Уравнения Эйлера (динамика твердого тела) - Euler's equations (rigid body dynamics)

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви
Основы
Составы
Основные темы
Вращение
Ученые
Категории
v т е

В классической механики , вращение уравнения Эйлера являются векторное квазилинейный первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение , описывающее вращение твердого тела , с использованием вращающейся системе отсчета с его оси крепится к корпусу и параллельно тела главных осей инерции . Их общий вид:

${\ displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}.}$

где M - приложенные крутящие моменты , I - матрица инерции , а ω - угловая скорость вокруг главных осей.

В трехмерных главных ортогональных координатах они становятся:

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} & = M_ {1} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} & = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} & = M_ {3 } \ конец {выровнено}}}$

где M _k - компоненты приложенных крутящих моментов, I _k - главные моменты инерции, а ω _k - компоненты угловой скорости вокруг главных осей.

Мотивация и вывод

Начиная от второго закона Ньютона , в инерциальной системе отсчета (индексируются «в»), то производная по времени от момента импульса L равна приложенный крутящий момент

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {in}}} {dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {d} {dt }} \ left (\ mathbf {I} _ {\ text {in}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M} _ {\ text {in}}}$

где I _in - тензор момента инерции, рассчитанный в инерциальной системе отсчета. Хотя этот закон универсально верен, он не всегда полезен при решении для движения обычного вращающегося твердого тела, поскольку и I _in, и ω могут изменяться во время движения.

Поэтому перейдем к системе координат, закрепленной во вращающемся теле и выбранной так, чтобы ее оси были совмещены с главными осями тензора момента инерции . В этой системе отсчета по крайней мере тензор момента инерции постоянен (и диагонален), что упрощает вычисления. Как описано в моменте инерции , угловой момент L можно записать

${\ Displaystyle \ mathbf {L} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ L_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + L_ {2} \ mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} \ mathbf {e} _ {3} = I_ {1} \ omega _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + I_ {2} \ omega _ {2} \ mathbf {e } _ {2} + I_ {3} \ omega _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}$

где M _k , I _k и ω _k такие же, как указано выше.

Во вращающейся системе отсчета производная по времени должна быть заменена на (см. Производную по времени во вращающейся системе отсчета )

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} = \ mathbf {M}}$

где нижний индекс "rot" указывает, что он взят во вращающейся системе отсчета. Выражения для крутящего момента во вращающейся и инерциальной системах отсчета связаны соотношением

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ text {in}} = \ mathbf {Q} \ mathbf {M},}$

где Q - тензор вращения (не матрица вращения ), ортогональный тензор, связанный с вектором угловой скорости соотношением

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {v}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ mathbf {Q} ^ {- 1} {\ boldsymbol {v}}}$

для любого вектора v .

В общем случае подставляется L = Iω, а производные по времени берутся с учетом того, что тензор инерции, а также главные моменты не зависят от времени. Это приводит к общей векторной форме уравнений Эйлера

${\ displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}.}$

Если вращение главной оси

${\ Displaystyle L_ {к} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I_ {k} \ omega _ {k}}$

заменяется, а затем, взяв перекрестное произведение и используя тот факт, что главные моменты не меняются со временем, мы приходим к уравнениям Эйлера в компонентах в начале статьи.

Решения без крутящего момента

Для равных нулю RHS есть нетривиальные решения: прецессия без крутящего момента . Обратите внимание: поскольку I является постоянным (потому что тензор инерции представляет собой диагональную матрицу 3 × 3 (см. Предыдущий раздел), потому что мы работаем во внутренней системе отсчета, или потому что крутящий момент управляет вращением вокруг той же оси, так что I не является изменение), тогда мы можем написать ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ mathbf {I} {\ frac {d \ omega} {dt}} \ mathbf {\ hat {n}} = \ mathbf {I} \ alpha \, \ mathbf {\ hat {n}}}$

где

α называется угловым ускорением (или ускорением вращения ) вокруг оси вращения .${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

Однако, если I не является постоянным во внешней системе отсчета (т.е. тело движется и его тензор инерции не является постоянно диагональным), то мы не можем вынести I за пределы производной . В этом случае у нас будет прецессия без крутящего момента , так что I ( t ) и ω ( t ) изменяются вместе, так что их производная равна нулю. Это движение можно визуализировать с помощью конструкции Пуансо .

Обобщения

Эти уравнения также можно использовать, если оси, в которых

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {relative}}}$

не связаны с телом. Тогда ω следует заменить вращением осей вместо вращения тела. Однако по-прежнему требуется, чтобы выбранные оси оставались главными осями инерции. Эта форма уравнений Эйлера полезна для вращательно-симметричных объектов, которые позволяют свободно выбирать некоторые из главных осей вращения.

Смотрите также

• Углы Эйлера
• Эффект Джанибекова
• Момент инерции
• Конструкция Пуансо
• Жесткий ротор

Рекомендации

• CA Truesdell, III (1991) Первый курс рациональной механики сплошной среды. Vol. 1: Общие концепции , 2-е изд., Academic Press. ISBN  0-12-701300-8 . Секты. I.8-10.
• CA Truesdell, III и RA Toupin (1960) Классические теории поля , в Энциклопедии физики С. Флюгге (ред.) . Vol. III / 1: Основы классической механики и теории поля , Springer-Verlag. Секты. 166–168, 196–197 и 294.
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN  0-08-029141-4 ( мягкая обложка ).
• Гольдштейн Х. (1980) Классическая механика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Механика , 3-й. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-07392-7