Фурье-оптика - Fourier optics

Фурье-оптика - это изучение классической оптики с использованием преобразований Фурье (FT), в которых рассматриваемая форма волны рассматривается как составленная из комбинации или суперпозиции плоских волн. Он имеет некоторые параллели с принципом Гюйгенса – Френеля , в котором волновой фронт рассматривается как составленный из комбинации сферических волновых фронтов (также называемых фазовыми фронтами), сумма которых представляет собой исследуемый волновой фронт. Ключевое отличие состоит в том, что в оптике Фурье плоские волны рассматриваются как естественные моды среды распространения, в отличие от модели Гюйгенса – Френеля, в которой сферические волны возникают в физической среде.

Искривленный фазовый фронт может быть синтезирован из бесконечного числа этих «собственных мод», то есть из фазовых фронтов плоских волн, ориентированных в разных направлениях в пространстве. Вдали от своих источников расширяющаяся сферическая волна локально касается плоского фазового фронта (одиночная плоская волна из бесконечного спектра), который перпендикулярен радиальному направлению распространения. В этом случае создается картина дифракции фраунгофера , которая исходит от одного фазового центра сферической волны. В ближнем поле не существует единого четко определенного фазового центра сферической волны, поэтому волновой фронт не касается локально сферического шара. В этом случае будет создана дифракционная картина Френеля , которая исходит от протяженного источника, состоящего из распределения (физически идентифицируемых) источников сферических волн в пространстве. В ближнем поле полный спектр плоских волн необходим для представления волны ближнего поля Френеля, даже локально . «Широкая» волна, движущаяся вперед (например, расширяющаяся океанская волна, приближающаяся к берегу), может рассматриваться как бесконечное количество « плоских волновых мод », каждая из которых может (когда они сталкиваются с чем-то на пути) рассеиваться независимо от одной Другие. Эти математические упрощения и вычисления являются областью анализа и синтеза Фурье - вместе они могут описать, что происходит, когда свет проходит через различные щели, линзы или зеркала, изогнутые в ту или иную сторону, или полностью или частично отражаются.

Фурье-оптика составляет большую часть теории, лежащей в основе методов обработки изображений , а также находит приложения, в которых необходимо извлекать информацию из оптических источников, например, в квантовой оптике . Проще говоря, аналогично концепции частоты и времени, используемой в традиционной теории преобразования Фурье, в оптике Фурье используется область пространственных частот ( k _x , k _y ) как сопряженная с пространственным ( x , y ) домен. Обычно используются такие термины и концепции, как теория преобразования, спектр, полоса пропускания, оконные функции и выборка из обработки одномерного сигнала .

Распространение света в однородной среде без источников

Свет можно описать как форму волны, распространяющуюся через свободное пространство (вакуум) или материальную среду (например, воздух или стекло). Математически вещественная компонента векторного поля, описывающего волну, представлена ​​скалярной волновой функцией u, которая зависит как от пространства, так и от времени:

${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$

куда

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$

представляет положение в трехмерном пространстве (здесь в декартовой системе координат ), а t представляет время.

Волновое уравнение

Фурье-оптика начинается с однородного скалярного волнового уравнения (справедливого в областях, свободных от источников):

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$

где - скорость света, а u ( r , t ) - действительная декартова компонента электромагнитной волны, распространяющейся через свободное пространство (например, u ( r , t ) = E _i ( r , t ) для i = x , y или z, где E _i - это компонента оси i электрического поля E в декартовой системе координат ). ${\displaystyle c}$

Синусоидальное установившееся состояние

Если предполагается свет фиксированной частоты по времени / длине волны / цвету (как от одномодового лазера), то, исходя из технического соглашения о времени, предполагается временная зависимость в волновых решениях на угловой частоте с где - время периода волн гармоническая по времени форма оптического поля задается как ${\displaystyle e^{i\omega t}}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f=1/\tau }$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=\mathrm {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$.

где - мнимая единица , - оператор, принимающий действительную часть , ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathrm {Re} \left\{x\right\}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \omega =2\pi f}$

- угловая частота (в радианах в единицу времени) световых волн, и

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}}$

в общем случае представляет собой комплексную величину с отдельной амплитудой в неотрицательных действительных числах и фазах . ${\displaystyle a}$${\displaystyle \phi }$

Уравнение Гельмгольца

Подстановка этого выражения в приведенное выше скалярное волновое уравнение дает не зависящую от времени форму волнового уравнения:

${\displaystyle \mathrm {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0}$

куда

${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

с длиной волны в вакууме, - волновое число (также называемое постоянной распространения), - пространственная часть комплексной декартовой составляющей электромагнитной волны. Обратите внимание, что постоянная распространения и угловая частота линейно связаны друг с другом, что является типичной характеристикой поперечных электромагнитных (ТЕМ) волн в однородных средах. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$

Поскольку изначально желаемое вещественное решение скалярного волнового уравнения может быть просто получено путем взятия действительной части , решение следующего уравнения, известного как уравнение Гельмгольца , в основном связано с тем, что обработка комплексной функции часто намного проще, чем обрабатывая соответствующую действительную функцию. ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=0}$.

Решение уравнения Гельмгольца

Решения уравнения Гельмгольца в декартовой системе координат легко найти с помощью принципа разделения переменных для уравнений в частных производных . Этот принцип гласит , что в разъемных ортогональных координатах , элементарный раствор продукта к этому волновому уравнению может быть выполнен из следующего вида:

${\displaystyle \psi (x,y,z)=f_{x}(x)\times f_{y}(y)\times f_{z}(z)}$

то есть как произведение функции x , умноженное на функцию y , умноженное на функцию z . Если это решение элементарного произведения подставить в волновое уравнение, используя скалярный лапласиан в декартовой системе координат

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}}$

, то для трех отдельных функций получается следующее уравнение

${\displaystyle f''_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f''_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f''_{z}(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0\,}$

который легко преобразовать в форму:

${\displaystyle {\frac {f''_{x}(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f''_{y}(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f''_{z}(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$

Теперь можно утверждать, что каждое частное в приведенном выше уравнении обязательно должно быть постоянным. Чтобы оправдать это, предположим, что первое частное не является константой, а является функцией x . Поскольку ни один из других членов в уравнении не зависит от переменной x , первый член также не должен иметь никакой зависимости от x ; он должен быть постоянным. (Если первый член является функцией x , тогда нет никакого способа сделать левую часть этого уравнения равной нулю.) Эта константа обозначается как - k _x ². Рассуждая аналогичным образом для отношений y и z , получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения для f _x , f _y и f _z вместе с одним условием разделения :

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)=0}$

${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$

Каждое из этих 3 дифференциальных уравнений имеет одинаковую форму решения: синусы, косинусы или комплексные экспоненты. Мы будем использовать комплексную экспоненту как сложную функцию. В результате, решение элементарное продукт является ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$${\displaystyle \psi (x,y,z)}$

${\displaystyle \psi (x,y,z)=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}}$

${\displaystyle =Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}}$

${\displaystyle =Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}}$

с обычно комплексным числом . Это решением является пространственной частью комплекснозначной декартовой компоненты (например, , , или в качестве компонента электрического поля вдоль каждой оси в декартовой системе координат ) распространяющиеся плоской волны. ( ,, или ) здесь является действительным числом, поскольку предполагается, что волны в среде без источников, поэтому каждая плоская волна не затухает и не усиливается при распространении в среде. Отрицательный знак ( , или ) в волновом векторе (где ) означает , что вектор направление распространения волны имеет положительный ( , или ) -компонент, в то время как положительный знак означает отрицательный ( , или ) -компонент этот вектор. ${\displaystyle A}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{z}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\vec {k}}=k_{x}{\widehat {x}}+k_{y}{\widehat {y}}+k_{z}{\widehat {z}}}$${\displaystyle \left\vert {\vec {k}}\right\vert =k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

Продуктовые решения уравнения Гельмгольца также легко получаются в цилиндрических и сферических координатах , что дает цилиндрические и сферические гармоники (при этом остальные разделяемые системы координат используются гораздо реже).

