Геометрическая оптика - Geometrical optics

Геометрическая оптика или лучевая оптика - это модель оптики, которая описывает распространение света в терминах лучей . Луч в геометрической оптике - это абстракция, полезная для приближения путей, по которым распространяется свет при определенных обстоятельствах.

Упрощающие допущения геометрической оптики включают в себя то, что световые лучи:

  • распространяются по прямолинейным путям при движении в однородной среде
  • изгибаться, и в определенных обстоятельствах может разделиться на две части на границе между двумя разнородными средами
  • следовать изогнутым траекториям в среде, в которой изменяется показатель преломления
  • могут быть поглощены или отражены.

Геометрическая оптика не учитывает некоторые оптические эффекты, такие как дифракция и интерференция . Это упрощение полезно на практике; это отличное приближение, когда длина волны мала по сравнению с размером структур, с которыми взаимодействует свет. Эти методы особенно полезны при описании геометрических аспектов изображения , включая оптические аберрации .

Объяснение

Когда свет распространяется в пространстве, он колеблется по амплитуде . На этом изображении каждый пик максимальной амплитуды отмечен плоскостью для иллюстрации волнового фронта . Луч является стрелкой , перпендикулярной к этим параллельным поверхностям.

Луч света , является линией или кривой , которая является перпендикулярной к свету в фронтами (и, следовательно , коллинеарны с волновым вектором ). Несколько более строгое определение светового луча следует из принципа Ферма , который гласит, что путь, пройденный лучом света между двумя точками, - это путь, который можно пройти за наименьшее время.

Геометрическую оптику часто упрощают, используя параксиальное приближение или «приближение малых углов». Затем математическое поведение становится линейным , что позволяет описывать оптические компоненты и системы простыми матрицами. Это приводит к методам гауссовой оптики и параксиальной трассировки лучей , которые используются для определения основных свойств оптических систем, таких как приблизительное положение и увеличение изображения и объекта .

Отражение

Глянцевые поверхности, такие как зеркала, просто и предсказуемо отражают свет. Это позволяет создавать отраженные изображения, которые могут быть связаны с фактическим ( реальным ) или экстраполированным ( виртуальным ) местом в пространстве.

На таких поверхностях направление отраженного луча определяется углом, под которым падающий луч образует нормаль к поверхности - линию, перпендикулярную поверхности в точке, где луч падает. Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, а угол между отраженным лучом и нормалью к поверхности такой же, как и между падающим лучом и нормалью. Это известно как закон отражения .

Для плоских зеркал закон отражения подразумевает, что изображения объектов находятся в вертикальном положении и на том же расстоянии за зеркалом, что и объекты перед зеркалом. Размер изображения такой же, как и размер объекта. (The увеличение плоского зеркала равно единице.) Кроме того, закон предполагает , что зеркальные изображения являются четность инвертируется , которая воспринимается как лево-правая инверсия.

Зеркала с изогнутыми поверхностями можно моделировать с помощью трассировки лучей и использования закона отражения в каждой точке поверхности. Для зеркал с параболическими поверхностями параллельные лучи, падающие на зеркало, создают отраженные лучи, которые сходятся в общем фокусе . Другие изогнутые поверхности также могут фокусировать свет, но с аберрациями из-за расходящейся формы, из-за которых фокус размывается в пространстве. В частности, сферические зеркала демонстрируют сферическую аберрацию . Изогнутые зеркала могут формировать изображения с увеличением больше или меньше единицы, а изображение может быть вертикальным или перевернутым. Вертикальное изображение, образованное отражением в зеркале, всегда виртуально, в то время как перевернутое изображение реально и может проецироваться на экран.

Преломление

Иллюстрация закона Снеллиуса

Преломление возникает, когда свет проходит через область пространства с изменяющимся показателем преломления. Простейший случай преломления возникает, когда существует граница раздела между однородной средой с показателем преломления и другой средой с показателем преломления . В таких ситуациях закон Снеллиуса описывает результирующее отклонение светового луча:

где и - углы между нормалью (к границе раздела) и падающей и преломленной волнами соответственно. Это явление также связано с изменением скорости света, как видно из определения показателя преломления, приведенного выше, что подразумевает:

где и - скорости волн в соответствующих средах.

Различные следствия закона Снеллиуса включают тот факт, что для световых лучей, проходящих от материала с высоким показателем преломления к материалу с низким показателем преломления, взаимодействие с границей раздела может привести к нулевому пропусканию. Это явление называется полным внутренним отражением и учитывает технологию волоконной оптики . Когда световые сигналы проходят по оптоволоконному кабелю, они подвергаются полному внутреннему отражению, что позволяет практически не терять свет по длине кабеля. Также возможно создавать поляризованные световые лучи, используя комбинацию отражения и преломления: когда преломленный луч и отраженный луч образуют прямой угол , отраженный луч имеет свойство «плоской поляризации». Угол падения, необходимый для такого сценария, известен как угол Брюстера .

