежит ему оригиналу, хотя многие доказательства принадлежат ему. Однако систематическое развитие Евклида своего предмета от небольшого набора аксиом до глубоких результатов и последовательность его подхода во всех элементах способствовали его использованию в качестве учебного пособия в течение примерно 2000 лет. Элементы до сих пор влияет на современные геометрии книги. Более того, ее логический, аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.

В современной математике

Одним из наиболее заметных влияний Евклида на современную математику является обсуждение постулата параллельности . В Книге I Евклид перечисляет пять постулатов, пятый из которых предусматривает:

Если линейный сегмент пересекает две прямые линии, образующие два внутренних угла на одной стороне, сумма которых меньше двух прямых углов , то две прямые, если они растянуты бесконечно, встречаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.

Различные версии постулата параллельности приводят к разной геометрии.

Этот постулат мучил математиков на протяжении веков из-за его кажущейся сложности по сравнению с четырьмя другими постулатами. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат на основе четырех других, но они так и не увенчались успехом. В конце концов, в 1829 году математик Николай Лобачевский опубликовал описание острой геометрии (или гиперболической геометрии ), геометрии, которая приняла другую форму параллельного постулата. Фактически возможно создать действительную геометрию без пятого постулата полностью или с различными версиями пятого постулата ( эллиптическая геометрия ). Если принять пятый постулат как данность, результатом будет евклидова геометрия .

СОДЕРЖАНИЕ

Резюме Содержание Евклида Элементов
Книга я II III IV V VI VII VIII IX Икс XI XII XIII Итоги
Определения 23 2 11 7 18 4 22 - - 16 28 год - - 131
Постулаты 5 - - - - - - - - - - - - 5
Общие понятия 5 - - - - - - - - - - - - 5
Предложения 48 14 37 16 25 33 39 27 36 115 39 18 18 465

Евклидов метод и стиль изложения

• «Провести прямую линию из любой точки в любую точку».
• «Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием».

Евклид, Элементы , Книга I, Постулаты 1 и 3.

Анимация, показывающая, как Евклид построил шестиугольник (Книга IV, предложение 15). Каждую двумерную фигуру в Элементах можно построить, используя только циркуль и линейку.
Кодекс Ватикана 190

Аксиоматический подход и конструктивные методы Евклида оказали большое влияние.

Многие предложения Евклида были конструктивными, они демонстрировали существование некоторой фигуры, подробно описывая шаги, которые он использовал для создания объекта с помощью циркуля и линейки . Его конструктивный подход проявляется даже в постулатах его геометрии, поскольку первый и третий постулаты, констатирующие существование прямой и окружности, конструктивны. Вместо того чтобы утверждать, что линии и круги существуют согласно его предыдущим определениям, он заявляет, что можно «построить» линию и круг. Также кажется, что для того, чтобы использовать фигуру в одном из своих доказательств, ему необходимо построить ее в более раннем предложении. Например, он доказывает теорему Пифагора, сначала начертав квадрат на сторонах прямоугольного треугольника, но только после построения квадрата на заданной прямой одним утверждением ранее.

Как было принято в древних математических текстах, когда предложение требовало доказательства в нескольких различных случаях, Евклид часто доказывал только один из них (часто самый трудный), оставляя остальные на усмотрение читателя. Более поздние редакторы, такие как Теон, часто вставляли собственные доказательства этих случаев.

Предложения, нанесенные линиями, соединенными верхними аксиомами, и другими предыдущими предложениями, помеченными книгой.

Изложение Евклида было ограничено математическими идеями и обозначениями, принятыми в его эпоху, и это в некоторых местах вызывает неудобство для современного читателя. Например, не существовало понятия угла, превышающего два прямых угла, число 1 иногда трактовалось отдельно от других положительных целых чисел, а поскольку умножение трактовалось геометрически, он не использовал произведение более трех разных чисел. Геометрическая трактовка теории чисел могла быть вызвана тем, что альтернативой была бы чрезвычайно неудобная александрийская система чисел .