Полное решение: интеграл суперпозиции

Общее решение уравнения однородной электромагнитной волны при фиксированной частоте времени в декартовой системе координат может быть сформировано как взвешенная суперпозиция всех возможных решений элементарных плоских волн в виде ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \psi (x,y,z)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}~dk_{x}dk_{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2.1)}$

с ограничениями , каждое в виде действительного числа и где . ${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$

Далее пусть

${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}}$.

Потом:

${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$

Это представление спектра плоской волны общего электромагнитного поля (например, сферической волны) является основной основой оптики Фурье (этот момент нельзя выделить достаточно сильно), потому что, когда z = 0, приведенное выше уравнение просто становится преобразованием Фурье (FT ) связь между полем и его плоским волновым содержанием (отсюда и название «Фурье-оптика»).

Таким образом:

${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}}$

а также

${\displaystyle \psi _{0}(x,y)={\mathcal {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}}$

Вся пространственная зависимость каждой компоненты плоской волны явно описывается экспоненциальной функцией. Коэффициент экспоненты является функцией только двух компонентов волнового вектора для каждой плоской волны (поскольку другой оставшийся компонент может быть определен с помощью вышеупомянутых ограничений), например, и , как в обычном анализе Фурье и преобразованиях Фурье . ${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

Связь между оптикой Фурье и разрешением изображения

Давайте рассмотрим систему формирования изображений, в которой ось z - это оптическая ось системы, а плоскость объекта (которая будет отображена на плоскости изображения системы) - это плоскость в . На плоскости объекта, пространственная часть комплекснозначной декартовой составляющей волны, как показано выше, с ограничениями в , каждый из которых в качестве действительного числа, и где . Визуализация - это реконструкция волны на плоскости объекта (имеющая информацию о шаблоне на плоскости объекта, которая должна быть отображена) на плоскости изображения посредством правильного распространения волны от объекта к плоскостям изображения (например, подумайте о отображении изображения в воздушном пространстве.) и волна на плоскости объекта, которая полностью следует образцу, который должен быть отображен, в принципе описывается неограниченным обратным преобразованием Фурье, где принимает бесконечный диапазон действительных чисел. Это означает, что для данной частоты света только часть полного свойства рисунка может быть отображена из-за вышеупомянутых ограничений на ; (1) тонкая особенность, представление которой в обратном преобразовании Фурье требует пространственных частот , где удовлетворяют поперечные волновые числа , не может быть полностью отображена, поскольку волны с такими не существуют для данного света (Это явление известно как дифракционный предел .), и (2) пространственные частоты с, но близкими к таким более высоким углам выхода волны по отношению к оптической оси, требуют системы формирования изображения с высокой числовой апертурой ( числовой апертурой ), которая является дорогой и трудной в изготовлении. Для (1), даже если комплексные продольные волновые числа разрешены (из-за неизвестного взаимодействия между светом и узором плоскости объекта, который обычно представляет собой твердый материал), вызывают затухание света вдоль оси (усиление света вдоль оси не физически имеет смысл, если между плоскостями объекта и изображения нет усиливающего материала, а это обычный случай.) поэтому волны с таким материалом могут не достигать плоскости изображения, которая обычно находится достаточно далеко от плоскости объекта. ${\displaystyle \displaystyle z=0}$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle \psi _{0,unc}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle {\frac {\displaystyle k_{T}}{2\pi }}}$${\displaystyle \displaystyle k_{T}}$${\displaystyle \displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}}$${\displaystyle \displaystyle k_{T}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{T}<k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle k_{z}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k_{z}}$

В связи с фотолитографией электронных компонентов эти (1) и (2) являются причинами, по которым свет с более высокой частотой (меньшая длина волны, следовательно, большая величина ) или более высокая числовая апертура требуется для отображения более тонких деталей интегральных схем на фоторезиста на пластине. В результате машины, реализующие такую ​​оптическую литографию, становятся все более сложными и дорогими, что значительно увеличивает стоимость производства электронных компонентов. ${\displaystyle k}$

Параксиальное приближение

Распространение параксиальной волны (оптическая ось принимается за ось z)

Предполагается, что решение уравнения Гельмгольца как пространственная часть комплексной декартовой составляющей одночастотной волны имеет вид:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

где - волновой вектор , а ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$

а также

${\displaystyle k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \over c}}$

- волновое число. Затем используйте параксиальное приближение , то есть малоугловое приближение, такое что

${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}}$

так, с точностью до второго приближения тригонометрических функций (то есть, принимая только второй член в разложении в ряд Тейлора каждой тригонометрической функции),

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$

${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-\theta ^{2}/2}$

где - угол (в радианах) между волновым вектором k и осью z как оптической осью обсуждаемой оптической системы. ${\displaystyle \theta }$

Как результат,

${\displaystyle k_{z}=k\cos \theta \approx k(1-\theta ^{2}/2)}$

а также

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}}$

Параксиальное волновое уравнение

Подставляя это выражение в уравнение Гельмгольца, получаем уравнение параксиальной волны:

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0}$

куда

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$

- поперечный оператор Лапласа в декартовой системе координат . При выводе параксиального волнового уравнения используются следующие приближения.

• ${\displaystyle \theta }$small ( ), поэтому термин с игнорируется.${\displaystyle \theta \ll 1}$${\displaystyle \theta ^{2}}$
• Члены с и намного меньше члена с (или ), поэтому эти два термина игнорируются.${\displaystyle 2k_{x}}$${\displaystyle 2k_{y}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k_{z}}$
• ${\displaystyle \left\vert {\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{z}^{2}}}}A(\mathbf {r} )\right\vert \ll \left\vert k{\frac {\partial }{\partial {z}}}A(\mathbf {r} )\right\vert }$поэтому термин с игнорируется. Это приближение медленно меняющейся огибающей , означающее, что амплитуда или огибающая волны медленно изменяется по сравнению с основным периодом волны .${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{z}^{2}}}}A(\mathbf {r} )}$${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$

Приближение дальнего поля

Вышеприведенное уравнение можно оценить асимптотически в дальней зоне (используя метод стационарной фазы ), чтобы показать, что поле в удаленной точке ( x , y , z ) действительно обусловлено исключительно составляющей плоской волны ( k _x , k _y , k _z ), который распространяется параллельно вектору ( x , y , z ) и плоскость которого касается фазового фронта в точке ( x , y , z ). Математические детали этого процесса можно найти у Скотта [1998] или Скотта [1990]. Результатом выполнения интегрирования стационарной фазы для приведенного выше выражения является следующее выражение:

${\displaystyle E_{u}(r,\theta ,\phi )~=~2\pi i~(k~\cos \theta )~{\frac {e^{-ikr}}{r}}~E_{u}(k~\sin \theta ~\cos \phi ,k~\sin \theta ~\sin \phi )~~~~~~~~~~~~(2.2)}$

