фрактал -Fractal

Множество Мандельброта : его граница представляет собой фрактальную кривую с хаусдорфовой размерностью 2 .

Приближаясь к границе множества Мандельброта

В математике фрактал — это геометрическая фигура, содержащая детализированную структуру в сколь угодно малых масштабах, обычно имеющая фрактальную размерность , строго превышающую топологическую размерность . Многие фракталы кажутся похожими в различных масштабах, как показано на последовательных увеличениях множества Мандельброта . Это проявление сходных паттернов во все более меньших масштабах называется самоподобием , также известным как расширяющаяся симметрия или разворачивающаяся симметрия; если эта репликация одинакова на всех масштабах, как в губке Менгера , форма называется аффинно -самоподобной. Фрактальная геометрия относится к математическому разделу теории меры .

Одно из отличий фракталов от конечных геометрических фигур заключается в том, как они масштабируются . Удвоение длин ребер закрашенного многоугольника умножает его площадь на четыре, что равно двум (отношение длины новой стороны к старой), возведенным в степень двойки (обычный размер закрашенного многоугольника). Точно так же, если радиус заполненной сферы удваивается, ее объем увеличивается на восемь, что равно двум (отношение нового радиуса к старому) в степени трех (обычное измерение заполненной сферы). Однако, если все одномерные длины фрактала удвоены, пространственное содержание фрактала масштабируется в степени, которая не обязательно является целым числом и , как правило, больше, чем его обычная размерность. Эта мощность называется фрактальной размерностью геометрического объекта, чтобы отличить ее от обычной размерности (которую формально называют топологической размерностью ).

Аналитически многие фракталы нигде не дифференцируемы . Бесконечную фрактальную кривую можно представить как извивающуюся в пространстве иначе, чем обычную линию, — хотя топологически она все еще одномерна , ее фрактальная размерность указывает на то, что локально она заполняет пространство более эффективно, чем обычная линия.

Отрезок похож на собственную часть самого себя, но вряд ли является фракталом .

Начиная с 17-го века с понятием рекурсии , фракталы перешли через все более строгое математическое рассмотрение к изучению непрерывных , но не дифференцируемых функций в 19-м веке основополагающими работами Бернарда Больцано , Бернхарда Римана и Карла Вейерштрасса , и далее к появление слова «фрактал» в 20 веке с последующим ростом интереса к фракталам и компьютерному моделированию в 20 веке.

Среди математиков существуют некоторые разногласия по поводу того, как следует формально определять понятие фрактала. Сам Мандельброт резюмировал это как «красивое, чертовски сложное, все более полезное. Это фракталы». Более формально в 1982 году Мандельброт определил фрактал следующим образом: «Фрактал по определению представляет собой множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность ». Позже, считая это слишком ограничительным, он упростил и расширил определение до следующего: «Фрактал — это грубая или фрагментированная геометрическая фигура , которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере, приблизительно) уменьшенной копией весь." Еще позже Мандельброт предложил «использовать фрактал без педантичного определения, использовать фрактальную размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам».

Среди математиков существует консенсус в отношении того, что теоретические фракталы представляют собой бесконечно самоподобные повторяющиеся и детализированные математические конструкции, множество примеров которых было сформулировано и изучено. Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени. Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия визуализировались или изучались в визуальных, физических и слуховых средах и обнаруживались в природе , технике , искусстве , архитектуре и праве . Фракталы имеют особое значение в области теории хаоса , потому что они проявляются в геометрических описаниях большинства хаотических процессов (обычно либо как аттракторы, либо как границы между бассейнами притяжения).

Этимология

Термин «фрактал» был придуман математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Мандельброт основал его на латинском frāctus , что означает «сломанный» или «сломанный», и использовал его, чтобы распространить понятие теоретических дробных размеров на геометрические узоры в природе .

