анализ Фурье -Fourier analysis

Временной сигнал бас-гитары ноты ля открытой струны (55 Гц).
Преобразование Фурье временного сигнала бас-гитары ноты ля открытой струны (55 Гц). Анализ Фурье выявляет колебательные составляющие сигналов и функций .

В математике анализ Фурье ( / ˈ f ʊr i , -i ər / ) — это изучение того, как общие функции могут быть представлены или аппроксимированы суммами более простых тригонометрических функций . Анализ Фурье вырос из изучения рядов Фурье и назван в честь Жозефа Фурье , который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение теплообмена .

Предмет анализа Фурье охватывает широкий спектр математики. В науке и технике процесс разложения функции на колебательные составляющие часто называют анализом Фурье, а операцию восстановления функции из этих частей называют синтезом Фурье . Например, определение того, какие частоты компонентов присутствуют в музыкальной ноте, потребует вычисления преобразования Фурье выбранной музыкальной ноты. Затем можно было повторно синтезировать тот же звук, включив частотные компоненты, выявленные в анализе Фурье. В математике термин анализ Фурье часто относится к изучению обеих операций.

Сам процесс разложения называется преобразованием Фурье . Его результату, преобразованию Фурье , часто дается более конкретное имя, которое зависит от домена и других свойств преобразуемой функции. Более того, первоначальная концепция анализа Фурье со временем была расширена для применения ко все более и более абстрактным и общим ситуациям, и эта общая область часто известна как гармонический анализ . Каждое преобразование , используемое для анализа (см. список преобразований Фурье ), имеет соответствующее обратное преобразование, которое можно использовать для синтеза.

Чтобы использовать анализ Фурье, данные должны быть равномерно распределены. Были разработаны различные подходы для анализа данных с неравномерным интервалом, в частности, методы спектрального анализа наименьших квадратов (LSSA), которые используют подгонку синусоид по методу наименьших квадратов к выборкам данных, подобно анализу Фурье. Анализ Фурье, наиболее часто используемый в науке спектральный метод, обычно усиливает долгопериодический шум в записях с длинными промежутками; LSSA смягчает такие проблемы.

Приложения

Анализ Фурье имеет множество научных приложений — в физике , уравнениях в частных производных , теории чисел , комбинаторике , обработке сигналов , цифровой обработке изображений , теории вероятностей , статистике , криминалистике , ценообразовании опционов , криптографии , численном анализе , акустике , океанографии , гидролокации , оптике , дифракции . , геометрия , анализ структуры белков и другие области.

Эта широкая применимость связана со многими полезными свойствами преобразований:

В криминалистике лабораторные инфракрасные спектрофотометры используют анализ преобразования Фурье для измерения длин волн света, при которых материал будет поглощать инфракрасный спектр. Метод FT используется для декодирования измеренных сигналов и записи данных о длинах волн. А с помощью компьютера эти расчеты Фурье выполняются быстро, так что за считанные секунды управляемый компьютером ИК-Фурье-инструмент может получить картину поглощения инфракрасного излучения, сравнимую с диаграммой призменного прибора.

Преобразование Фурье также полезно для компактного представления сигнала. Например, сжатие JPEG использует вариант преобразования Фурье ( дискретное косинусное преобразование ) небольших квадратных кусочков цифрового изображения. Фурье-компоненты каждого квадрата округляются до меньшей арифметической точности , а слабые компоненты полностью исключаются, так что оставшиеся компоненты можно хранить очень компактно. При реконструкции изображения каждый квадрат изображения повторно собирается из сохраненных приблизительных компонентов, преобразованных Фурье, которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения аппроксимации исходного изображения.

При обработке сигналов преобразование Фурье часто берет временной ряд или функцию непрерывного времени и преобразует его в частотный спектр . То есть он переводит функцию из временной области в частотную ; это разложение функции на синусоиды разной частоты; в случае ряда Фурье или дискретного преобразования Фурье синусоидами являются гармоники основной частоты анализируемой функции.

Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал , преобразование имеет стандартную интерпретацию как частотный спектр сигнала. Величина результирующей комплексной функции на частоте представляет собой амплитуду частотной составляющей, начальная фаза которой определяется углом ( полярные координаты).

Преобразования Фурье не ограничены функциями времени и временными частотами. Они в равной степени могут применяться для анализа пространственных частот и практически для любой функциональной области. Это оправдывает их применение в таких различных областях, как обработка изображений , теплопроводность , автоматическое управление .

При обработке сигналов, таких как аудио , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать узкополосные компоненты составного сигнала, концентрируя их для облегчения обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования сигнала Фурье, простой обработки преобразованных Фурье данных и обратного преобразования.

Вот некоторые примеры:

Варианты анализа Фурье

Преобразование Фурье и 3 вариации, вызванные периодической выборкой (с интервалом T) и/или периодическим суммированием (с интервалом P) базовой функции во временной области. Относительная простота вычислений последовательности ДПФ и понимание, которое она дает для S ( f ), делают ее популярным инструментом анализа.

(Непрерывное) преобразование Фурье

Чаще всего безоговорочное преобразование Фурье относится к преобразованию функций непрерывного вещественного аргумента и дает непрерывную функцию частоты, известную как частотное распределение . Одна функция трансформируется в другую, и операция обратима. Когда областью определения входной (начальной) функции является время ( t ), а областью определения выходной (конечной) функции является обычная частота , преобразование функции s ( t ) на частоте f задается комплексным числом:

Оценка этой величины для всех значений f дает функцию частотной области . Тогда s ( t ) можно представить как рекомбинацию комплексных экспонент всех возможных частот:

что является формулой обратного преобразования. Комплексное число S ( f ) передает как амплитуду, так и фазу частоты f .

См. Преобразование Фурье для получения дополнительной информации, в том числе:

  • соглашения по нормализации амплитуды и масштабированию/единицам частоты
  • преобразовать свойства
  • табличные преобразования конкретных функций
  • расширение/обобщение для функций нескольких измерений, таких как изображения.

ряд Фурье

Преобразование Фурье периодической функции s P ( t ) с периодом P становится гребенчатой ​​функцией Дирака , модулируемой последовательностью комплексных коэффициентов :

    (где P — интеграл по любому интервалу длины P ).

Обратное преобразование, известное как ряд Фурье , представляет собой представление s P ( t ) в терминах суммы потенциально бесконечного числа гармонически связанных синусоид или сложных экспоненциальных функций, каждая с амплитудой и фазой, заданной одним из коэффициентов:

Любой s P ( t ) может быть выражен как периодическая сумма другой функции, s ( t ) :

и коэффициенты пропорциональны выборкам S ( f ) на дискретных интервалах 1/п:

Обратите внимание, что любое s ( t ) , преобразование которого имеет те же самые дискретные значения выборки, может использоваться в периодическом суммировании. Достаточным условием для восстановления s ( t ) (и, следовательно, S ( f ) ) только из этих выборок (т.е. из ряда Фурье) является то, что ненулевая часть s ( t ) ограничена известным интервалом продолжительности P , которая является частотной областью, двойственной теореме выборки Найквиста – Шеннона .

См. ряды Фурье для получения дополнительной информации, включая историческое развитие.

Преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT)

DTFT является математическим двойником ряда Фурье во временной области. Таким образом, сходящееся периодическое суммирование в частотной области может быть представлено рядом Фурье, коэффициенты которого являются выборками связанной непрерывной функции времени:

который известен как DTFT. Таким образом, DTFT последовательности s [ n ] также является преобразованием Фурье модулированной гребенчатой ​​функции Дирака .