что ясно указывает на то, что поле в точке (x, y, z) прямо пропорционально спектральной составляющей в направлении (x, y, z), где,

${\displaystyle x=r~\sin \theta ~\cos \phi }$

${\displaystyle y=r~\sin \theta ~\sin \phi }$

${\displaystyle z=r~\cos \theta ~}$

а также

${\displaystyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$

${\displaystyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$

${\displaystyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Другими словами, диаграмма направленности любого плоского распределения поля - это FT этого распределения источника (см. Принцип Гюйгенса – Френеля , в котором то же уравнение разработано с использованием подхода функций Грина ). Обратите внимание, что это НЕ плоская волна. Радиальная зависимость является сферической волны - как по величине и фазе - чья локальная амплитуда является ФТ распределения плоскости источника в то дальнем углу поля. Спектр плоских волн не имеет ничего общего с утверждением, что поле ведет себя как плоская волна на больших расстояниях. ${\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}}$

Пространственная и угловая полоса пропускания

Уравнение (2.2), приведенное выше, имеет решающее значение для установления связи между пространственной полосой пропускания (с одной стороны) и угловой полосой пропускания (с другой стороны) в дальней зоне. Обратите внимание, что термин «дальнее поле» обычно означает, что мы говорим о сходящейся или расходящейся сферической волне с довольно хорошо определенным фазовым центром. Связь между пространственной и угловой полосой пропускания в дальней зоне важна для понимания свойства фильтрации нижних частот тонких линз. См. Раздел 5.1.3 для условия, определяющего область дальней зоны.

Как только концепция угловой ширины полосы будет понята, ученый-оптик может «прыгать вперед и назад» между пространственной и спектральной областями, чтобы быстро получить понимание, которое обычно не было бы так легко доступно только из соображений пространственной области или лучевой оптики. Например, любая полоса пропускания источника, которая лежит за углом кромки к первой линзе (этот угол кромки задает полосу пропускания оптической системы), не будет захвачена системой для обработки.

Кстати, ученые-электромагнетики разработали альтернативный способ расчета электрического поля в дальней зоне, который не требует интегрирования стационарной фазы. Они разработали концепцию, известную как «фиктивные магнитные токи», обычно обозначаемые буквой M и определяемые как

${\displaystyle ~~\mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{aper}~\times ~\mathbf {\hat {z}} }$.

В этом уравнении предполагается, что единичный вектор в направлении z указывает в полупространство, где будут производиться вычисления в дальней зоне. Эти эквивалентные магнитные токи получаются с использованием принципов эквивалентности, которые в случае бесконечной плоской границы раздела позволяют «отображать» любые электрические токи J, в то время как фиктивные магнитные токи получаются из удвоенного электрического поля апертуры (см. Scott [1998] ]). Затем излучаемое электрическое поле рассчитывается из магнитных токов с использованием уравнения, аналогичного уравнению для магнитного поля, излучаемого электрическим током. Таким образом получается векторное уравнение для излучаемого электрического поля в терминах электрического поля апертуры, и его вывод не требует использования идей стационарной фазы.

Спектр плоских волн: основа фурье-оптики

Фурье-оптика несколько отличается от обычной лучевой оптики, обычно используемой при анализе и проектировании сфокусированных систем формирования изображений, таких как камеры, телескопы и микроскопы. Лучевая оптика - это самый первый тип оптики, с которым большинство из нас сталкивается в своей жизни; его легко осмыслить и понять, и он очень хорошо помогает получить базовое представление об общих оптических устройствах. К сожалению, лучевая оптика не объясняет работу оптических систем Фурье, которые, как правило, не являются сфокусированными системами. Лучевая оптика - это подмножество волновой оптики (на жаргоне это «асимптотический предел нулевой длины волны» волновой оптики) и поэтому имеет ограниченную применимость. Мы должны знать, когда это действительно так, а когда нет - и это один из тех случаев, когда это не так. Для нашей текущей задачи мы должны расширить наше понимание оптических явлений, чтобы охватить волновую оптику, в которой оптическое поле рассматривается как решение уравнений Максвелла. Эта более общая волновая оптика точно объясняет работу устройств Фурье-оптики.

В этом разделе мы не будем возвращаться полностью к уравнениям Максвелла, а начнем с однородного уравнения Гельмгольца (справедливого для сред без источников), которое является одним уровнем уточнения по сравнению с уравнениями Максвелла (Scott [1998] ). Из этого уравнения мы покажем, как бесконечные однородные плоские волны составляют одно решение поля (из многих возможных) в свободном пространстве. Эти однородные плоские волны составляют основу понимания оптики Фурье.

Концепция спектра плоских волн является базовой основой Фурье-оптики. Спектр плоских волн представляет собой непрерывный спектр однородных плоских волн, и в спектре есть одна компонента плоской волны для каждой точки касания на фазовом фронте дальнего поля. Амплитуда этого плоского волнового компонента будет амплитудой оптического поля в этой точке касания. Опять же, это верно только для дальнего поля, определяемого как: Дальность = 2 D ² / λ, где D - максимальная линейная протяженность оптических источников, а λ - длина волны (Скотт [1998]). Спектр плоской волны часто рассматривается как дискретный для определенных типов периодических решеток, хотя в действительности спектры решеток также являются непрерывными, поскольку ни одно физическое устройство не может иметь бесконечную протяженность, необходимую для получения истинного линейчатого спектра.

Как и в случае с электрическими сигналами, полоса пропускания - это мера того, насколько детально изображение; чем мельче детализация, тем больше пропускная способность, необходимая для их представления. Электрический сигнал постоянного тока постоянен и не имеет колебаний; плоская волна, распространяющаяся параллельно оптической оси ( ), имеет постоянное значение в любой плоскости x - y и, следовательно, аналогична (постоянной) составляющей постоянного тока электрического сигнала. Полоса пропускания электрических сигналов связана с разницей между самой высокой и самой низкой частотами, присутствующими в спектре сигнала. Для оптических систем полоса пропускания также связана с пространственным частотным содержимым (пространственной полосой пропускания), но также имеет второстепенное значение. Он также измеряет, насколько далеко от оптической оси наклонены соответствующие плоские волны, поэтому этот тип ширины полосы часто называют также угловой полосой пропускания. Требуется большая полоса частот для создания короткого импульса в электрической цепи и большая угловая (или пространственная частота) полоса пропускания для создания острого пятна в оптической системе (см. Обсуждение, относящееся к функции рассеяния точки ). ${\displaystyle z}$

Спектр плоской волны возникает естественным образом как решение собственной функции или "естественной моды" уравнения однородной электромагнитной волны в прямоугольных координатах (см. Также Электромагнитное излучение , которое выводит волновое уравнение из уравнений Максвелла в среде без источника, или Скотт [1998]). . В частотной области с принятым временным соглашением уравнение однородной электромагнитной волны известно как уравнение Гельмгольца и принимает вид: ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}E_{u}+k^{2}E_{u}=0~~~~~~~~~~~~~~(2.0)}$

где u = x , y , z и k = 2π / λ - волновое число среды.