Введение

Простое фрактальное дерево
Фрактальное «дерево» до одиннадцати итераций

Слово «фрактал» часто имеет разные коннотации для неспециалистов, в отличие от математиков, где публика, скорее всего, знакома с фрактальным искусством , чем с математической концепцией. Математическое понятие трудно определить формально даже для математиков, но ключевые особенности можно понять, имея небольшое математическое образование.

Например, особенность «самоподобия» легко понять по аналогии с увеличением с помощью объектива или другого устройства, которое увеличивает цифровые изображения, чтобы раскрыть более тонкую, ранее невидимую новую структуру. Однако если это делается на фракталах, то не появляется никаких новых деталей; ничего не меняется, и один и тот же паттерн повторяется снова и снова, или для некоторых фракталов снова и снова появляется почти один и тот же паттерн. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди размышляли о самоподобии неформально, например, в бесконечном регрессе в параллельных зеркалах или гомункулусе , маленьком человеке внутри головы маленького человека внутри головы ...) . Отличие фракталов в том, что воспроизводимый паттерн должен быть детализирован.

Эта идея детализации связана с другой особенностью, которую можно понять без особой математической подготовки: например, наличие фрактальной размерности, превышающей ее топологическую размерность, относится к тому, как масштабируется фрактал по сравнению с тем, как обычно воспринимаются геометрические формы . Прямая линия, например, обычно считается одномерной; если такую ​​фигуру разбить на части, каждая по 1/3 длины оригинала, то всегда будет три равных части. Сплошной квадрат понимается как двумерный; если такую ​​фигуру разбить на части, каждая из которых уменьшена в 1/3 раза в обоих измерениях, всего получится 3 2 = 9 частей.

Мы видим, что для обычных самоподобных объектов быть n-мерным означает, что когда он разбивается на части, каждая из которых уменьшена с масштабным коэффициентом 1/r, всего получается rn частей . Теперь рассмотрим кривую Коха . Его можно разбить на четыре подкопии, каждая из которых уменьшена с коэффициентом масштабирования 1/3. Итак, строго по аналогии, мы можем рассматривать «размерность» кривой Коха как единственное действительное число D , удовлетворяющее условию 3 D = 4. Это число называется фрактальной размерностью кривой Коха; это не обычно воспринимаемое измерение кривой. Вообще ключевое свойство фракталов состоит в том, что фрактальная размерность отличается от условно понимаемой размерности (формально называемой топологической размерностью).

Трехмерный компьютерный фрактал

Это также приводит к пониманию третьей особенности, что фракталы как математические уравнения «нигде не дифференцируемы ». В конкретном смысле это означает, что фракталы нельзя измерить традиционными способами. Чтобы уточнить, пытаясь найти длину волнистой нефрактальной кривой, можно было бы найти прямые сегменты некоторого измерительного инструмента, достаточно маленького, чтобы положить конец к концу волны, где кусочки могли бы стать достаточно маленькими, чтобы считаться соответствующими. кривую обычным способом измерения с помощью рулетки. Но при измерении бесконечно «волнистой» фрактальной кривой, такой как снежинка Коха, никогда не удастся найти достаточно маленький прямой сегмент, чтобы соответствовать кривой, потому что неровный узор всегда будет появляться снова, в произвольно малых масштабах, по существу, немного стягивая все больше рулетки в общую длину, измеряемую каждый раз, когда кто-то пытался все плотнее и плотнее подогнать ее к изгибу. В результате необходима бесконечная лента, чтобы полностью покрыть всю кривую, т. е. снежинка имеет бесконечный периметр.

История

Снежинка Коха — это фрактал, который начинается с равностороннего треугольника, а затем заменяет среднюю треть каждого отрезка парой отрезков, образующих равносторонний выступ.
Канторово (троичное) множество.

