Синус Фурье и ряды косинусов - Fourier sine and cosine series

В математике, в частности , области исчисления и анализа Фурье , то синус и косинус ряд Фурье две математические ряды имени Джозефа Фурье .

Обозначение

В этой статье $F$ обозначает реальную функцию на который является периодическим с периодом 2 л . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Если $f (x)$ - нечетная функция с периодом , то синусоидальный ряд Фурье половинного диапазона f определяется как ${\ displaystyle 2L}$

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

который представляет собой просто форму полного ряда Фурье с той лишь разницей, что и равен нулю, и ряд определен для половины интервала.

{\ displaystyle a_ {0}}

{\ displaystyle a_ {n}}

В формуле имеем

{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx , \ quad n \ in \ mathbb {N}.}

Если $f (x)$ - четная функция с периодом , то ряд косинусов Фурье определяется как ${\ displaystyle 2L}$

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {c_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}}}

куда

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx , \ quad n \ in \ mathbb {N} _ {0}.}

Это понятие можно обобщить на функции, которые не являются четными или нечетными, но тогда приведенные выше формулы будут выглядеть иначе.

Байерли, Уильям Элвуд (1893). «Глава 2: Развитие в тригонометрических рядах» . Элементарный трактат о рядах Фурье: сферических, цилиндрических и эллипсоидальных гармониках с приложениями к задачам математической физики (2-е изд.). Джинн. п. 30.
Карслоу, Горацио Скотт (1921). «Глава 7: Ряд Фурье» . Введение в теорию рядов и интегралов Фурье, Том 1 (2-е изд.). Macmillan and Company. п. 196.