Дифракция Френеля - Fresnel diffraction

В оптике , то дифракции Френеля уравнение для дифракции ближнего поля является приближением к дифракции Кирхгофа-Френеля , которые могут быть применены к распространению волн в ближней зоне . Он используется для расчета дифракционной картины, создаваемой волнами, проходящими через отверстие или вокруг объекта, если смотреть с относительно близкого расстояния к объекту. В противоположность этому дифракционная картина в дальней зоне задается уравнением дифракции Фраунгофера .

Ближнее поле может быть задано с помощью числа Френеля , F , из оптического устройства. Когда считается, что дифрагированная волна находится в ближнем поле. Однако справедливость дифракционного интеграла Френеля определяется приближениями, полученными ниже. В частности, фазовые члены третьего порядка и выше должны быть незначительными, условие, которое можно записать как ${\ displaystyle F \ gg 1}$

$${\ displaystyle {\ frac {F \ theta ^ {2}} {4}} \ ll 1,}$$

где - максимальный угол, описываемый как , a и L такие же, как в определении числа Френеля . ${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ тета \ приблизительно а / L}$

Дифракция Френеля, показывающая центральное пятно Араго

Многократная дифракция Френеля на близко расположенных периодических гребнях ( ребристое зеркало ) вызывает зеркальное отражение ; этот эффект можно использовать для атомных зеркал .

Ранние методы лечения этого явления

Некоторые из самых ранних работ по так называемой дифракции Френеля были выполнены Франческо Марией Гримальди в Италии в 17 веке. В своей монографии под названием «Свет» Ричард К. Маклаурин объясняет дифракцию Френеля, задавая вопрос, что происходит при распространении света и как на этот процесс влияет, когда барьер с прорезью или отверстием в нем вставляется в луч, создаваемый удаленным источником света. свет. Он использует принцип Гюйгенса, чтобы исследовать, говоря классическим языком, то, что происходит. Волновой фронт, который исходит от щели и попадает на экран обнаружения на некотором расстоянии, очень близко приближается к волновому фронту, исходящему из области щели, без учета каких-либо мельчайших взаимодействий с реальным физическим краем.

В результате, если зазор очень узкий, могут возникать только дифракционные картины с яркими центрами. Если зазор постепенно увеличивают, то дифракционные картины с темными центрами будут чередоваться с дифракционными картинами с яркими центрами. По мере увеличения зазора различия между темными и светлыми полосами уменьшаются до тех пор, пока дифракционный эффект больше не будет обнаруживаться.

Маклаурин не упоминает о возможности того, что центр серии дифракционных колец, образующихся при прохождении света через маленькое отверстие, может быть черным, но он указывает на обратную ситуацию, когда тень, создаваемая маленьким круглым объектом, может парадоксальным образом иметь яркий свет. центр . (стр.219)

В своей « Оптике» Фрэнсис Уэстон Сирс предлагает математическое приближение, предложенное Френелем, которое предсказывает основные особенности дифракционных картин и использует только простую математику. Рассматривая перпендикулярное расстояние от отверстия в барьерном экране до ближайшего экрана обнаружения вместе с длиной волны падающего света, можно вычислить ряд областей, называемых полупериодическими элементами или зонами Френеля . Внутренняя зона представляет собой круг, а каждая последующая зона представляет собой концентрическое кольцевое кольцо. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен, чтобы обнажить первую или центральную зону Френеля, амплитуда света в центре экрана обнаружения будет вдвое больше, чем было бы, если бы экран обнаружения не был закрыт. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен, чтобы обнажить две зоны Френеля, то амплитуда в центре почти равна нулю. Это означает, что дифракционная картина Френеля может иметь темный центр. Эти закономерности можно увидеть и измерить, и они хорошо соответствуют рассчитанным для них значениям.

Дифракционный интеграл Френеля

Геометрия дифракции, показывающая плоскость апертуры (или дифрагирующего объекта) и плоскость изображения с системой координат.

Картина дифракции электрического поля в точке (x, y, z) определяется выражением:

$${\ displaystyle E \ left (x, y, z \ right) = {\ frac {1} {i \ lambda}} \ iint _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {E \ left (x ', y ', 0 \ right) {\ frac {e ^ {ikr}} {r}}} {\ frac {z} {r}} dx'dy'}$$

куда

• ${\ Displaystyle Е \ влево (х ', у', 0 \ вправо) \,}$ - электрическое поле на отверстии;
• ${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ left (x-x '\ right) ^ {2} + \ left (y-y' \ right) ^ {2} + z ^ {2}}} \,}$;
• ${\ Displaystyle к \,}$- волновое число ; а также${\ displaystyle 2 \ pi / \ lambda \,}$
• ${\ Displaystyle я \,}$это мнимая единица .