История фракталов прослеживает путь от в основном теоретических исследований до современных приложений в компьютерной графике , при этом несколько известных людей внесли свой вклад в канонические фрактальные формы. Общей темой в традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, при котором небольшие части структуры имеют тенденцию быть похожими на более крупные части, такие как круглая деревня, состоящая из круглых домов. Согласно Пиковеру , математика, стоящая за фракталами, начала формироваться в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц задумался о рекурсивном самоподобии (хотя он совершил ошибку, думая, что только прямая линия самоподобна в этом смысле).

В своих трудах Лейбниц использовал термин «дробные показатели», но сетовал на то, что «геометрия» еще не знала о них. Действительно, согласно различным историческим свидетельствам, после этого момента немногие математики занимались этими проблемами, а работа тех, кто это делал, оставалась затененной в основном из-за сопротивления таким незнакомым возникающим концепциям, которые иногда назывались математическими «монстрами». Таким образом, только через два столетия 18 июля 1872 года Карл Вейерштрасс дал первое определение функции с графиком , который сегодня считался бы фракталом, обладающим неинтуитивным свойством быть везде непрерывным , но нигде не дифференцируемым при Королевской прусской академии наук.

Кроме того, разность частных становится сколь угодно большой по мере увеличения индекса суммирования. Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор , посещавший лекции Вейерштрасса, опубликовал примеры подмножеств реальной прямой, известных как множества Кантора , которые обладали необычными свойствами и теперь признаны фракталами. Также во второй половине того же века Феликс Кляйн и Анри Пуанкаре ввели категорию фракталов, которую стали называть «самообратными» фракталами.

Набор Жюлиа , фрактал, связанный с набором Мандельброта.
Прокладка Серпинского может быть сгенерирована фрактальным деревом.

Одна из следующих вех наступила в 1904 году, когда Хельге фон Кох , расширив идеи Пуанкаре и недовольный абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение, включающее нарисованные от руки изображения аналогичной функции, которая сейчас называется снежинкой Коха . Еще одна важная веха наступила десять лет спустя, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник , а год спустя — свой ковер . К 1918 году два французских математика, Пьер Фату и Гастон Жюли , хотя и работали независимо друг от друга, практически одновременно пришли к результатам, описывающим то, что сейчас рассматривается как фрактальное поведение, связанное с отображением комплексных чисел и итерационных функций, что привело к дальнейшим идеям об аттракторах и отталкивателях (т. е. точки, которые притягивают или отталкивают другие точки), которые стали очень важными в изучении фракталов.

Вскоре после того, как эта работа была представлена, к марту 1918 года, Феликс Хаусдорф расширил определение «размерности», значительно для эволюции определения фракталов, чтобы позволить множествам иметь нецелочисленные измерения. Идея самоподобных кривых была развита Полом Леви , который в своей статье 1938 года « Плоские или пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому» описал новую фрактальную кривую, C-кривую Леви .

Странный аттрактор , демонстрирующий мультифрактальное масштабирование
Однородный фрактал треугольника с центром масс
2x 120 градусов рекурсивной IFS

Различные исследователи постулировали, что без помощи современной компьютерной графики ранние исследователи были ограничены тем, что они могли изобразить в ручных рисунках, поэтому им не хватало средств, чтобы визуализировать красоту и оценить некоторые последствия многих из обнаруженных ими узоров. Набор Джулии, например, можно было визуализировать только через несколько итераций в виде очень простых рисунков). Однако все изменилось в 1960-х годах, когда Бенуа Мандельброт начал писать о самоподобии в таких статьях, как « Какова длина побережья Британии?». Статистическая самоподобие и дробная размерность , основанная на более ранней работе Льюиса Фрая Ричардсона .

В 1975 году Мандельброт укрепил сотни лет мысли и математического развития, придумав слово «фрактал» и проиллюстрировав свое математическое определение поразительными компьютерными визуализациями. Эти изображения, такие как его канонический набор Мандельброта , захватили популярное воображение; многие из них были основаны на рекурсии, что привело к популярному значению термина «фрактал».

В 1980 году Лорен Карпентер провел презентацию на SIGGRAPH , где представил свое программное обеспечение для создания и визуализации фрактально сгенерированных ландшафтов.

