Фруктовый сад Евклида - Euclid's orchard

Один угол сада Евклида, в котором деревья помечены координатой x их проекции на плоскость x + y = 1 .

В математике , неформально говоря, фруктовый сад Евклида представляет собой массив одномерных «деревьев» единичной высоты, посаженных в точках решетки в одном квадранте квадратной решетки . Более формально фруктовый сад Евклида - это набор отрезков от ( i , j , 0) до ( i , j , 1) , где i и j - положительные целые числа.

Вид сверху на один угол сада Евклида. Деревья, отмеченные сплошной синей точкой, видны из исходной точки.

Перспективный вид фруктового сада Евклида от истока. Красные деревья обозначают два ряда от главной диагонали.

Деревья , видимые от начала координат являются те , в узлах решетки ( т , п , 0) , где т и п являются взаимно простыми , то есть, где фракциям/пнаходится в сокращенном виде . Название « Евклидов фруктовый сад» происходит от алгоритма Евклида .

Если фруктовый сад проецируется относительно начала координат на плоскость x + y = 1 (или, что то же самое, нарисован в перспективе с точки обзора в начале координат), вершины деревьев образуют график функции Тома . Точка ( m , n , 1) проецируется на

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {m + n}}, {\ frac {n} {m + n}}, {\ frac {1} {m + n}} \ right).}$

Решение проблемы Базеля можно использовать, чтобы показать, что доля точек в сетке, на которых есть деревья, приблизительно равна и что ошибка этого приближения стремится к нулю в пределе, когда идет к бесконечности. ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle {\ tfrac {6} {\ pi ^ {2}}}}$${\ displaystyle n}$

Смотрите также

• Проблема непрозрачного леса

использованная литература

внешние ссылки

• Сад Евклида, задания и задачи для 9-11 классов , Texas Instruments Inc.
• Проблема, связанная с проектом Эйлера