Коэффициенты ряда Фурье (и обратное преобразование) определяются следующим образом:

Параметр T соответствует интервалу дискретизации, и этот ряд Фурье теперь можно распознать как форму формулы суммирования Пуассона . Таким образом, мы получаем важный результат: когда последовательность дискретных данных s [ n ] пропорциональна выборкам базовой непрерывной функции s ( t ) , можно наблюдать периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье S ( f ) . Обратите внимание, что любой s ( t ) с одинаковыми значениями дискретной выборки дает один и тот же DTFT. Но при определенных идеализированных условиях теоретически можно точно восстановить S ( f ) и s ( t ) . Достаточным условием идеального восстановления является то, что ненулевая часть S ( f ) должна быть ограничена известным частотным интервалом шириной1/Т. Когда этот интервал [-1/2 т,1/2 т] , применимой формулой реконструкции является интерполяционная формула Уиттакера-Шеннона . Это краеугольный камень в основе цифровой обработки сигналов .

Еще одна причина интереса к S 1/ T ( f ) заключается в том, что он часто дает представление о степени алиасинга , вызванного процессом дискретизации.

Приложения DTFT не ограничиваются выборочными функциями. См. Преобразование Фурье с дискретным временем для получения дополнительной информации по этой и другим темам, в том числе:

  • нормированные единицы частоты
  • оконный режим (последовательности конечной длины)
  • преобразовать свойства
  • табличные преобразования конкретных функций

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Подобно ряду Фурье, DTFT периодической последовательности с периодом становится гребенчатой ​​функцией Дирака, модулируемой последовательностью комплексных коэффициентов (см. DTFT § Периодические данные ):

    (где Σ n — сумма по любой последовательности длины N ).

Последовательность S [ k ] — это то, что обычно называют ДПФ одного цикла s N . Он также является N -периодическим, поэтому никогда не требуется вычислять более N коэффициентов. Обратное преобразование, также известное как дискретный ряд Фурье , определяется как:

  где Σ k — сумма по любой последовательности длины N .

Когда s N [ n ] выражается как периодическая сумма другой функции:

  и  

коэффициенты пропорциональны выборкам S1 / T ( f ) на дискретных интервалах1/п"="1/NT:

И наоборот, если кто-то хочет вычислить произвольное число ( N ) дискретных отсчетов одного цикла непрерывного ДВПФ, S1 / T ( f ) , это можно сделать, вычислив относительно простое ДПФ s N [ n ] , как определено выше. В большинстве случаев N выбирается равным длине ненулевой части s [ n ] . Увеличение N , известное как заполнение нулями или интерполяция , приводит к более близко расположенным выборкам одного цикла S 1/ T ( f ) . Уменьшение N вызывает перекрытие (добавление) во временной области (аналогично алиасингу ) , что соответствует прореживанию в частотной области. (см. Преобразование Фурье с дискретным временем § L = N × I ). В большинстве случаев, представляющих практический интерес, последовательность s [ n ] представляет собой более длинную последовательность, которая была усечена применением оконной функции конечной длины или массива КИХ-фильтров .

ДПФ можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), что делает его практичным и важным преобразованием на компьютерах.

См. «Дискретное преобразование Фурье» для получения дополнительной информации, в том числе:

  • преобразовать свойства
  • Приложения
  • табличные преобразования конкретных функций

Краткое содержание

Для периодических функций и преобразование Фурье, и ДВПФ содержат только дискретный набор частотных составляющих (ряды Фурье), и преобразования расходятся на этих частотах. Одна из распространенных практик (не обсуждалась выше) состоит в том, чтобы обрабатывать это расхождение с помощью дельта-функций Дирака и гребенчатых функций Дирака . Но одну и ту же спектральную информацию можно извлечь только из одного цикла периодической функции, поскольку все остальные циклы идентичны. Точно так же функции конечной длительности могут быть представлены в виде ряда Фурье без фактической потери информации, за исключением того, что периодичность обратного преобразования является простым артефактом.