Определение и характеристики

Одно часто цитируемое описание, опубликованное Мандельбротом для описания геометрических фракталов, представляет собой «грубую или фрагментированную геометрическую форму , которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере, приблизительно) уменьшенной копией целого»; это обычно полезно, но ограничено. Авторы расходятся во мнениях относительно точного определения фрактала , но чаще всего развивают основные идеи самоподобия и необычные отношения фракталов с пространством, в которое они встроены.

Один из моментов, с которым согласны, заключается в том, что фрактальные паттерны характеризуются фрактальными размерностями , но в то время как эти числа количественно определяют сложность (т. е. изменение деталей при изменении масштаба), они не описывают однозначно и не конкретизируют детали того, как строить конкретные фрактальные паттерны. В 1975 году, когда Мандельброт ввел слово «фрактал», он сделал это для обозначения объекта, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого больше, чем его топологическая размерность . Однако кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта , не удовлетворяют этому требованию .

Из-за трудностей, связанных с поиском одного определения фракталов, некоторые утверждают, что фракталы вообще не должны иметь строгого определения. Согласно Фальконеру , фракталы в целом должны характеризоваться совокупностью следующих признаков;

  • Самоподобие, которое может включать:
  • Точное самоподобие: идентично во всех масштабах, например, снежинка Коха.
  • Квазисамоподобие: аппроксимирует один и тот же образец в разных масштабах; может содержать уменьшенные копии всего фрактала в искаженных и вырожденных формах; например, спутники множества Мандельброта являются приближениями всего множества, но не точными копиями.
  • Статистическое самоподобие: повторяет модель стохастически, поэтому числовые или статистические показатели сохраняются в разных масштабах; например, случайно сгенерированные фракталы, такие как хорошо известный пример береговой линии Британии, для которого нельзя было бы ожидать найти сегмент, масштабированный и повторяющийся так аккуратно, как повторяющаяся единица, определяющая фракталы, такие как снежинка Коха.
  • Качественное самоподобие: как во временном ряду
  • Мультифрактальное масштабирование: характеризуется более чем одним фрактальным измерением или правилом масштабирования.
  • Тонкая или детальная структура в сколь угодно малых масштабах. Следствием этой структуры является то, что фракталы могут иметь эмерджентные свойства (относящиеся к следующему критерию в этом списке).
  • Локальная и глобальная иррегулярность, которую нельзя легко описать на языке традиционной евклидовой геометрии , кроме как как предел рекурсивно определенной последовательности стадий. Для изображений фрактальных узоров это выражается такими фразами, как «плавное нагромождение поверхностей» и «завитки за завихрениями»; см. Общие методы создания фракталов .

В совокупности эти критерии образуют рекомендации по исключению определенных случаев, например, тех, которые могут быть самоподобными, но не иметь других типично фрактальных признаков. Прямая линия, например, самоподобна, но не фрактальна, потому что ей не хватает деталей, и ее легко описать на евклидовом языке без необходимости рекурсии.

Общие методы генерации фракталов

Самоподобный шаблон ветвления, смоделированный in silico с использованием принципов L-систем

Изображения фракталов могут быть созданы программами генерации фракталов . Из-за эффекта бабочки небольшое изменение одной переменной может привести к непредсказуемому результату.

Приложения

Имитация фракталов

Фрактальные паттерны широко моделировались, хотя и в пределах диапазона масштабов, а не бесконечно, из-за практических ограничений физического времени и пространства. Модели могут имитировать теоретические фракталы или природные явления с фрактальными свойствами . Результатами процесса моделирования могут быть высокохудожественные визуализации, результаты исследований или эталоны для фрактального анализа . Некоторые конкретные применения фракталов в технологии перечислены в другом месте . Изображения и другие результаты моделирования обычно называют «фракталами», даже если они не обладают строго фрактальными характеристиками, например, когда можно увеличить область фрактального изображения, которая не проявляет никаких фрактальных свойств. Кроме того, они могут включать артефакты расчета или отображения , которые не являются характеристиками настоящих фракталов.