Аналитическое решение этого интеграла невозможно для всех, кроме простейших дифракционных геометрий. Поэтому обычно его рассчитывают численно.

Приближение Френеля

Сравнение дифракционной картины, полученной с помощью уравнения Рэлея-Зоммерфельда, (параксиального) приближения Френеля и (дальнего поля) приближения Фраунгофера.

Основная проблема для решения интеграла - это выражение r . Во-первых, мы можем упростить алгебру, введя замену:

$${\ Displaystyle \ rho ^ {2} = \ влево (х-х '\ вправо) ^ {2} + \ влево (у-у' \ вправо) ^ {2} \,}$$

Подставляя в выражение для r , находим:

$${\ Displaystyle г = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} = z {\ sqrt {1 + {\ frac {\ rho ^ {2}} {z ^ {2}}} }}}$$

Затем по биномиальному разложению

$${\ displaystyle {\ sqrt {1 + u}} = (1 + u) ^ {\ frac {1} {2}} = 1 + {\ frac {u} {2}} - {\ frac {u ^ { 2}} {8}} + \ cdots}$$

Мы можем выразить как ${\ displaystyle r}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} r & = z {\ sqrt {1 + {\ frac {\ rho ^ {2}} {z ^ {2}}}}} \\ & = z \ left [1+ { \ frac {\ rho ^ {2}} {2z ^ {2}}} - {\ frac {1} {8}} \ left ({\ frac {\ rho ^ {2}} {z ^ {2}}) } \ right) ^ {2} + \ cdots \ right] \\ & = z + {\ frac {\ rho ^ {2}} {2z}} - {\ frac {\ rho ^ {4}} {8z ^ { 3}}} + \ cdots \ end {выровнены}}}$$

Если рассматривать все члены биномиального ряда, то аппроксимации нет. Подставим это выражение в аргумент экспоненты внутри интеграла; Ключ к приближению Френеля состоит в том, чтобы предположить, что третий член очень мал и может быть проигнорирован, а с этого момента и любых более высоких порядков. Чтобы сделать это возможным, он должен вносить вклад в изменение экспоненты для почти нулевого члена. Другими словами, он должен быть намного меньше периода комплексной экспоненты; то есть : ${\ displaystyle 2 \ pi}$

$${\ Displaystyle к {\ гидроразрыва {\ rho ^ {4}} {8z ^ {3}}} \ ll 2 \ pi}$$

выражая k через длину волны,

$${\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$$

получаем следующие отношения:

$${\ displaystyle {\ frac {\ rho ^ {4}} {z ^ {3} \ lambda}} \ ll 8}$$

Умножая обе стороны на , получаем ${\ displaystyle z ^ {3} / \ lambda ^ {3}}$

$${\ displaystyle {\ frac {\ rho ^ {4}} {\ lambda ^ {4}}} \ ll 8 {\ frac {z ^ {3}} {\ lambda ^ {3}}}}$$

или, заменив предыдущее выражение на , ${\ displaystyle \ rho ^ {2}}$

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda ^ {4}}} \ left [\ left (x-x '\ right) ^ {2} + \ left (y-y' \ right) ^ {2} \ right] ^ {2} \ ll 8 {\ frac {z ^ {3}} {\ lambda ^ {3}}}}$$

Если это условие выполняется для всех значений x , x ' , y и y' , то мы можем игнорировать третий член в выражении Тейлора. Более того, если третьим членом можно пренебречь, тогда все члены более высокого порядка будут еще меньше, поэтому мы также можем игнорировать их.

Для приложений, использующих оптические длины волн, длина волны λ обычно на много порядков меньше соответствующих физических размеров. Особенно:

$${\ displaystyle \ lambda \ ll z}$$

а также

$${\ displaystyle \ lambda \ ll \ rho}$$

Таким образом, с практической точки зрения требуемое неравенство всегда будет выполняться до тех пор, пока

$${\ displaystyle \ rho \ ll z}$$

Затем мы можем аппроксимировать выражение только двумя первыми членами:

$${\ displaystyle r \ приблизительно z + {\ frac {\ rho ^ {2}} {2z}} = z + {\ frac {\ left (x-x '\ right) ^ {2} + \ left (y-y' \ right) ^ {2}} {2z}}}$$

Таким образом, это уравнение является приближением Френеля , а указанное выше неравенство является условием применимости этого приближения.

Дифракция Френеля

Условие достоверности довольно слабое, и оно позволяет всем параметрам длины принимать сопоставимые значения при условии, что апертура мала по сравнению с длиной пути. Для г в знаменателе мы еще один шаг вперед, и аппроксимировать его только с первым членом, . Это справедливо, в частности, если нас интересует поведение поля только в небольшой области, близкой к началу координат, где значения x и y намного меньше, чем z . В общем, дифракция Френеля действительна, если число Френеля приблизительно равно 1. ${\ Displaystyle г \ приблизительно г}$

Тогда для дифракции Френеля электрическое поле в точке определяется выражением: ${\ Displaystyle (х, у, г)}$

$${\ displaystyle E (x, y, z) = {\ frac {e ^ {ikz}} {i \ lambda z}} \ iint _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} E \ left (x ', y ', 0 \ right) e ^ {{\ frac {ik} {2z}} \ left [\ left (x-x' \ right) ^ {2} + \ left (y-y '\ right) ^ { 2} \ right]} dx'dy '}$$

Дифракция Френеля круглой апертуры, построенная с помощью функций Ломмеля

Это дифракционный интеграл Френеля; это означает, что, если справедливо приближение Френеля, распространяющееся поле представляет собой сферическую волну, исходящую из отверстия и движущуюся вдоль z . Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения пока возможно лишь в редких случаях. Для дальнейшего упрощенного случая, действительного только для гораздо больших расстояний от источника дифракции, см. Дифракцию Фраунгофера . В отличие от дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля учитывает кривизну волнового фронта , чтобы правильно рассчитать относительную фазу мешающих волн.

Альтернативные формы

Свертка

Интеграл можно выразить другими способами, чтобы вычислить его с использованием некоторых математических свойств. Если мы определим следующую функцию:

$${\ displaystyle h (x, y, z) = {\ frac {e ^ {ikz}} {i \ lambda z}} e ^ {i {\ frac {k} {2z}} \ left (x ^ {2 } + y ^ {2} \ right)}}$$

тогда интеграл можно выразить в виде свертки :

$${\ Displaystyle E (x, y, z) = E (x, y, 0) * час (x, y, z)}$$

другими словами, мы представляем распространение с помощью моделирования с линейным фильтром. Поэтому функцию можно назвать импульсной характеристикой распространения в свободном пространстве. ${\ Displaystyle ч (х, у, г)}$

преобразование Фурье

Другой возможный способ - преобразование Фурье . Если в интеграле выразить k через длину волны:

$${\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$$

и развернуть каждую составляющую поперечного смещения:

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (x-x '\ right) ^ {2} & = x ^ {2} + {x'} ^ {2} -2xx ', \\\ left (y- y '\ right) ^ {2} & = y ^ {2} + {y'} ^ {2} -2yy ', \ end {align}}}$$

тогда мы можем выразить интеграл через двумерное преобразование Фурье. Воспользуемся следующим определением:

$${\ Displaystyle G (p, q) = {\ mathcal {F}} \ left \ {g (x, y) \ right \} \ Equiv \ iint _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x, y) e ^ {- i2 \ pi (px + qy)} \, dx \, dy,}$$

где p и q - пространственные частоты ( волновые числа ). Интеграл Френеля можно выразить как

$${\ displaystyle {\ begin {align} E (x, y, z) & = \ left. {\ frac {e ^ {ikz}} {i \ lambda z}} e ^ {i {\ frac {\ pi} {\ lambda z}} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} {\ mathcal {F}} \ left \ {E (x ', y', 0) e ^ {i { \ frac {\ pi} {\ lambda z}} \ left ({x '} ^ {2} + {y'} ^ {2} \ right)} \ right \} \ right | _ {p = {\ frac {x} {\ lambda z}}, \ q = {\ frac {y} {\ lambda z}}} \\ & = h (x, y) \ cdot G (p, q) {\ big |} _ {p = {\ frac {x} {\ lambda z}}, \ q = {\ frac {y} {\ lambda z}}}, \ end {align}}}$$

То есть сначала умножьте распространяемое поле на комплексную экспоненту, вычислите его двумерное преобразование Фурье, замените на и умножьте на другой коэффициент. Это выражение лучше других, когда процесс приводит к известному преобразованию Фурье, а связь с преобразованием Фурье усиливается в линейном каноническом преобразовании , обсуждаемом ниже. ${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda z}}, {\ tfrac {y} {\ lambda z}} \ right)}$

Линейное каноническое преобразование

С точки зрения линейного канонического преобразования , дифракцию Френеля можно рассматривать как сдвиг в частотно-временной области , соответствующий тому, как преобразование Фурье представляет собой вращение в частотно-временной области.

Смотрите также

• Фраунгофера дифракция
• Интеграл Френеля
• Зона Френеля
• Число Френеля
• Огюстен-Жан Френель
• Зеркало рифленое
• Тепловизор Френеля
• Спираль Эйлера

Примечания

использованная литература

• Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в фурье-оптику . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . ISBN 0-07-024254-2.