Многочлены Гегенбауэра - Gegenbauer polynomials

В математике , многочлены Гегенбауэра или ультрасферическим полиномов deg ; С ^(α)
_п ( x ) - ортогональные многочлены на интервале [−1,1] относительно весовой функции (1 -  x ² ) ^{α –1/2} . Они обобщают полиномы Лежандра и многочлены Чебышева , и являются частными случаями полиномов Якоби . Они названы в честь Леопольда Гегенбауэра .

Характеристики

• 

  Многочлены Гегенбауэра с α = 1

• 

  Многочлены Гегенбауэра с α = 2

• 

  Многочлены Гегенбауэра с α = 3

• 

  Анимация, показывающая полиномы на плоскости xα для первых 4 значений n .

Доступны различные характеристики полиномов Гегенбауэра.

• Многочлены могут быть определены в терминах их производящей функции ( Stein & Weiss 1971 , §IV.2):

${\ displaystyle {\ frac {1} {(1-2xt + t ^ {2}) ^ {\ alpha}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} C_ {n} ^ {(\ альфа)} (x) t ^ {n}.}$

• Многочлены удовлетворяют рекуррентному соотношению ( Суетин, 2001 ):

${\ displaystyle {\ begin {align} C_ {0} ^ {\ alpha} (x) & = 1 \\ C_ {1} ^ {\ alpha} (x) & = 2 \ alpha x \\ C_ {n} ^ {\ alpha} (x) & = {\ frac {1} {n}} [2x (n + \ alpha -1) C_ {n-1} ^ {\ alpha} (x) - (n + 2 \ alpha -2) C_ {n-2} ^ {\ alpha} (x)]. \ End {align}}}$

• Многочлены Гегенбауэра являются частными решениями дифференциального уравнения Гегенбауэра ( Суетин, 2001 ):

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' - (2 \ alpha +1) xy '+ n (n + 2 \ alpha) y = 0. \,}$

Когда α  = 1/2, уравнение сводится к уравнению Лежандра, а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Лежандра .

При α  = 1 уравнение сводится к дифференциальному уравнению Чебышева, а многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Чебышева второго рода.

• Они задаются как гауссовские гипергеометрические ряды в некоторых случаях, когда ряд фактически конечен:

${\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)} (z) = {\ frac {(2 \ alpha) _ {n}} {n!}} \, _ {2} F_ {1} \ left ( -n, 2 \ alpha + n; \ alpha + {\ frac {1} {2}}; {\ frac {1-z} {2}} \ right).}$

(Абрамовиц и Стегун, стр. 561 ). Здесь (2α) _n - возрастающий факториал . Явно,

${\ Displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ Gamma (n-k + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha) k! (n-2k)!}} (2z) ^ {n-2k}.}.}$

• Это частные случаи многочленов Якоби ( Суетин, 2001 ):

${\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = {\ frac {(2 \ alpha) _ {n}} {(\ alpha + {\ frac {1} {2}}) _ { n}}} P_ {n} ^ {(\ alpha -1/2, \ alpha -1/2)} (x).}$

в котором представляет собой растущий факториал из . ${\ Displaystyle (\ тета) _ {п}}$${\ displaystyle \ theta}$

Следовательно, есть также формула Родригеса

${\ Displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} {\ frac {\ Gamma (\ alpha + {\ frac {1} {2}}) \ Gamma (n + 2 \ alpha)} {\ Gamma (2 \ alpha) \ Gamma (\ alpha + n + {\ frac {1} {2}})}} (1-x ^ {2}) ^ {- \ alpha +1/2} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left [(1-x ^ {2}) ^ {n + \ alpha -1/2} \ right].}$

Ортогональность и нормализация

При фиксированном α полиномы ортогональны на [−1, 1] относительно весовой функции (Abramowitz & Stegun, стр. 774 )

${\ displaystyle w (z) = \ left (1-z ^ {2} \ right) ^ {\ alpha - {\ frac {1} {2}}}.}$

А именно, для п  ≠  м ,

${\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} C_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) C_ {m} ^ {(\ alpha)} (x) (1-x ^ {2} ) ^ {\ alpha - {\ frac {1} {2}}} \, dx = 0.}$

Они нормализуются

${\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} \ left [C_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) \ right] ^ {2} (1-x ^ {2}) ^ {\ альфа - {\ frac {1} {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi 2 ^ {1-2 \ alpha} \ Gamma (n + 2 \ alpha)} {n! (n + \ alpha) [\ Gamma (\ alpha)] ^ {2}}}.}$

Приложения

Полиномы Гегенбауэра естественно появляются как расширения полиномов Лежандра в контексте теории потенциала и гармонического анализа . Ньютонов потенциал в R ^п имеет расширение, действующий с α = ( п  - 2) / 2,

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} | ^ {n-2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mathbf {x} | ^ {k}} {| \ mathbf {y} | ^ {k + n-2}}} C_ {k} ^ {(\ alpha)} ({\ frac {\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {y}} {| \ mathbf {x} || \ mathbf {y} |}}).}$

Когда n  = 3, это дает полиномиальное разложение гравитационного потенциала Лежандра . Аналогичные выражения доступны для разложения ядра Пуассона в шар ( Stein & Weiss, 1971 ).

Отсюда следует, что величины являются сферическими гармониками , если рассматривать их как функцию только от x . Фактически, они являются зональными сферическими гармониками с точностью до нормирующей постоянной. ${\ Displaystyle C_ {к} ^ {((п-2) / 2)} (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y})}$

Многочлены Гегенбауэра также появляются в теории положительно определенных функций .

Неравенство Аски-Gasper читает

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {C_ {j} ^ {\ alpha} (x)} {2 \ alpha + j-1 \ choose j}} \ geq 0 \ qquad (x \ geq -1, \, \ alpha \ geq 1/4).}$

Смотрите также

• Многочлены Роджерса , q- аналог многочленов Гегенбауэра
• Полиномы Чебышева
• Полиномы Романовского

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN.   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . Руководство по ремонту   0167642 . LCCN   65-12253 . * Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5 , MR   2723248
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN   978-0-691-08078-9 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) .
• Суетин, П.К. (2001) [1994], "Ультрасферические многочлены" , Энциклопедия математики , EMS Press .

Конкретный