Закон Снеллиуса можно использовать для предсказания отклонения световых лучей, когда они проходят через «линейную среду», если известны показатели преломления и геометрия среды. Например, распространение света через призму приводит к тому, что световой луч отклоняется в зависимости от формы и ориентации призмы. Кроме того, поскольку разные частоты света имеют немного разные показатели преломления в большинстве материалов, преломление можно использовать для получения спектров дисперсии, которые выглядят как радуги. Известно, что открытие этого явления при прохождении света через призму приписывают Исааку Ньютону .

Некоторые среды имеют показатель преломления, который постепенно изменяется в зависимости от положения, и, таким образом, световые лучи изгибаются через среду, а не движутся по прямым линиям. Этот эффект является причиной миражей, наблюдаемых в жаркие дни, когда изменяющийся показатель преломления воздуха заставляет световые лучи изгибаться, создавая видимость зеркальных отражений на расстоянии (как если бы на поверхности водоема). Материал с переменным показателем преломления называется материалом с градиентным показателем преломления (GRIN) и имеет множество полезных свойств, используемых в современных технологиях оптического сканирования, включая копировальные аппараты и сканеры . Явление изучается в области градиентной оптики .

Схема трассировки лучей для простой собирающей линзы.

Устройство, которое из-за преломления создает сходящиеся или расходящиеся световые лучи, известно как линза . Тонкие линзы создают точки фокусировки с обеих сторон, которые можно смоделировать с помощью уравнения производителя линз . В общем, существует два типа линз: выпуклые линзы , которые заставляют параллельные световые лучи сходиться, и вогнутые линзы , которые заставляют параллельные световые лучи расходиться. Подробный прогноз того, как эти линзы создают изображения, можно сделать с помощью трассировки лучей, аналогичной изогнутым зеркалам. Подобно изогнутым зеркалам, тонкие линзы подчиняются простому уравнению, которое определяет положение изображений при определенном фокусном расстоянии ( ) и расстоянии до объекта ( ):

где - расстояние, связанное с изображением, которое по соглашению считается отрицательным, если на той же стороне линзы, что и объект, и положительным, если на противоположной стороне линзы. Фокусное расстояние f считается отрицательным для вогнутых линз.

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое реальное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое реальное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Лучи от объекта на конечном расстоянии фокусируются дальше от линзы, чем фокусное расстояние; Чем ближе объект к линзе, тем дальше от линзы находится изображение. В вогнутых линзах входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли на вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той же стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .

В вогнутых линзах входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли на вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той же стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .

Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и на той же стороне линзы, что и объект. Чем ближе объект к объективу, тем ближе виртуальное изображение к объективу.

Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и на той же стороне линзы, что и объект.

Точно так же увеличение линзы определяется как

где отрицательный знак по соглашению используется для обозначения вертикального объекта для положительных значений и перевернутого объекта для отрицательных значений. Как и в случае с зеркалами, вертикальные изображения, создаваемые одиночными линзами, виртуальны, а перевернутые изображения реальны.

Линзы страдают от аберраций , искажающих изображения и точки фокусировки. Это связано как с геометрическими дефектами, так и с изменением показателя преломления для разных длин волн света ( хроматическая аберрация ).

Основная математика

В качестве математического исследования, геометрической оптики выступает в качестве кратко- длины волны предела для решений гиперболических дифференциальных уравнений в частных (метод Зоммерфельда-Рунге) или как свойство распространения полевых разрывов в соответствии с уравнений Максвелла (метод Люнебург). В этом коротковолновом пределе решение можно аппроксимировать локально следующим образом:

где удовлетворяют дисперсионному соотношению , а амплитуда изменяется медленно. Точнее, решение ведущего порядка имеет вид

Фазу можно линеаризовать для восстановления большого волнового числа и частоты . Амплитуда удовлетворяет уравнению переноса . Малый параметр попадает в сцену из-за сильно колеблющихся начальных условий. Таким образом, когда начальные условия колеблются намного быстрее, чем коэффициенты дифференциального уравнения, решения будут сильно колебаться и переноситься вдоль лучей. Если предположить, что коэффициенты в дифференциальном уравнении гладкие, лучи тоже будут. Другими словами, преломления не происходит. Мотивация для этого метода исходит из изучения типичного сценария распространения света, когда коротковолновый свет распространяется вдоль лучей, которые минимизируют (более или менее) время его прохождения. Его полное применение требует инструментов микролокального анализа .

Метод Зоммерфельда – Рунге

Метод получения уравнений геометрической оптики с использованием предела нулевой длины волны был впервые описан Арнольдом Зоммерфельдом и Дж. Рунге в 1911 году. Их вывод был основан на устном замечании Питера Дебая . Рассмотрим монохроматическое скалярное поле , где может быть любая из составляющих электрического или магнитного поля, и, следовательно, функция удовлетворяет волновому уравнению

где с является скоростью света в вакууме. Здесь - показатель преломления среды. Без ограничения общности введем преобразование уравнения к виду

Поскольку основной принцип геометрической оптики лежит в пределе , предполагается следующий асимптотический ряд:

При большом, но конечном значении ряд расходится, и нужно соблюдать осторожность, сохраняя только подходящие первые несколько членов. Для каждого значения можно найти оптимальное количество терминов, которые необходимо сохранить, и добавление большего количества членов, чем оптимальное количество, может привести к более плохой аппроксимации. Подставляя ряд в уравнение и собирая члены разного порядка, находим

В основном,

Первое уравнение известно как уравнение эйконала , которое определяет эйконал, является уравнением Гамильтона – Якоби , записанное, например, в декартовых координатах, становится

Остальные уравнения определяют функции .