Решения по собственным функциям (естественный режим): история вопроса и обзор

В случае дифференциальных уравнений, как и в случае матричных уравнений, всякий раз, когда правая часть уравнения равна нулю (т. Е. Вынуждающая функция / вынуждающий вектор равен нулю), уравнение все же может допускать нетривиальное решение, известное в прикладной математике как решение для собственных функций , в физике как решение «естественного режима» и в теории электрических цепей как «отклик с нулевым входом». Это концепция, охватывающая широкий спектр физических дисциплин. Общие физические примеры резонансных естественных мод включают резонансные колебательные моды струнных инструментов (1D), ударных инструментов (2D) или бывшего моста Tacoma Narrows Bridge (3D). Примеры распространяющихся собственных мод включают моды волновода, моды оптического волокна , солитоны и блоховские волны . Бесконечные однородные среды допускают прямоугольные, круговые и сферические гармонические решения уравнения Гельмгольца в зависимости от рассматриваемой системы координат. Распространяющиеся плоские волны, которые мы будем изучать в этой статье, - это, пожалуй, самый простой тип распространяющихся волн, встречающийся в любых средах.

Между приведенным выше уравнением Гельмгольца (2.0) есть поразительное сходство, которое можно записать

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})~f=0,}$

и обычное уравнение для собственных значений / собственных векторов квадратной матрицы A ,

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )~\mathbf {x} =0}$ ,

в частности, поскольку и скалярный лапласиан, и матрица A являются линейными операторами в своих соответствующих функциональных / векторных пространствах (знак минус во втором уравнении для всех намерений и целей несущественен; знак плюс в первом уравнении, однако, имеет значение ). Возможно, стоит отметить, что решения как собственных функций, так и собственных векторов этих двух уравнений, соответственно, часто дают ортогональный набор функций / векторов, которые охватывают (т. Е. Образуют базис для) рассматриваемых пространств функций / векторов. Заинтересованный читатель может исследовать другие функциональные линейные операторы , которые приводят к различным видам ортогональных собственных функций , таким как многочлены Лежандра , полиномы Чебышева и полиномы Эрмита . ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

В случае с матрицей собственные значения можно найти, установив определитель матрицы равным нулю, то есть найдя, где матрица не имеет обратного. Конечные матрицы имеют только конечное число собственных значений / собственных векторов, тогда как линейные операторы могут иметь счетное бесконечное число собственных значений / собственных функций (в ограниченных областях) или бесконечно бесконечные (непрерывные) спектры решений, как в неограниченных областях. ${\displaystyle \lambda }$

В некоторых физических приложениях, таких как вычисление полос в периодическом объеме , часто бывает, что элементы матрицы будут очень сложными функциями частоты и волнового числа, и матрица будет невырожденной для большинства комбинаций частот. и волновое число, но также будет уникальным для некоторых конкретных комбинаций. Путем определения того, какие комбинации частоты и волнового числа приводят детерминант матрицы к нулю, можно определить характеристики распространения среды. Отношения этого типа между частотой и волновым числом известны как дисперсионные соотношения, и некоторые физические системы могут допускать множество различных видов дисперсионных соотношений. Примером из электромагнетизма является обычный волновод, который может допускать множество дисперсионных соотношений, каждое из которых связано с уникальной модой волновода. Каждая мода распространения волновода известна как решение собственных функций (или решение собственных мод) уравнений Максвелла в волноводе. Свободное пространство также допускает решения для собственных мод (естественные моды) (известные чаще как плоские волны), но с той разницей, что для любой заданной частоты свободное пространство допускает непрерывный модальный спектр, тогда как волноводы имеют дискретный модальный спектр. В этом случае дисперсионное соотношение является линейным, как в разделе 1.2.

K-пространство

Условие разделения,

${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$

которое идентично уравнению для евклидовой метрики в трехмерном конфигурационном пространстве, предлагает понятие k-вектора в трехмерном «k-пространстве», определяемого (для распространяющихся плоских волн) в прямоугольных координатах как:

${\displaystyle \mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

а в сферической системе координат как

${\displaystyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$

${\displaystyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$

${\displaystyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Эти отношения сферической системы координат будут использоваться в следующем разделе.

Понятие k-пространства занимает центральное место во многих инженерных и физических дисциплинах, особенно при изучении периодических объемов, таких как кристаллография и зонная теория полупроводниковых материалов.

Двумерное преобразование Фурье

Уравнение анализа (вычисление спектра функции):

${\displaystyle U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$

Уравнение синтеза (восстановление функции по ее спектру):

${\displaystyle u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$

Примечание : нормализующий коэффициент: присутствует всякий раз, когда используется угловая частота (радианы), но не когда используется обычная частота (циклы). ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}}$

Оптические системы: общий обзор и аналогия с системами обработки электрических сигналов

Оптическая система состоит из входной плоскости и выходной плоскости, а также набора компонентов, которые преобразуют изображение f, сформированное на входе, в другое изображение g, сформированное на выходе. Выходное изображение связано с входным изображением путем свертки входного изображения с оптической импульсной характеристикой h (известной как функция рассеяния точки для сфокусированных оптических систем). Импульсный отклик однозначно определяет поведение входа-выхода оптической системы. По соглашению за z- ось принимается оптическая ось системы . В результате два изображения и импульсная характеристика являются функциями поперечных координат x и y .

${\displaystyle g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)}$

Импульсный отклик оптической системы формирования изображения - это поле выходной плоскости, которое создается, когда идеальный математический точечный источник света помещается во входной плоскости (обычно на оси). На практике не обязательно иметь идеальный точечный источник для определения точной импульсной характеристики. Это связано с тем, что любая полоса пропускания источника, которая находится за пределами полосы пропускания системы, в любом случае не будет иметь значения (поскольку она даже не может быть захвачена оптической системой), поэтому нет необходимости в определении импульсной характеристики. Источник должен иметь по крайней мере такую ​​же (угловую) полосу пропускания, как и оптическая система.

Оптические системы обычно относятся к одной из двух категорий. Первая - это обычная сфокусированная оптическая система формирования изображения, в которой входная плоскость называется плоскостью объекта, а выходная плоскость называется плоскостью изображения. Желательно, чтобы поле в плоскости изображения было высококачественным воспроизведением поля в плоскости объекта. В этом случае желательно, чтобы импульсная характеристика оптической системы аппроксимировала двумерную дельта-функцию в том же месте (или в линейно масштабированном положении) в выходной плоскости, соответствующем местоположению импульса во входной плоскости. Фактическая импульсная характеристика , как правило , напоминает функцию Эйри , радиус которого составл ет пор дка длины волны используемого света. В этом случае импульсная характеристика обычно упоминается как функция рассеяния точки , поскольку математическая точка света в плоскости объекта была распределена в функцию Эйри в плоскости изображения.

Второй тип - это система оптической обработки изображений, в которой важная особенность в поле входной плоскости должна быть расположена и изолирована. В этом случае желательно, чтобы импульсная характеристика системы была точной копией (изображением) той особенности, которая ищется в поле входной плоскости, чтобы свертка импульсной характеристики (изображение желаемой характеристики) против поля входной плоскости создаст яркое пятно в месте расположения объекта в выходной плоскости. Именно этому последнему типу оптических систем обработки изображений и посвящен этот раздел. В разделе 5.2 представлена ​​одна аппаратная реализация операций обработки оптических изображений, описанных в этом разделе.

Входная плоскость

Входная плоскость определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = 0. Следовательно, входное изображение f является

${\displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}}$

Выходная плоскость

Плоскость вывода определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = d . Выходное изображение г , следовательно ,

${\displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}}$

Двумерная свертка входной функции против функции импульсного отклика

${\displaystyle g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}$

т.е.