Моделируемые фракталы могут быть звуками, цифровыми изображениями, электрохимическими паттернами, циркадными ритмами и т. д. Фрактальные паттерны реконструируются в физическом трехмерном пространстве и виртуально, что часто называют моделированием « in silico ». Модели фракталов обычно создаются с использованием программного обеспечения для генерации фракталов , которое реализует методы, подобные описанным выше. Например, деревья, папоротники, клетки нервной системы, сосуды крови и легких, а также другие паттерны ветвления в природе можно смоделировать на компьютере с помощью рекурсивных алгоритмов и методов L-систем .

Рекурсивность некоторых закономерностей очевидна на некоторых примерах — ветка дерева или ветвь папоротника — это миниатюрная копия целого: не идентичная, но близкая по своей природе . Точно так же случайные фракталы использовались для описания/создания многих очень нерегулярных объектов реального мира. Ограничением моделирования фракталов является то, что сходство фрактальной модели с природным явлением не доказывает, что моделируемое явление формируется в результате процесса, аналогичного алгоритмам моделирования.

Природные явления с фрактальными чертами

Приблизительные фракталы, встречающиеся в природе, демонстрируют самоподобие в расширенных, но конечных масштабных диапазонах. Связь между фракталами и листьями, например, в настоящее время используется для определения того, сколько углерода содержится в деревьях. Явления, которые, как известно, имеют фрактальные черты, включают:

Фракталы в клеточной биологии

Фракталы часто появляются в мире живых организмов, где они возникают в результате процессов ветвления и других сложных образований. Ян Вонг и его коллеги показали, что мигрирующие клетки могут образовывать фракталы путем кластеризации и ветвления . Нервные клетки функционируют за счет процессов на клеточной поверхности, причем явления усиливаются за счет значительного увеличения отношения поверхности к объему. Как следствие, нервные клетки часто образуют фрактальные узоры. Эти процессы имеют решающее значение в физиологии клеток и различных патологиях .

Также обнаружено, что множественные субклеточные структуры собираются во фракталы. Диего Крапф показал, что благодаря процессам ветвления актиновые филаменты в клетках человека собираются в фрактальные узоры. Точно так же Маттиас Вайс показал, что эндоплазматический ретикулум проявляет фрактальные черты. Текущее понимание состоит в том, что фракталы широко распространены в клеточной биологии, от белков до органелл и целых клеток.

В творческих работах

С 1999 года многочисленные научные группы провели фрактальный анализ более 50 картин, созданных Джексоном Поллоком путем заливки краски прямо на горизонтальные холсты.

Недавно фрактальный анализ использовался для достижения 93% успеха в отличии настоящего минтая от имитационного. Когнитивные нейробиологи показали, что фракталы Поллока вызывают такое же снижение стресса у наблюдателей, как и фракталы, сгенерированные компьютером, и фракталы Природы.

Декалькомания , техника, используемая такими художниками, как Макс Эрнст , может создавать фрактальные узоры. Он включает в себя вдавливание краски между двумя поверхностями и их разделение.

Кибернетик Рон Эглаш предположил, что фрактальная геометрия и математика широко распространены в африканском искусстве , играх, гадании , торговле и архитектуре. Круглые дома появляются в кругах кругов, прямоугольные дома — в прямоугольниках прямоугольников и так далее. Такие модели масштабирования также можно найти в африканском текстиле, скульптуре и даже прическах косички. Хокки Ситунгкир также предположил аналогичные свойства в индонезийском традиционном искусстве, батике и украшениях, которые можно найти в традиционных домах.

Этноматематик Рон Эглаш обсудил спланированную планировку города Бенин , взяв за основу фракталы не только в самом городе и деревнях, но даже в комнатах домов. Он заметил, что «когда европейцы впервые пришли в Африку, они считали архитектуру очень неорганизованной и, следовательно, примитивной. Им никогда не приходило в голову, что африканцы могли использовать форму математики, которую они еще даже не открыли».

