Евклидово отношение - Euclidean relation
В математике , евклидовы отношения являются классом бинарных отношений , которые формализуют « Аксиома 1 » в Евклиде : «Величина , которые равны то же равна друг друг.»
Определение
Бинарное отношение R на множестве X является евклидовым (иногда называют правой евклидово ) , если она удовлетворяет следующему: для каждого в , б , с в X , если связан с Ь и с , то Ь связано с . Чтобы записать это в логике предикатов :
Двойственно, отношение R на X является левым евклидовым , если для каждого в , б , с в X , если б связан с и с связано с , то Ь связано с :
Характеристики
- Из-за коммутативности ∧ в антецеденте определения, aRb ∧ aRc даже влечет bRc ∧ cRb, когда R правоевклидово . Аналогично, bRa ∧ cRa влечет bRc ∧ cRb, когда R остается евклидовым.
- Свойство быть евклидовым отличается от транзитивности . Например, ≤ транзитивно, но не правильно евклидово, в то время как xRy, определяемое как 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2, не транзитивно, а правильно евклидово для натуральных чисел.
- Для симметричных отношений транзитивность, право-евклидовость и лево-евклидовость совпадают. Однако несимметричное отношение может быть как транзитивным, так и право-евклидовым, например, xRy определяется как y = 0.
- Отношение, которое одновременно является правом евклидовым и рефлексивным , также является симметричным и, следовательно, отношением эквивалентности . Точно так же каждое левое евклидово и рефлексивное отношение является эквивалентностью.
- Диапазон правых евклидовых отношений всегда подмножество его области . Сужение правого евклидовой относительно его диапазона всегда рефлексивный, и , следовательно , эквивалентность. Точно так же область левого евклидова отношения является подмножеством его диапазона, а ограничение левого евклидова отношения его областью является эквивалентностью.
- Отношение R является левым и правым евклидовым, если и только если область и диапазон значений R совпадают, и R является отношением эквивалентности на этом множестве.
- Правое евклидово отношение всегда квазитранзитивно , как и левое евклидово отношение.
- Связано право евклидового отношение всегда транзитивное; как и связное левое евклидово отношение.
- Если Х имеют по крайней мере 3 элемента, подключенное вправо евклидово отношение R на X не может быть антисимметричными , и ни может связное влево евклидово отношения на X . На двухэлементном множестве X = {0, 1}, например, отношение xRy, определенное посредством y = 1, является связным, правым евклидовым и антисимметричным, а xRy, определенным посредством x = 1, связным, левым евклидовым и антисимметричным.
- Отношение R на множестве X является правым евклидовым тогда и только тогда, когда ограничение R ' : = R | ran ( R ) является эквивалентностью, и для каждого x в X \ ran ( R ) все элементы, с которыми x связан под R , эквивалентны под R ' . Аналогично, R на X остается евклидовым тогда и только тогда, когда R ' : = R | dom ( R ) является эквивалентностью, и для каждого x в X \ dom ( R ) все элементы, связанные с x под R , эквивалентны под R ' .
- Левое евклидово отношение уникально слева тогда и только тогда, когда оно антисимметрично . Точно так же правое евклидово отношение уникально справа тогда и только тогда, когда оно антисимметрично.
- Левое евклидово и левое единственное отношение вакуумно транзитивно, так же как и правое евклидово и правое единственное отношение.
- Левое евклидово отношение квазирефлексивно слева . Для однозначных слева отношений верно и обратное. Соответственно, каждое правое евклидово отношение является правым квазирефлексивным, а каждое правое уникальное и правое квазирефлексивное отношение является правым евклидовым.