Люнебургский метод

Метод получения уравнений геометрической оптики путем анализа поверхностей разрывов решений уравнений Максвелла был впервые описан Рудольфом Карлом Люнебургом в 1944 году. Он не ограничивает электромагнитное поле специальным видом (в методе Зоммерфельда-Рунге это не так. Ясно, что поле, амплитуда которого зависит от амплитуды, все равно дает уравнение эйконала, т. е. геометрический оптический волновой фронт). Главный вывод такого подхода следующий:

Теорема. Предположим, что поля и (в линейной изотропной среде, описываемой диэлектрической проницаемостью и ) имеют конечные разрывы вдоль (движущейся) поверхности, описываемой уравнением . Тогда из уравнений Максвелла в интегральной форме следует, что удовлетворяет уравнению эйконала:

,

где - показатель преломления среды (гауссовы единицы).

Примером такой поверхности разрыва является начальный волновой фронт, исходящий от источника, который начинает излучать в определенный момент времени.

Таким образом, поверхности неоднородности поля становятся волновыми фронтами геометрической оптики с соответствующими полями геометрической оптики, определяемыми как:

Эти поля подчиняются уравнениям переноса, согласующимся с уравнениями переноса подхода Зоммерфельда-Рунге. Световые лучи в теории Люнебурга определяются как траектории, ортогональные поверхности разрыва, и при правильной параметризации можно показать, что они подчиняются принципу наименьшего времени Ферма, тем самым устанавливая тождество этих лучей со световыми лучами стандартной оптики.

Сказанное выше можно обобщить на анизотропные среды.

Доказательство теоремы Люнебурга основано на исследовании того, как уравнения Максвелла управляют распространением разрывов решений. Основная техническая лемма такова:

Техническая лемма. Пусть гиперповерхность (3-мерное многообразие) в пространстве - времени , на котором один или более из: , , , , имеют конечный разрыв. Тогда в каждой точке гиперповерхности верны следующие формулы:

где оператор действует в -пространстве (для каждого фиксированного ), а квадратные скобки обозначают разность значений по обе стороны от поверхности разрыва (настроены в соответствии с произвольным, но фиксированным соглашением, например, градиент, указывающий в направлении величин вычитается из ).

Схема доказательства. Начнем с уравнений Максвелла вдали от источников (гауссовские единицы):

Используя теорему Стокса в, можно сделать вывод из первого из приведенных выше уравнений, что для любой области в с кусочно гладкой границей верно следующее:

где проекция внешней единичной нормали от на 3D среза , и представляет собой объем 3-форма на . Аналогичным образом из оставшихся уравнений Максвелла устанавливается следующее:

Теперь, рассматривая произвольные малые подгруппы поверхности из и создания малых окрестностей вокруг в , и вычитая выше интегралы соответственно, получает:

где обозначает градиент в 4-мерном пространстве. А поскольку оно произвольно, подынтегральные выражения должны быть равны 0, что доказывает лемму.

Теперь легко показать, что, проходя через сплошную среду, поверхности разрыва подчиняются уравнению эйконала. В частности, если и являются непрерывными, то разрывы и удовлетворяют: и . В этом случае первые два уравнения леммы можно записать в виде:

Взяв кросс-произведение первого уравнения и подставив второе, получим:

По второму из уравнений Максвелла, и , следовательно, для точек , лежащих на поверхности только :

(Обратите внимание, что наличие разрыва важно на этом этапе, иначе мы бы делили на ноль.)

Из физических соображений без ограничения общности можно предположить, что это имеет следующую форму:, т.е. двумерная поверхность, движущаяся в пространстве, смоделированная как поверхности уровня . (Математически существует, если по теореме о неявной функции .) Вышеупомянутое уравнение, записанное в терминах, принимает следующий вид:

т.е.

который является уравнение эйконала , и это справедливо для всех , , , так как переменная отсутствует. Другие законы оптики, такие как закон Снеллиуса и формулы Френеля, можно получить аналогичным образом, рассматривая разрывы в и .

Общее уравнение с использованием четырехвекторной записи

В четырехвекторных обозначениях, используемых в специальной теории относительности , волновое уравнение можно записать как

и замена приводит к

Следовательно, уравнение эйконала имеет вид

Как только эйконал найден путем решения вышеуказанного уравнения, волновой четырехвектор может быть найден из

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Английские переводы некоторых ранних книг и статей

внешние ссылки