Геометрическая прогрессия - Geometric progression

Диаграмма, показывающая три основные геометрические последовательности паттерна 1 ( r n -1 ) глубиной до 6 итераций. Первый блок - это единичный блок, а пунктирная линия представляет собой бесконечную сумму последовательности, число, к которому он всегда будет приближаться, но никогда не коснется: 2, 3/2 и 4/3 соответственно.

В математике , А геометрическая прогрессия , также известная как геометрическая последовательность , является последовательностью ненулевых чисел , где каждый член после первого определяются умножение предыдущего на фиксированное, ненулевое числе называется общее соотношение . Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с обычным отношением 3. Точно так же 10, 5, 2,5, 1,25, ... геометрическая последовательность с обычным отношением 1/2.

Примерами геометрической последовательности являются степени r k фиксированного ненулевого числа r , например 2 k и 3 k . Общий вид геометрической последовательности:

где r ≠ 0 - общее отношение, а a ≠ 0 - коэффициент масштабирования , равный начальному значению последовательности.

Различие между прогрессией и серией состоит в том, что прогрессия - это последовательность, а серия - это сумма.

Элементарные свойства

П -й член геометрической последовательности с начальным значением а = 1 и общий коэффициент г задается

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению

для каждого целого числа

Как правило, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение.

Общее отношение геометрической последовательности может быть отрицательным, что приводит к чередованию последовательности с чередованием чисел между положительными и отрицательными. Например

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

геометрическая последовательность с общим отношением −3.

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения.
Если общее соотношение:

Геометрические последовательности (с общим отношением, не равным -1, 1 или 0) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальный спад, в отличие от линейного роста (или спада) арифметической прогрессии, такой как 4, 15, 26, 37, 48,… (с общим отличием 11). Этот результат был взят Т. Р. Мальтусом в качестве математической основы своего принципа народонаселения . Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что любые три последовательных члена a , b и c будут удовлетворять следующему уравнению:

где b считается средним геометрическим между a и c .

Геометрическая серия

2 + 10 + 50 + 250 знак равно 312
- ( 10 + 50 + 250 + 1250 знак равно 5 × 312)

2 - 1250 знак равно (1-5) × 312

Вычисление суммы 2 + 10 + 50 + 250. Последовательность поэтапно умножается на 5, а затем вычитается из исходной последовательности. Остаются два члена: первый член, a , и термин, следующий за последним, или ar m . Желаемый результат, 312, находится путем вычитания этих двух членов и деления на 1-5.

Геометрическая прогрессия является суммой чисел в геометрической прогрессии. Например:

Пусть a будет первым членом (здесь 2), n будет количеством членов (здесь 4) и r будет константой, на которую умножается каждый член, чтобы получить следующий член (здесь 5), сумма определяется как:

В приведенном выше примере это дает:

Формула работает для любых действительных чисел a и r (кроме r = 1, что приводит к делению на ноль). Например:

Поскольку вывод (ниже) не зависит от вещественных чисел a и r , он верен и для комплексных чисел.

Вывод

Чтобы вывести эту формулу, сначала напишите общий геометрический ряд как:

Мы можем найти более простую формулу для этой суммы, умножив обе части приведенного выше уравнения на 1 - r , и мы увидим, что

поскольку все остальные условия отменяются. Если r ≠ 1, мы можем изменить приведенное выше, чтобы получить удобную формулу для геометрического ряда, который вычисляет сумму n членов:

Связанные формулы

Если начать суммирование не с k = 1, а с другого значения, скажем m , то

при условии . Если тогда сумма просто константы и поэтому равна .

Дифференцируя эту формулу по r , можно прийти к формулам для сумм вида

Например:

Для геометрического ряда, содержащего только четные степени r, умножаем на 1 - r 2   :

потом

Точно так же возьмите   r 2   как обычное отношение и используйте стандартную формулировку.

