Основная лемма (программа Ленглендса) - Fundamental lemma (Langlands program)

В математической теории автоморфных форм , то основная лемма относится орбитальные интегралы в восстановительном группе в течение локального поля в устойчивые орбитальные интегралы на его эндоскопических группы . Это предположение было высказано Робертом Ленглендсом ( 1983 ) в ходе разработки программы Ленглендса . Фундаментальная лемма была доказана Жераром Лаумоном и Нго Био Чау в случае унитарных групп, а затем Нго (2010) для общих редуктивных групп, основываясь на серии важных редукций, сделанных Жаном-Лу Вальдспургером.на случай алгебр Ли . Журнал Time поместил доказательство Нго в список «10 лучших научных открытий 2009 года». В 2010 году Нго был награжден медалью Филдса за это доказательство.

Мотивация и история

Ленглендс изложил стратегию доказательства локальных и глобальных гипотез Ленглендса с использованием формулы следа Артура – Сельберга , но для того, чтобы этот подход работал, геометрические стороны формулы следа для разных групп должны быть связаны определенным образом. Это соотношение принимает форму тождества между орбитальными интегралами по редуктивным группам G и Н над неархимедовский локальным полем F , где группа Н , называется эндоскопическая группой из G , построенная из G и некоторые дополнительных данных.

Первым рассмотренным случаем был ( Labesse & Langlands, 1979 ). Затем Langlands и Diana Shelstad ( 1987 ) разработали общую основу теории эндоскопического переноса и сформулировали конкретные гипотезы. Однако в течение следующих двух десятилетий был достигнут лишь частичный прогресс в доказательстве основной леммы. Харрис назвал это «узким местом, ограничивающим прогресс в решении множества арифметических вопросов». Сам Ленглендс, писавший о происхождении эндоскопии, прокомментировал: ${\ Displaystyle G = {\ rm {SL}} _ {2}}$

... не основная лемма как таковая имеет решающее значение для аналитической теории автоморфных форм и для арифметики многообразий Шимуры ; это стабилизированная (или стабильная) формула следа, редукция самой формулы следа к стабильной формуле следа для группы и ее эндоскопических групп и стабилизация формулы Гротендика – Лефшеца . Все это невозможно без основной леммы, и ее отсутствие делало прогресс почти невозможным более чем на двадцать лет.

Заявление

Фундаментальная лемма утверждает, что орбитальный интеграл O для группы G равен стабильному орбитальному интегралу SO для эндоскопической группы H с точностью до коэффициента передачи Δ ( Nadler 2012 ):

{\ displaystyle SO _ {\ gamma _ {H}} (1_ {K_ {H}}) = \ Delta (\ gamma _ {H}, \ gamma _ {G}) O _ {\ gamma _ {G}} ^ { \ kappa} (1_ {K_ {G}})}

где

F - локальное поле
G - неразветвленная группа, определенная над F , другими словами, квази-расщепленная редуктивная группа, определенная над F, которая расщепляется над неразветвленным расширением F
H - неразветвленная эндоскопическая группа группы G, ассоциированная с κ
К _С и К _Н являются hyperspecial максимальных компактными подгрупп G и H , что означает , что они примерно являются подгруппами точек с коэффициентами в кольце целых чисел F .
1 _{К _С} и 1 _{К _Н} являются характеристическими функциями K _G и K _H .
Δ (γ _H , γ _G ) - коэффициент передачи, некое элементарное выражение, зависящее от γ _H и γ _G
γ _H и γ _G являются элементами G и H , представляющих стабильных классов сопряженных элементов , такими , что стабильный класс сопряженности G является передачей класса стабильной сопряженности Н .
κ - характер группы классов сопряженности в стабильном классе сопряженности γ _G
SO и O - стабильные орбитальные интегралы и орбитальные интегралы в зависимости от их параметров.

Подходы

Шелстад (1982) доказал основную лемму для архимедовых полей.

Вальдспургер (1991) подтвердил основную лемму для общих линейных групп.

Коттвиц (1992) и Блазиус и Рогавски (1992) подтвердили некоторые случаи фундаментальной леммы для трехмерных унитарных групп.

Хейлз (1997) и Вайссауэр (2009) подтвердили основную лемму для симплектических и общих симплектических групп Sp ₄ , GSp ₄ .

В статье Джорджа Люстига и Дэвида Каждана указывается, что орбитальные интегралы можно интерпретировать как подсчет точек на некоторых алгебраических многообразиях над конечными полями. Кроме того, рассматриваемые интегралы могут быть вычислены способом, который зависит только от поля вычетов F ; и проблема может быть сведена к версии алгебры Ли орбитальных интегралов. Затем проблема была переформулирована в терминах спрингеровского слоя алгебраических групп. Круг идей был связан с гипотезой о чистоте ; Лаумон дал условное доказательство, основанное на такой гипотезе, для унитарных групп. Затем Лаумон и Нго ( 2008 ) доказали фундаментальную лемму для унитарных групп, используя расслоение Хитчина, введенное Нго ( 2006 ), которое является абстрактным геометрическим аналогом системы комплексной алгебраической геометрии Хитчина . Waldspurger (2006) показал для алгебр Ли, что случай функционального поля влечет фундаментальную лемму для всех локальных полей, а Waldspurger (2008) показал, что из фундаментальной леммы для алгебр Ли следует фундаментальная лемма для групп.

Заметки

Внешние ссылки

Лекция Жерара Лаумона по основной лемме для унитарных групп
Баскен, Пол (12 сентября 2010 г.). «Понимание основной леммы Ленглендса» . Хроника высшего образования .

Languages

In other projects