${\displaystyle g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h(x-x',y-y')~f(x',y')~dx'dy'~~~~~~(4.1)~}$

Внимательный читатель заметит, что приведенный выше интеграл неявно предполагает, что импульсная характеристика НЕ ​​является функцией положения (x ', y') светового импульса на входной плоскости (если бы это было не так, этот тип свертки было бы невозможно). Это свойство известно как инвариантность к сдвигу (Скотт [1998]). Ни одна оптическая система не является идеально инвариантной к сдвигу: поскольку идеальная математическая точка света сканируется от оптической оси, аберрации в конечном итоге ухудшают импульсную характеристику (известная как кома в сфокусированных системах визуализации). Однако высококачественные оптические системы часто "достаточно инвариантны к сдвигу" в определенных областях входной плоскости, поэтому мы можем рассматривать импульсную характеристику как функцию только разницы между координатами входной и выходной плоскости и, таким образом, безнаказанно использовать приведенное выше уравнение. .

Кроме того, это уравнение предполагает единичное увеличение. Если увеличение присутствует, то ур. (4.1) принимает вид

${\displaystyle g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h_{M}(x-Mx',y-My')~f(x',y')~dx'dy'~~~~~~(4.2)~}$

который в основном переводит функцию импульсной характеристики h _M () из x 'в x = Mx'. В (4.2) h _M () будет увеличенной версией функции импульсного отклика h () аналогичной неувеличенной системы, так что h _M (x, y) = h (x / M, y / M).

Вывод уравнения свертки

Расширение до двух измерений тривиально, за исключением того различия, что причинно-следственная связь существует во временной области, а не в пространственной. Причинность означает, что импульсный отклик h ( t - t ') электрической системы из-за импульса, приложенного в момент времени t', обязательно должен быть равен нулю для всех моментов времени t, таких, что t - t '<0.

Получение свертки представления отклика системы требует , представляющего входного сигнал как взвешенная суперпозиция над поездом импульсных функций с помощью сдвигающего свойства из дельта - функций Дирака .

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'}$

Затем предполагается, что рассматриваемая система является линейной , то есть выход системы из-за двух разных входов (возможно, в два разных момента времени) является суммой отдельных выходов системы на два входа, когда вводится индивидуально. Таким образом, оптическая система не может содержать нелинейных материалов или активных устройств (за исключением, возможно, чрезвычайно линейных активных устройств). Выход системы для одного входа дельта-функции определяется как импульсная характеристика системы h (t - t '). И, исходя из нашего предположения о линейности (т. Е. Что выход системы на вход последовательности импульсов является суммой выходов, связанных с каждым отдельным импульсом), теперь мы можем сказать, что общая входная функция f ( t ) производит выходной сигнал:

${\displaystyle g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'}$

где h (t - t ') - (импульсный) отклик линейной системы на вход дельта-функции δ (t - t'), приложенный в момент времени t '. Отсюда и происходит приведенное выше уравнение свертки. Уравнение свертки полезно, потому что часто намного проще найти реакцию системы на ввод дельта-функции, а затем выполнить приведенную выше свертку, чтобы найти ответ на произвольный ввод, чем пытаться найти ответ на ввод произвольный ввод напрямую. Кроме того, импульсная характеристика (во временной или частотной областях) обычно дает представление о соответствующих показателях качества системы. В случае большинства объективов функция рассеяния точки (PSF) является довольно распространенным показателем качества для целей оценки.

Та же логика используется в связи с принципом Гюйгенса-Френеля или формулировкой Страттона-Чу, в которой «импульсный отклик» упоминается как функция Грина системы. Таким образом, работа линейной оптической системы в пространственной области аналогична принципу Гюйгенса – Френеля.

Передаточная функция системы

Если последнее уравнение выше преобразовано Фурье, оно становится:

${\displaystyle G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )}$

куда

${\displaystyle G(\omega )~}$ это спектр выходного сигнала

${\displaystyle H(\omega )~}$ является передаточной функцией системы

${\displaystyle F(\omega )~}$ это спектр входного сигнала

Аналогичным образом (4.1) можно преобразовать Фурье, чтобы получить:

${\displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$

Передаточная функция системы, . В оптической визуализации эта функция более известна как функция оптического переноса (Гудмана) . ${\displaystyle H(\omega )}$

Еще раз, из обсуждения условия синуса Аббе можно отметить , что это уравнение предполагает единичное увеличение.

Это уравнение приобретает свой реальный смысл, когда преобразование Фурье связано с коэффициентом плоской волны, поперечные волновые числа которой равны . Таким образом, спектр плоской волны входной плоскости преобразуется в спектр плоской волны выходной плоскости посредством мультипликативного действия передаточной функции системы. Именно на этом этапе понимания предыдущий фон спектра плоских волн становится неоценимым для концептуализации оптических систем Фурье. ${\displaystyle ~G(k_{x},k_{y})}$${\displaystyle ~(k_{x},k_{y})}$

Применение принципов Фурье-оптики

Фурье-оптика используется в области оптической обработки информации, основой которой является классический процессор 4F.

Преобразование Фурье свойства линзы обеспечивают многочисленные применения в оптической обработки сигналов , таких как пространственной фильтрации , оптической корреляции и генерируемые компьютером голограммы .

Оптическая теория Фурье используется в интерферометрии , оптическом пинцете , ловушках для атомов и квантовых вычислениях . Для восстановления фазы интенсивности света в плоскости пространственных частот используются концепции фурье-оптики (см. Адаптивно-аддитивный алгоритм ).

Преобразование Фурье линз

Если пропускающий объект расположен на одном фокусном расстоянии перед линзой , то его преобразование Фурье будет сформировано на одном фокусном расстоянии позади линзы. Рассмотрим рисунок справа (щелкните, чтобы увеличить)

На этом рисунке предполагается, что плоская волна падает слева. Функция пропускания в передней фокальной плоскости (т. Е. В плоскости 1) пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как показано в левой части уравнения. (2.1) (задано как z = 0), и при этом производит спектр плоских волн, соответствующий FT функции пропускания, как в правой части уравнения. (2.1) (при z > 0). Различные компоненты плоской волны распространяются под разными углами наклона относительно оптической оси линзы (т. Е. Горизонтальной оси). Чем мельче детали в прозрачности, тем шире угловая ширина спектра плоских волн. Мы рассмотрим одну такую ​​составляющую плоской волны, распространяющуюся под углом θ относительно оптической оси. Предполагается, что θ мала ( параксиальное приближение ), так что

${\displaystyle {\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta }$

а также

${\displaystyle {\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

а также

${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}}\simeq 1+{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

На рисунке фаза плоской волны , движущейся горизонтально от передней фокальной плоскости к плоскости линзы, равна

${\displaystyle e^{ikf\cos \theta }\,}$

а фаза сферической волны от линзы до пятна в задней фокальной плоскости равна:

${\displaystyle e^{ikf/\cos \theta }\,}$

и сумма длин двух путей является F (1 + θ ² /2 + 1 - θ ² /2) = 2 е т.е., это значение постоянной, независимо от угла наклона, Э, для параксиальных плоских волн. Каждая параксиальная плоская волновая составляющая поля в передней фокальной плоскости появляется как пятно функции рассеяния точки в задней фокальной плоскости с интенсивностью и фазой, равными интенсивности и фазе исходной плоской волновой составляющей в передней фокальной плоскости. Другими словами, поле в задней фокальной плоскости является преобразованием Фурье поля в передней фокальной плоскости.