Представление каждого результата дано в стилизованной форме, которая хоть и не была изобретена Евклидом, но признана типично классической. Он состоит из шести различных частей: первая - это «высказывание», в котором в общих чертах формулируется результат (т. Е. Формулировка предложения). Затем идет «разметка», которая дает фигуру и обозначает определенные геометрические объекты буквами. Затем идет «определение» или «спецификация», которые повторяют формулировку в терминах конкретной фигуры. Затем следует «строительство» или «машины». Здесь исходный рисунок расширен для доказательства. Затем следует само «доказательство». Наконец, «заключение» связывает доказательство с высказыванием, формулируя конкретные выводы, сделанные в доказательстве, в общих условиях высказывания.

Не дается никаких указаний на метод рассуждений, которые привели к результату, хотя Данные действительно предоставляют инструкции о том, как подходить к типам проблем, встречающихся в первых четырех книгах Элементов . Некоторые ученые пытались найти ошибку в использовании Евклидом цифр в своих доказательствах, обвиняя его в написании доказательств, которые зависели от конкретных нарисованных фигур, а не от общей лежащей в основе логики, особенно в отношении предложения II книги I. Однако первоначальное доказательство Евклида этого Предложение является общим, действительным и не зависит от рисунка, используемого в качестве примера для иллюстрации одной данной конфигурации.

Критика

Список аксиом Евклида в « Элементах» не был исчерпывающим, но представлял собой наиболее важные принципы. В его доказательствах часто используются аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом. Более поздние редакторы вставили неявные аксиоматические предположения Евклида в список формальных аксиом.

Например, в первом построении Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не была ни постулирована, ни доказана: две окружности с центрами на расстоянии их радиуса будут пересекаться в двух точках. Позже, в четвертой конструкции, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг над другом), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они конгруэнтны ; во время этих размышлений он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства не описаны явно в трактате. Если суперпозицию следует рассматривать как действенный метод геометрического доказательства, вся геометрия будет полна таких доказательств. Например, предложения I.1 - I.3 можно тривиально доказать с помощью суперпозиции.

Математик и историк У. В. Роуз Болл рассмотрела критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [ Элементы ] были обычным учебником по этому предмету, порождает сильное предположение, что оно не является непригодным для этой цели».

Апокриф

В древности нередко приписывали прославленным авторам работы, написанные не ими. Таким образом, апокрифические книги XIV и XV Элементов иногда включались в собрание. Поддельная книга XIV, вероятно, была написана Гипсиклом на основе трактата Аполлония . Книга продолжает сравнение Евклида с правильными телами, вписанными в сферы, с главным результатом того, что соотношение поверхностей додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, такое же, как и соотношение их объемов, причем соотношение

Поддельная книга XV, вероятно, была написана, по крайней мере частично, Исидором Милетским . В этой книге рассматриваются такие темы, как подсчет числа ребер и телесных углов в правильных телах, а также определение меры двугранных углов граней, пересекающихся на ребре.

Редакции

Итальянский иезуит Маттео Риччи (слева) и китайский математик Сюй Guangqi (справа) опубликовали китайское издание Евклида (幾何原本) в 1607 году.
Доказательство теоремы Пифагора в книге Бирна « Начала Евклида», опубликованной в цветном варианте в 1847 году.

Переводы

В настоящее время в печати

  • Элементы Евклида - Все тринадцать книг собраны в одном томе , на основе перевода Хита, Green Lion Press ISBN   1-888009-18-7 .
  • Элементы: Книги I – XIII - Полные и Несокращенные, (2006) Перевод сэра Томаса Хита, Barnes & Noble ISBN   0-7607-6312-7 .
  • Тринадцать Книг Элементов Евклида , перевод и комментарии Хита, Томаса Л. (1956) в трех томах. Dover Publications. ISBN   0-486-60088-2 (том 1), ISBN   0-486-60089-0 (том 2), ISBN   0-486-60090-4 (том 3)

Бесплатные версии

  • Книга Евклида Elements Redux, том 1 , содержит книги I – III, основанные на переводе Джона Кейси.
  • Книга Евклида Elements Redux, том 2 , содержит книги IV – VIII, основанные на переводе Джона Кейси.

Рекомендации

Заметки

Цитаты

Источники

Внешние ссылки