В 1996 году в интервью Майклу Сильверблатту Дэвид Фостер Уоллес признал , что структура первого варианта « Бесконечной шутки» , которую он дал своему редактору Майклу Питчу, была вдохновлена ​​фракталами, в частности, треугольником Серпинского (также известным как прокладка Серпинского), но что отредактированный роман "больше похоже на однобокую прокладку Серпинского".

Некоторые работы голландского художника MC Escher , такие как Circle Limit III , содержат формы, повторяющиеся до бесконечности, которые становятся все меньше и меньше по мере приближения к краям, в узоре, который всегда будет выглядеть одинаково при увеличении.

Физиологические реакции

Люди, по-видимому, особенно хорошо приспособлены к обработке фрактальных паттернов со значениями D от 1,3 до 1,5. Когда люди рассматривают фрактальные паттерны со значениями D от 1,3 до 1,5, это снижает физиологический стресс.

Приложения в технике

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Барнсли, Майкл Ф .; и Райзинг, Хоули; Фракталы повсюду . Бостон: Academic Press Professional, 1993. ISBN  0-12-079061-0.
  • Дуарте, Герман А.; Фрактальное повествование. Об отношениях между геометрией и технологиями и их влиянии на повествовательные пространства . Билефельд: Стенограмма, 2014. ISBN  978-3-8376-2829-6
  • Фальконер, Кеннет; Методы фрактальной геометрии . Джон Уайли и сыновья, 1997. ISBN  0-471-92287-0
  • Юргенс, Хартмут; Пейтген, Хайнц-Отто ; и Саупе, Дитмар; Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1992. ISBN  0-387-97903-4.
  • Мандельброт, Бенуа Б. ; Фрактальная геометрия природы . Нью-Йорк: WH Freeman and Co., 1982. ISBN  0-7167-1186-9.
  • Пейтген, Хайнц-Отто; и Саупе, Дитмар; ред.; Наука фрактальных образов . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-96608-0.
  • Пиковер, Клиффорд А. ; изд.; Хаос и фракталы: путешествие в компьютерную графику - сборник передовых исследований за 10 лет . Эльзевир, 1998. ISBN  0-444-50002-2.
  • Джонс, Джесси; Фракталы для Macintosh , издательство Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN  1-878739-46-8 .
  • Ловерье, Ганс; Фракталы: бесконечно повторяющиеся геометрические фигуры , перевод Софии Гилл-Хоффштадт, Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси, 1991. ISBN  0-691-08551-X , ткань. ISBN  0-691-02445-6 в мягкой обложке. «Эта книга написана для широкой аудитории...» В приложении приведены примеры программ на языке BASIC.
  • Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850839-7.
  • Валь, Бернт; Ван Рой, Питер; Ларсен, Майкл; и Кампман, Эрик; Изучение фракталов на Macintosh , Аддисон Уэсли, 1995. ISBN  0-201-62630-6
  • Лесмуар-Гордон, Найджел; Цвета бесконечности: красота, сила и смысл фракталов . 2004. ISBN  1-904555-05-5 (К книге прилагается связанный DVD с документальным введением Артура Кларка в концепцию фрактала и множество Мандельброта .)
  • Лю, Хуацзе; Фрактальное искусство , Чанша: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN  9787535722348 .
  • Гуйе, Жан-Франсуа; Физика и фрактальные структуры (Предисловие Б. Мандельброта); Masson, 1996. ISBN  2-225-85130-1 и Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. ISBN  978-0-387-94153-0 . Из печати. Доступен в PDF-версии по адресу. «Физика и фрактальные структуры» (на французском языке). Jfgouyet.fr . Проверено 17 октября 2010 г.
  • Фальконер, Кеннет (2013). Фракталы, очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета.

Внешние ссылки