Все компоненты FT вычисляются одновременно - параллельно - со скоростью света. Например, свет распространяется со скоростью примерно 1 фут (0,30 м). / нс, поэтому, если линза имеет 1 фут (0,30 м). фокусное расстояние, весь 2D FT может быть вычислен примерно за 2 нс (2 x 10 ^-9 секунд). Если фокусное расстояние 1 дюйм, то время меньше 200 пс. Ни один электронный компьютер не может конкурировать с такими числами или, возможно, когда-либо надеяться на это, хотя суперкомпьютеры на самом деле могут оказаться быстрее, чем оптика, как бы невероятно это ни казалось. Однако их скорость достигается за счет объединения множества компьютеров, которые по отдельности все еще медленнее, чем оптика. Недостатком оптического FT является то, что, как показывает вывод, соотношение FT справедливо только для параксиальных плоских волн, поэтому этот «компьютер» FT по своей природе имеет ограниченную полосу пропускания. С другой стороны, поскольку длина волны видимого света настолько мала по сравнению даже с самыми маленькими размерами видимых элементов изображения, т. Е.

${\displaystyle k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$

(для всех k _x , k _{y в} пределах пространственной полосы изображения, так что k _z почти равно k ) параксиальное приближение на практике не сильно ограничивает. И, конечно же, это аналоговый, а не цифровой компьютер, поэтому точность ограничена. Кроме того, фаза может быть сложной для извлечения; часто это делается интерферометрически.

Оптическая обработка особенно полезна в приложениях реального времени, где требуется быстрая обработка огромных объемов 2D-данных, особенно в отношении распознавания образов.

Усечение объекта и феномен Гиббса

Пространственно модулированное электрическое поле, показанное в левой части уравнения. (2.1) обычно занимает только конечную (обычно прямоугольную) апертуру в плоскости x, y. Функция прямоугольной апертуры действует как двумерный фильтр с квадратным верхом, где предполагается, что поле за пределами этого двухмерного прямоугольника равно нулю. Интегралы в пространственной области для вычисления коэффициентов FT в правой части уравнения. (2.1) усекаются на границе этой апертуры. Такое усечение шага может внести неточности как в теоретические расчеты, так и в измеренные значения коэффициентов плоской волны на правой стороне уравнения. (2.1).

Всякий раз, когда функция прерывисто усекается в одном домене FT, расширение и рябь вводятся в другом домене FT. Прекрасный пример из оптики связан с функцией рассеяния точки, которая для осевого плоского волнового освещения квадратичной линзы (с круглой апертурой) является функцией Эйри, J ₁ ( x ) / x . Буквально точечный источник был «растянут» (с добавленной рябью), чтобы сформировать функцию рассеяния точки Эйри (в результате усечения спектра плоских волн конечной апертурой линзы). Этот источник ошибки известен как явление Гиббса, и его можно смягчить, просто убедившись, что весь значимый контент находится рядом с центром прозрачности, или за счет использования оконных функций, которые плавно сужают поле до нуля на границах кадра. По теореме свертки FT произвольной функции прозрачности, умноженной (или усеченной) на апертурную функцию, равна FT необрезанной функции прозрачности, свернутой против FT апертурной функции, которая в этом случае становится тип «функции Грина» или «импульсной функции отклика» в спектральной области. Следовательно, изображение круглой линзы равно функции плоскости объекта, свёрнутой с функцией Эйри (FT функции круглой диафрагмы составляет J ₁ ( x ) / x, а FT функции прямоугольной диафрагмы является произведением функций sinc , грех х / х ).

Анализ Фурье и функциональная декомпозиция

Несмотря на то, что входная прозрачность занимает только конечную часть плоскости x - y (плоскость 1), однородные плоские волны, составляющие спектр плоских волн, занимают всю плоскость x - y , поэтому (для этой цели) только продольная плоскость Следует учитывать фазу волны (в направлении z , от плоскости 1 к плоскости 2), а не фазу, поперечную направлению z . Конечно, очень заманчиво думать, что если плоская волна, исходящая из конечной апертуры прозрачности, наклонена слишком далеко от горизонтали, она каким-то образом полностью «промахнется» через линзу, но опять же, поскольку однородная плоская волна распространяется бесконечно далеко в пространстве. во всех направлениях в поперечной плоскости ( x - y ) плоские волновые компоненты не могут пройти мимо линзы.

Этот вопрос, возможно, поднимает основную трудность анализа Фурье, а именно то, что функция входной плоскости, определенная на конечной опоре (т. Е. Над ее собственной конечной апертурой), аппроксимируется другими функциями (синусоидами), которые имеют бесконечную опору ( i ( д ., они определены на всей бесконечной плоскости x - y ). Это невероятно неэффективно с вычислительной точки зрения, и это основная причина, по которой были задуманы вейвлеты , то есть представление функции (определенной на конечном интервале или области) в терминах колебательных функций, которые также определены на конечных интервалах или областях. Таким образом, вместо получения частотного содержания всего изображения сразу (вместе с частотным содержанием всей остальной части плоскости x - y , на которой изображение имеет нулевое значение), результатом вместо этого является частотное содержание различных части изображения, что обычно намного проще. К сожалению, вейвлеты в плоскости x - y не соответствуют ни одному известному типу распространяющейся волновой функции, точно так же, как синусоиды Фурье (в плоскости x - y ) соответствуют плоским волновым функциям в трех измерениях. Однако FT большинства вейвлетов хорошо известны и, возможно, можно показать, что они эквивалентны некоторому полезному типу распространяющегося поля.

С другой стороны, функции Sinc и функция Эйри - которые не только фора функция прямоугольных и круглых отверстия, соответственно, но также являются кардинальными функциями , обычно используемые для функционального разложения в интерполяции / Теория выборки [Scott 1990] - сделать , соответствуют сходящиеся или расходящиеся сферические волны, и поэтому потенциально могут быть реализованы как полностью новое функциональное разложение функции плоскости объекта, тем самым приводя к другой точке зрения, аналогичной по своей природе оптике Фурье. Это в основном то же самое, что и обычная лучевая оптика, но с включенными эффектами дифракции. В этом случае каждая функция рассеяния точки будет типом «гладкого пикселя», почти так же, как солитон на волокне является «гладким импульсом».

Возможно, показателем качества линзы с точки зрения «функции рассеяния точки» будет вопрос, насколько хорошо линза преобразует функцию Эйри в плоскости объекта в функцию Эйри в плоскости изображения в зависимости от радиального расстояния от оптики. оси, или как функция размера плоскости объекта функция Эйри. Это чем-то похоже на функцию рассеяния точки, за исключением того, что теперь мы действительно рассматриваем ее как своего рода передаточную функцию плоскости ввода-вывода (например, MTF), и не столько в абсолютном выражении, сколько в идеальной точке. Точно так же гауссовы вейвлеты, которые соответствовали бы перетяжке распространяющегося гауссова луча, также потенциально могут быть использованы в еще одном функциональном разложении поля плоскости объекта.

Дальность дальнего поля и критерий 2D ² / λ

На рисунке выше, иллюстрирующем свойство линз преобразовывать Фурье, линза находится в ближнем поле прозрачности плоскости объекта, поэтому поле плоскости объекта на линзе можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, каждая из которых распространяется на некоторый угол по отношению к оси z. В этом отношении критерий дальнего поля в общих чертах определяется как: Дальность = 2 D ² / λ, где D - максимальная линейная протяженность оптических источников, а λ - длина волны (Скотт [1998]). D прозрачности на порядок см (10 ^-2 м) и длина волны света составляет порядка 10 ^-6 м, следовательно , D / λ для всей прозрачности составляет порядка 10 ⁴ . На этот раз D составляет порядка 10 ² м или сотен метров. С другой стороны, расстояние в дальней зоне от пятна PSF порядка λ. Это потому, что D для пятна имеет порядок λ, так что D / λ имеет порядок единицы; на этот раз D (т. е. λ) имеет порядок λ (10 ⁻⁶ м).

Поскольку линза находится в дальней зоне любого пятна PSF, поле, падающее на линзу из пятна, можно рассматривать как сферическую волну, как в уравнении. (2.2), а не как спектр плоских волн, как в уравнении. (2.1). С другой стороны, линза находится в ближнем поле всей прозрачности входной плоскости, поэтому уравнение. (2.1) - полный спектр плоских волн - точно представляет поле, падающее на линзу от более крупного протяженного источника.

Объектив как фильтр нижних частот

Линза в основном представляет собой плоский волновой фильтр нижних частот (см. Фильтр нижних частот ). Рассмотрим «маленький» источник света, расположенный на оси в плоскости объекта линзы. Предполагается, что источник достаточно мал, чтобы по критерию дальнего поля линза находилась в дальнем поле «малого» источника. Тогда поле, излучаемое маленьким источником, представляет собой сферическую волну, которая модулируется FT распределения источника, как в уравнении. (2.2) Затем линза передает - из плоскости объекта в плоскость изображения - только ту часть излучаемой сферической волны, которая лежит внутри краевого угла линзы. В этом случае дальнего поля усечение излучаемой сферической волны эквивалентно усечению спектра плоских волн небольшого источника. Таким образом, компоненты плоской волны в этой сферической волне в дальней зоне, которые лежат за краевым углом линзы, не захватываются линзой и не переносятся на плоскость изображения. Примечание: эта логика действительна только для небольших источников, таких, что линза находится в дальней зоне источника, в соответствии с критерием 2 D ² / λ, упомянутым ранее. Если прозрачность плоскости объекта представить как суммирование по небольшим источникам (как в интерполяционной формуле Уиттекера – Шеннона , Скотт [1990]), спектр каждого из которых усечен таким образом, то страдает каждая точка всей прозрачности плоскости объекта. те же эффекты этой фильтрации нижних частот.

Потеря высокочастотного (пространственного) содержимого вызывает размытие и потерю резкости (см. Обсуждение функции рассеяния точки ). Усечение полосы пропускания приводит к тому, что точечный источник (фиктивный, математический, идеальный) в плоскости объекта размывается (или растягивается) в плоскости изображения, в результате чего возникает термин «функция рассеяния точки». Всякий раз, когда полоса пропускания расширяется или сокращается, размер изображения обычно соответственно сокращается или расширяется таким образом, чтобы произведение пространственной полосы пропускания оставалось постоянным, в соответствии с принципом Гейзенберга (Скотт [1998] и условие синуса Аббе ).

Когерентность и преобразование Фурье

При работе в частотной области с предполагаемой ^{зависимостью} e ^jωt (инженерная) от времени неявно предполагается когерентный (лазерный) свет, который имеет зависимость дельта-функции в частотной области. Свет на разных частотах (дельта-функция) будет «распылять» спектр плоских волн под разными углами, и в результате эти компоненты плоских волн будут сфокусированы в разных местах выходной плоскости. Свойство линз преобразовывать Фурье лучше всего работает с когерентным светом, если только нет особых причин комбинировать свет разных частот для достижения какой-то особой цели.

Аппаратная реализация передаточной функции системы: коррелятор 4F

Теория оптических передаточных функций, представленная в разделе 4, несколько абстрактна. Однако есть одно очень известное устройство, которое реализует передаточную функцию системы H аппаратно, используя только 2 идентичные линзы и прозрачную пластину - коррелятор 4F. Хотя одним из важных приложений этого устройства, безусловно, будет реализация математических операций взаимной корреляции и свертки , это устройство - длиной 4 фокусных расстояния - на самом деле обслуживает широкий спектр операций обработки изображений, которые выходят далеко за рамки того, что подразумевает его название. Схема типичного коррелятора 4F показана на рисунке ниже (щелкните, чтобы увеличить). Это устройство можно легко понять, объединив представление спектра плоской волны электрического поля ( раздел 2 ) со свойством преобразования Фурье квадратичных линз ( раздел 5.1 ), чтобы получить операции оптической обработки изображения, описанные в разделе 4.

Коррелятор 4F основан на теореме свертки из теории преобразования Фурье , которая утверждает, что свертка в пространственной ( x , y ) области эквивалентна прямому умножению в области пространственной частоты ( k _x , k _y ) (также известной как спектральная область ) . И снова предполагается, что плоская волна падает слева, и прозрачность, содержащая одну двумерную функцию, f ( x , y ), помещается во входную плоскость коррелятора, расположенного на одном фокусном расстоянии перед первой линзой. Прозрачность пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как в левой части уравнения. (2.1), и при этом производит спектр плоских волн, соответствующий FT функции пропускания, как в правой части уравнения. (2.1). Этот спектр затем формируется как «изображение» на расстоянии одного фокусного расстояния от первой линзы, как показано. Маска пропускания, содержащая FT второй функции, g ( x , y ), помещается в этой же плоскости, на одно фокусное расстояние позади первой линзы, в результате чего пропускание через маску равно произведению F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Этот продукт в настоящее время находится в «входной плоскости» второй линзы (один фокусное расстояние спереди), так что ФТ этого продукта (т.е. свертки из F ( х , у ) и г ( х , у )), формируется в задней фокальной плоскости второй линзы.

Если идеальный математический точечный источник света расположен на оси входной плоскости первой линзы, то в выходной плоскости первой линзы будет создаваться однородное коллимированное поле. Когда это однородное коллимированное поле умножается на маску плоскости FT, а затем преобразовывается Фурье второй линзой, поле выходной плоскости (которое в данном случае является импульсной характеристикой коррелятора) является просто нашей корреляционной функцией g ( x , у ). В практических приложениях g ( x , y ) будет неким типом функции, которая должна быть идентифицирована и расположена в поле входной плоскости (см. Scott [1998]). В военных приложениях это может быть танк, корабль или самолет, который необходимо быстро идентифицировать в более сложной сцене.

Коррелятор 4F - отличное устройство для иллюстрации «системных» аспектов оптических инструментов, упомянутых в разделе 4 выше. Функция маски плоскости FT, G ( k _x , k _y ) - это системная передаточная функция коррелятора, которую мы обычно обозначаем как H ( k _x , k _y ), и это FT функции импульсного отклика. коррелятора h ( x , y ), который является нашей корреляционной функцией g ( x , y ). И, как упоминалось выше, импульсная характеристика коррелятора - это всего лишь изображение функции, которую мы пытаемся найти во входном изображении. В корреляторе 4F передаточная функция системы H ( k _x , k _y ) напрямую умножается на спектр F ( k _x , k _y ) входной функции, чтобы получить спектр выходной функции. Вот как системы обработки электрических сигналов работают с одномерными временными сигналами.