На практике обычно длительность s (•) ограничивается периодом P или N . Но эти формулы не требуют этого условия.

s ( t ) преобразует (непрерывное время)
Непрерывная частота Дискретные частоты
Трансформировать
Обратный
s ( nT ) преобразует (дискретное время)
Непрерывная частота Дискретные частоты
Трансформировать

Обратный

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , получается четыре компонента, обозначаемые ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами сложной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования:

Отсюда вытекают различные отношения, например:

  • Преобразование функции с действительным знаком ( s RE + s RO ) является четной симметричной функцией S RE + i S IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
  • Преобразованием мнимозначной функции ( i s IE + i s IO ) является нечетная симметричная функция S RO + i S IE , и верно обратное.
  • Преобразованием четно-симметричной функции ( s RE + i s IO ) является функция с действительным знаком S RE + S RO , и верно обратное.
  • Преобразование нечетно-симметричной функции ( s RO + i s IE ) представляет собой мнимозначную функцию i S IE + i S IO , и верно обратное.

История

Ранняя форма гармонических рядов восходит к древней вавилонской математике , где они использовались для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений).

Классические греческие концепции деферента и эпицикла в системе астрономии Птолемея были связаны с рядами Фурье (см. Деферент и эпицикл § Математический формализм ).

В наше время варианты дискретного преобразования Фурье использовались Алексисом Клеро в 1754 году для вычисления орбиты, которая была описана как первая формула для ДПФ, и в 1759 году Жозефом Луи Лагранжем для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда. для вибрирующей струны. Технически работа Клеро представляла собой ряд только для косинуса (форма дискретного косинусного преобразования ), в то время как работа Лагранжа была рядом только для синуса (форма дискретного синусоидального преобразования ); истинный косинус + синус DFT был использован Гауссом в 1805 году для тригонометрической интерполяции орбит астероидов . Эйлер и Лагранж дискретизировали задачу о вибрирующей струне, используя то, что сегодня называют выборками.

Ранним современным развитием анализа Фурье была статья 1770 года Лагранжа Réflexions sur la résolution algébrique des equations , в которой в методе резольвент Лагранжа использовалось сложное разложение Фурье для изучения решения кубического уравнения: Лагранж преобразовал корни x 1 , x 2 , x 3 в резольвенты:

где ζ — кубический корень из единицы , который является ДПФ порядка 3.

Ряд авторов, в частности Жан ле Ронд д'Аламбер и Карл Фридрих Гаусс , использовали тригонометрические ряды для изучения уравнения теплопроводности , но прорывным достижением стала статья Жозефа Фурье «Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides» 1807 года . Важнейшим открытием было моделирование всех функций тригонометрическими рядами, введя ряды Фурье.

Историки расходятся во мнениях относительно того, насколько Лагранжу и другим следует доверять развитие теории Фурье: Даниил Бернулли и Леонард Эйлер ввели тригонометрические представления функций, а Лагранж дал решение волнового уравнения в виде ряда Фурье, поэтому вклад Фурье был в основном смелое утверждение, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье.

Последующее развитие этой области известно как гармонический анализ , а также является ранним примером теории представлений .

Первый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для ДПФ был открыт примерно в 1805 году Карлом Фридрихом Гауссом при интерполяции измерений орбиты астероидов Юнона и Паллада , хотя этот конкретный алгоритм БПФ чаще приписывают его современным заново открывшим Кули и Тьюки .

Частотно-временные преобразования

В терминах обработки сигналов функция (времени) представляет собой представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте , но не имеет информации о времени.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования для представления сигналов в форме, которая имеет некоторую информацию о времени и некоторую информацию о частоте - по принципу неопределенности между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье , преобразование Габора или дробное преобразование Фурье (FRFT), или могут использоваться различные функции для представления сигналов, как в вейвлет-преобразованиях и преобразованиях чирплета , с аналогом вейвлета. (непрерывного) преобразования Фурье, являющегося непрерывным вейвлет-преобразованием .

Преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах

Варианты Фурье также могут быть обобщены на преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах , которые изучаются в гармоническом анализе ; там преобразование Фурье переводит функции на группе в функции на двойственной группе. Это рассмотрение также позволяет сформулировать общую теорему свертки , которая связывает преобразования Фурье и свертки . См. Также двойственность Понтрягина для обобщенных основ преобразования Фурье.

Более конкретно, анализ Фурье можно проводить на смежных классах, даже на дискретных смежных классах.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки