Фолиант Декарта - Folium of Descartes

В геометрии , то лепестка Декарта является алгебраической кривой определяется уравнением

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} -3axy = 0 \,}$.

Название происходит от латинского слова folium, что означает « лист ».

История

Кривая была впервые предложена и изучена Рене Декартом в 1638 году. Ее притязание на известность связано с инцидентом в развитии математического анализа . Декарт предложил Пьеру де Ферма найти касательную к кривой в произвольной точке, поскольку Ферма недавно открыл метод нахождения касательных. Ферма легко решил проблему, чего не мог сделать Декарт. С момента изобретения исчисления наклон касательной можно легко найти с помощью неявного дифференцирования .

Построение кривой

Лист Декарта можно выразить в полярных координатах как

${\ displaystyle r = {\ frac {3a \ sin \ theta \ cos \ theta} {\ sin ^ {3} \ theta + \ cos ^ {3} \ theta}},}$

который нанесен слева. Это эквивалентно

${\ displaystyle r = {\ frac {3a \ sec \ theta \ tan \ theta} {1+ \ tan ^ {3} \ theta}}.}$

Другой метод - писать и решать за и в терминах . Это дает рациональные параметрические уравнения : ${\ displaystyle y = px}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle x = {{3ap} \ over {1 + p ^ {3}}}, \, y = {{3ap ^ {2}} \ over {1 + p ^ {3}}}}$.

Мы видим, что параметр связан с положением на кривой следующим образом:

• ${\ displaystyle p <-1}$соответствует , : правый, нижний, «крыло».${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle y <0}$
• ${\ displaystyle -1 <p <0}$соответствует , : слева, верхний «крыло».${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle y> 0}$
• ${\ displaystyle p> 0}$Соответствует , : петля кривой.${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle y> 0}$

Другой способ построения графика функции может быть получен из симметрии над . Симметрию можно увидеть прямо из его уравнения (x и y можно поменять местами). Например, применяя поворот на 45 ° по часовой стрелке, можно построить график функции симметрично относительно повернутой оси x. ${\ displaystyle y = x}$

Эта операция эквивалентна подстановке:

${\ displaystyle x = {{u + v} \ over {\ sqrt {2}}}, \, y = {{uv} \ over {\ sqrt {2}}}}$

и дает

${\ displaystyle v = \ pm u {\ sqrt {\ frac {3a {\ sqrt {2}} - 2u} {6u + 3a {\ sqrt {2}}}}}}$

График в декартовой системе дает лист, повернутый на 45 ° и, следовательно, симметричный по оси -оси. ${\ Displaystyle (и, v)}$${\ displaystyle u}$

Характеристики

Он образует петлю в первом квадранте с двойной точкой в начале координат и асимптотой.

${\ Displaystyle х + у + а = 0 \,}$.

Он симметричен относительно линии . Таким образом, два пересекаются в начале и в точке . ${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle (3a / 2,3a / 2)}$

Неявное дифференцирование дает формулу, по которой наклон касательной к этой кривой равен

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {ay-x ^ {2}} {y ^ {2} -ax}}}$

Используя любое из представленных выше полярных представлений, площадь внутренней части петли равна . Более того, площадь между «крыльями» кривой и ее наклонной асимптотой тоже равна . ${\ displaystyle 3a ^ {2} / 2}$${\ displaystyle 3a ^ {2} / 2}$

Отношение к трисектрисе Маклорена

Лепестка Декарта связана с трисектриса маклорена путем аффинного преобразования . Чтобы убедиться в этом, начните с уравнения

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 3axy \,}$,

и измените переменные, чтобы найти уравнение в системе координат, повернутой на 45 градусов. Это равносильно установке

${\ displaystyle x = {{X + Y} \ over {\ sqrt {2}}}, y = {{XY} \ over {\ sqrt {2}}}.}$

На плоскости уравнение имеет вид ${\ displaystyle X, Y}$

${\ displaystyle 2X (X ^ {2} + 3Y ^ {2}) = 3 {\ sqrt {2}} a (X ^ {2} -Y ^ {2})}$.

Если мы растянем кривую в направлении в несколько раз, она станет ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$

${\ displaystyle 2X (X ^ {2} + Y ^ {2}) = a {\ sqrt {2}} (3X ^ {2} -Y ^ {2}),}$

которое является уравнением трисектрисы Маклорена.

Примечания

использованная литература

• Дж. Деннис Лоуренс: Каталог специальных плоских кривых , 1972, Dover Publications. ISBN  0-486-60288-5 , стр. 106–108
• Джордж Ф. Симмонс : « Самоцветы исчисления: краткие жизни и памятная математика» , Нью-Йорк, 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN  0-07-057566-5 ; новое издание 2007 г., Математическая ассоциация Америки ( MAA )

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Фолиант Декарта" . MathWorld .
• "Folium of Descartes" в списке известных кривых MacTutor
• "Декартов фолиум" в MathCurve