Восстановление изображения

Размытие изображения с помощью функции рассеяния точки широко изучается в оптической обработке информации, один из способов уменьшить размытие - использовать фильтр Винера. Например, предположим, что это распределение интенсивности от некогерентного объекта, это распределение интенсивности его изображения, которое размыто пространственно-инвариантной функцией рассеяния точки и шумом, внесенным в процесс обнаружения: ${\displaystyle o(x,y)}$${\displaystyle i(x,y)}$${\displaystyle s(x,y)}$${\displaystyle n(x,y)}$

${\displaystyle i(x,y)=o(x,y)\otimes s(x,y)+n(x,y)}$

Цель восстановления изображения - найти фильтр линейного восстановления, который минимизирует среднеквадратичную ошибку между истинным распределением и оценкой . То есть минимизировать ${\displaystyle {\hat {o}}(x,y)}$

${\displaystyle \epsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}}$

Решением этой задачи оптимизации является фильтр Винера :

${\displaystyle H\left(f_{X},f_{Y}\right)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\left|S\left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}}}$,

где - спектральные плотности мощности функции рассеяния точки, объекта и шума. ${\displaystyle S\left(f_{X},f_{Y}\right),\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right),\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$

Рагнарссон предложил способ реализации оптических фильтров восстановления Винера с помощью голографической техники, как показано на рисунке. Вывод функции установки описывается следующим образом.

Предположим, что существует прозрачность в качестве плоскости записи и импульс, излучаемый точечным источником S. Волна импульса коллимируется линзой L1 , образуя распределение, равное импульсной характеристике . Затем распределение делится на две части: ${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

1. Верхняя часть сначала фокусируется (т. Е. С преобразованием Фурье) линзой L2 в пятно в передней фокальной плоскости линзы L3 , образуя виртуальный точечный источник, генерирующий сферическую волну. Затем волна коллимируется линзой L3 и создает наклонную плоскую волну с формой в плоскости записи.${\displaystyle r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}}$
2. Нижняя часть непосредственно коллимируется линзой L3 , что дает распределение амплитуды .${\displaystyle {\frac {1}{\lambda f}}H({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}})}$

Следовательно, полное распределение интенсивности равно

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)=&\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}\\=&r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}}$

Предположим , что распределение амплитуды и фазы такое, что ${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)=S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right]}$,

тогда мы можем переписать интенсивность следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}I\left(x_{2},y_{2}\right)=&r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что для точки в начале плоскости пленки ( ) зарегистрированная волна из нижней части должна быть намного сильнее, чем волна из верхней части, потому что волна, проходящая через нижний путь, сфокусирована, что приводит к соотношению . ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0} }$${\displaystyle r_{0}<<{\frac {1}{\lambda f}}}$

В работе Рагнарссона этот метод основан на следующих постулатах:

1. Предположим, что существует прозрачная пленка с амплитудным коэффициентом пропускания, пропорциональная , которая записала известный импульсный отклик нечеткой системы.${\displaystyle t}$${\displaystyle s(x,y)}$
2. Максимальный сдвиг фазы, вносимый фильтром, намного меньше радиан, поэтому .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle e^{j\phi }\approx 1+j\phi }$
3. Фазовый сдвиг прозрачности после отбеливания линейно пропорционален плотности серебра, присутствующего до отбеливания.${\displaystyle D}$
4. Плотность линейно пропорциональна логарифму выдержки .${\displaystyle {\begin{aligned}I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\end{aligned}}}$
5. Средняя экспозиция намного сильнее, чем переменная экспозиция .${\displaystyle {\bar {I}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)={\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].\end{aligned}}}$

С этими постулатами мы имеем следующие отношения:

${\displaystyle \Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (logI)\approx {\frac {\Delta I}{I}}}$.

Наконец, мы получаем коэффициент пропускания по амплитуде в виде фильтра Винера:

${\displaystyle \Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^{2}}}}$.

Послесловие: спектр плоских волн в более широком контексте функциональной декомпозиции

Электрические поля можно представить математически разными способами. С точки зрения Гюйгенса-Френеля или Страттона- Чу электрическое поле представляется как суперпозиция точечных источников, каждый из которых порождает поле функции Грина . Полное поле тогда представляет собой взвешенную сумму всех индивидуальных функциональных полей Грина. Это кажется наиболее естественным способом наблюдения за электрическим полем для большинства людей - без сомнения, потому что большинство из нас в то или иное время рисовали круги транспортиром и бумагой, почти так же, как Томас Янг в своей классической книге. статья о двухщелевом эксперименте . Однако это ни в коем случае не единственный способ представить электрическое поле, которое также можно представить как спектр синусоидально изменяющихся плоских волн. Кроме того, Фриц Зернике предложил еще одно функциональное разложение, основанное на его многочленах Цернике , определенных на единичном круге. Полиномы Цернике третьего порядка (и ниже) соответствуют нормальным аберрациям линзы. И еще одно функциональное разложение может быть выполнено в терминах функций Синка и функций Эйри, как в формуле интерполяции Уиттекера – Шеннона и теореме выборки Найквиста – Шеннона . Все эти функциональные разложения полезны в разных обстоятельствах. Ученый-оптик, имеющий доступ к этим различным формам представления, может глубже понять природу этих чудесных полей и их свойства. Эти разные способы взгляда на поле не противоречат друг другу или противоречат друг другу, скорее, исследуя их связи, часто можно глубже понять природу волновых полей.

Функциональная декомпозиция и собственные функции

Двойные темы разложения по собственным функциям и функциональной декомпозиции , оба кратко упомянутые здесь, не являются полностью независимыми. Расширение собственных функций до определенных линейных операторов, определенных в данной области, часто дает счетно бесконечный набор ортогональных функций, которые будут охватывать эту область. В зависимости от оператора и размерности (а также формы и граничных условий) его области, в принципе, возможны многие различные типы функциональной декомпозиции.

Смотрите также

• Условие синуса Аббе
• Адаптивно-аддитивный алгоритм
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Функция разброса точки
• Фазово-контрастная микроскопия
• Фраунгофера дифракция
• Дифракция Френеля
• Геометрическая оптика
• Гильбертово пространство
• Оптический коррелятор
• Оптическое преобразование Хартли

использованная литература

• Даффье, Пьер-Мишель (1983). Преобразование Фурье и его приложения в оптике . Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons .
• Гудман, Джозеф (2005). Введение в фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Company Publishers. ISBN 0-9747077-2-4. Проверено 28 октября 2017 .
• Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-11609-X.
• Уилсон, Раймонд (1995). Ряды Фурье и методы оптических преобразований в современной оптике . Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-30357-7.
• Скотт, Крейг (1998). Введение в оптику и оптическое отображение . Джон Вили и сыновья . ISBN 0-7803-3440-X.
• Скотт, Крейг (1990). Современные методы анализа и проектирования рефлекторных антенн . Артек Хаус . ISBN 0-89006-419-9.
• Скотт, Крейг (1989). Метод спектральной области в электромагнетизме . Артек Хаус . ISBN 0-89006-349-4.
• Введение в оптику Фурье и коррелятор 4F

внешние ссылки

• Послы, Пьер (2010). «Оптические вычисления: 60-летнее приключение» . Достижения в оптических технологиях . Hindawi Limited. 2010 : 1–15. DOI : 10.1155 / 2010/372652 . ISSN  1687-6393 .
• Stratton, JA; Чу, LJ (1939-07-01). "Дифракционная теория электромагнитных волн" (PDF) . Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 56 (1): 99–107. DOI : 10.1103 / Physrev.56.99 . ISSN  0031-899X .