Для ряда только с нечетными степенями r

а также

Точная формула для обобщенной суммы при разложении на числа Стирлинга второго рода как

Бесконечный геометрический ряд

Бесконечная геометрическая прогрессия представляет собой бесконечный ряд , последовательные термины имеет общее соотношение. Такой ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы (| r | <1). Его значение затем может быть вычислено по формуле конечной суммы

Анимация, показывающая схождение частичных сумм геометрической прогрессии (красная линия) к ее сумме (синяя линия) для .
Диаграмма, показывающая геометрический ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯, который сходится к 2.

С:

Потом:

Для серии, содержащей только четные степени ,

и только для нечетных полномочий,

В случаях, когда сумма не начинается при k = 0,

Приведенные выше формулы действительны только для | г | <1. Последняя формула верна в любой банаховой алгебре , пока норма r меньше единицы, а также в поле p -адических чисел, если | г | p  <1. Как и в случае с конечной суммой, мы можем дифференцировать, чтобы вычислить формулы для связанных сумм. Например,

Эта формула работает только для | г | <1. Отсюда следует, что при | г | <1,

Кроме того, бесконечный ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ является элементарным примером абсолютно сходящегося ряда .

Это геометрический ряд , первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно 1/2, поэтому его сумма равна

Обратный к вышеуказанному ряду равен 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ - простой пример переменного ряда, который абсолютно сходится.

Это геометрический ряд , первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно -1/2, поэтому его сумма равна

Сложные числа

Формула суммирования для геометрических рядов остается в силе, даже если обычное отношение является комплексным числом . В этом случае условие , что абсолютная величина г будет меньше , чем 1 становится , что модуль упругости на г быть меньше 1. Это можно вычислить суммы некоторой неочевидным геометрической прогрессии. Например, рассмотрим предложение

Доказательство этого исходит из того факта, что

что является следствием формулы Эйлера . Подстановка этого в исходную серию дает

.

В этом разница между двумя геометрическими рядами, и поэтому простое применение формулы для бесконечных геометрических рядов завершает доказательство.

Продукт

Результатом геометрической прогрессии является произведение всех терминов. Его можно быстро вычислить, взяв среднее геометрическое первого и последнего отдельных членов прогрессии и возведя это среднее в степень, заданную числом членов. (Это очень похоже на формулу для суммы членов арифметической последовательности : возьмите среднее арифметическое первого и последнего отдельных членов и умножьте на количество членов.)

Поскольку среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из их произведения, произведение геометрической прогрессии равно:

.

(Интересным аспектом этой формулы является то, что, хотя она включает извлечение квадратного корня из потенциально нечетной степени потенциально отрицательного r , она не может дать сложный результат, если ни a, ни r не имеют мнимой части. , если r будет отрицательным, а n нечетным, для извлечения квадратного корня из отрицательного промежуточного результата, в результате чего последующий промежуточный результат будет мнимым числом. Однако воображаемый промежуточный результат, образованный таким образом, вскоре будет возведен в степень , которая должна быть четным числом, поскольку n само по себе было нечетным; таким образом, окончательный результат вычисления может быть правдоподобно нечетным числом, но никогда не может быть мнимым.)

Доказательство

Пусть P представляет продукт. По определению, его вычисляют путем явного умножения каждого отдельного члена вместе. Написано полностью,

.

Производя умножения и собирая подобные термины,

.

Показатель r - это сумма арифметической последовательности. Подставляя формулу для этого расчета,

,

что позволяет упростить выражение до

.

Переписывание , как ,

,

что завершает доказательство.

История

Глиняная табличка раннего династического периода в Месопотамии , MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Предполагается, что это шумер из города Шуруппак . Это единственное известное свидетельство геометрической прогрессии еще до вавилонской математики .

Книги VIII и IX в Евклиде «s элементов анализируют геометрические прогрессии (например, степени двойки , в статье для деталей) и дать некоторые из их свойств.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки