Многочлены Фибоначчи - Fibonacci polynomials

В математике , то многочлены Фибоначчи являются многочленом последовательность , которую можно рассматривать как обобщение чисел Фибоначчи . Полиномы, сгенерированные аналогичным образом из чисел Люка , называются полиномами Люка .

Определение

Эти полиномы Фибоначчи определяются рекуррентным соотношением :

Многочлены Лукаса используют одно и то же повторение с разными начальными значениями:

Их можно определить для отрицательных показателей как

Примеры

Первые несколько полиномов Фибоначчи:

Первые несколько полиномов Лукаса:

Характеристики

  • Степень F n равна n  - 1, а степень L n равна n .
  • Числа Фибоначчи и Люка восстанавливаются путем вычисления полиномов при x  = 1; Числа Пелла восстанавливаются путем вычисления F n при x  = 2.
  • В обычные производящие функции для последовательностей являются:
  • Многочлены могут быть выражены в терминах последовательностей Люка как
  • Их также можно выразить через многочлены Чебышева и как
где - мнимая единица .

Идентичности

Как частные случаи последовательностей Люка, многочлены Фибоначчи удовлетворяют ряду тождеств, таких как

Выражения в закрытой форме, похожие на формулу Бине:

куда

являются решениями (по t )

Для многочленов Люка n > 0 имеем

Связь между многочленами Фибоначчи и стандартными базисными многочленами задается формулой

Например,

Комбинаторная интерпретация

Коэффициенты полиномов Фибоначчи можно определить по треугольнику Паскаля по «мелким» диагоналям (показаны красным). Суммы коэффициентов - это числа Фибоначчи.

Если F ( n , k ) - коэффициент при x k в F n ( x ), поэтому

тогда F ( n , k ) - это количество способов, которыми прямоугольник n −1 на 1 может быть выложен плиткой домино 2 на 1 и квадратом 1 на 1, так что будет использовано ровно k квадратов. Эквивалентно, F ( n , k ) - это количество способов записать n −1 в виде упорядоченной суммы, включающей только 1 и 2, так что 1 используется ровно k раз. Например, F (6,3) = 4 и 5 можно записать 4 способами: 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1. , как сумма, включающая только 1 и 2, при этом 1 используется 3 раза. Подсчитав, сколько раз 1 и 2 используются в такой сумме, очевидно, что F ( n , k ) равно биномиальному коэффициенту

когда n и k имеют противоположную четность. Это дает возможность считывать коэффициенты из треугольника Паскаля, как показано справа.

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки