Законы движения Эйлера - Euler's laws of motion

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви
Основы
Составы
Основные темы
Вращение
Ученые
Категории
v т е

В классической механике , законы Эйлера движений являются уравнением движения , которые проходят законы движения Ньютона для точечной частицы до твердого тела движения. Они были сформулированы Леонардом Эйлером примерно через 50 лет после того, как Исаак Ньютон сформулировал свои законы.

Обзор

Первый закон Эйлера

Первый закон Эйлера гласит, что скорость изменения количества движения p твердого тела равна равнодействующей всех внешних сил F _ext, действующих на тело:

F _ext = d p/dt.

Внутренние силы между частицами, составляющими тело, не способствуют изменению количества движения тела, поскольку существует равная и противоположная сила, приводящая к отсутствию результирующего эффекта.

Импульс твердого тела - это произведение массы тела на скорость его центра масс v _см .

Второй закон Эйлера

Второй закон Эйлера гласит, что скорость изменения углового момента L относительно точки, которая зафиксирована в инерциальной системе отсчета (часто в центре масс тела), равна сумме внешних силовых моментов ( моментов ), действующих на этом теле M примерно в этом месте:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = {d \ mathbf {L} \ over dt}}$.

Обратите внимание, что приведенная выше формула верна только в том случае, если и M, и L вычисляются относительно фиксированной инерциальной системы отсчета или системы, параллельной инерциальной системе координат, но закрепленной в центре масс. Для твердых тел, перемещающихся и вращающихся только в двух измерениях, это можно выразить как:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} _ {\ rm {cm}} \ times \ mathbf {a} _ {\ rm {cm}} m + I {\ boldsymbol {\ alpha}}}$,

где:

• r _см - вектор положения центра масс тела относительно точки, вокруг которой суммируются моменты,
• _см является линейным ускорением центра масс тела,
• m - масса тела,
• α - угловое ускорение тела, а
• I - момент инерции тела относительно его центра масс.

См. Также уравнения Эйлера (динамика твердого тела) .

Объяснение и вывод

Распределение внутренних сил в деформируемом теле не обязательно одинаково повсюду, т. Е. Напряжения меняются от одной точки к другой. Это изменение внутренних сил по всему телу регулируется вторым законом движения Ньютона о сохранении линейного и углового момента , которые для простейшего использования применяются к массовой частице, но распространяются в механике сплошной среды на тело с непрерывно распределенной массой. Для сплошных тел эти законы называются законами движения Эйлера . Если тело представить как совокупность дискретных частиц, каждая из которых подчиняется законам движения Ньютона, то уравнения Эйлера могут быть выведены из законов Ньютона. Однако уравнения Эйлера можно рассматривать как аксиомы, описывающие законы движения протяженных тел, независимо от распределения частиц.

Полная телесная сила, приложенная к сплошному телу с массой m , массовой плотностью ρ и объемом V , представляет собой объемный интеграл, проинтегрированный по объему тела:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {B} = \ int _ {V} \ mathbf {b} \, dm = \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV}$

где b - сила, действующая на тело на единицу массы ( размеры ускорения, ошибочно называемые «телесной силой»), а dm = ρ dV - бесконечно малый элемент массы тела.

Силы тела и контактные силы, действующие на тело, приводят к возникновению соответствующих моментов ( моментов ) этих сил относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент M относительно начала координат определяется выражением

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C}}$

где M _B и M _C соответственно указывают моменты, вызванные телесными и контактными силами.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат), действующих на тело, может быть задана как сумма интеграла объема и поверхности :

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ int _ {V} \ mathbf {a} \, dm = \ int _ {V} \ mathbf {a} \ rho \, dV = \ int _ {S} \ mathbf { t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C} = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {b} \ rho \, dV.}$

где т = т ( п ) называется поверхность тяги , интегрированная по поверхности тела, в свою очередь , п обозначает единичный вектор нормальный и направленный наружу к поверхности S .

Пусть система координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) - инерциальная система отсчета , r - вектор положения точечной частицы в непрерывном теле относительно начала системы координат, а v =d r/dt вектор скорости этой точки.

Первая аксиома или закон Эйлера (закон баланса количества движения или баланса сил) утверждает, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения количества движения p произвольной части сплошного тела во времени равна суммарной приложенной силе F, действующей на эта часть, и она выражается как

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} & = \ mathbf {F} \\ {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho \ mathbf {v} \, dV & = \ int _ {S} \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV. \\\ конец {выровнено}}}$

Вторая аксиома или закон Эйлера (закон баланса углового момента или баланса моментов) утверждает, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения углового момента L произвольной части сплошного тела равна суммарному приложенному крутящему моменту M, действующему на эта часть, и она выражается как

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} & = \ mathbf {M} \\ {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ rho \ mathbf {v} \, dV & = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {b} \ rho \, dV. \\\ конец {выровнен}}}$

Где - скорость, объем и производные от p и L - материальные производные . ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle V}$

Смотрите также

• Список тем имени Леонарда Эйлера
• Законы Эйлера вращения твердого тела
• Уравнения движения Ньютона – Эйлера с 6 компонентами, объединяющие два закона Эйлера в одно уравнение.

Рекомендации