Геометрическая прогрессия - Geometric progression
В математике , А геометрическая прогрессия , также известная как геометрическая последовательность , является последовательностью ненулевых чисел , где каждый член после первого определяются умножение предыдущего на фиксированное, ненулевое числе называется общее соотношение . Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с обычным отношением 3. Точно так же 10, 5, 2,5, 1,25, ... геометрическая последовательность с обычным отношением 1/2.
Примерами геометрической последовательности являются степени r k фиксированного ненулевого числа r , например 2 k и 3 k . Общий вид геометрической последовательности:
где r ≠ 0 - общее отношение, а a ≠ 0 - коэффициент масштабирования , равный начальному значению последовательности.
Различие между прогрессией и серией состоит в том, что прогрессия - это последовательность, а серия - это сумма.
Элементарные свойства
П -й член геометрической последовательности с начальным значением а = 1 и общий коэффициент г задается
Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению
- для каждого целого числа
Как правило, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение.
Общее отношение геометрической последовательности может быть отрицательным, что приводит к чередованию последовательности с чередованием чисел между положительными и отрицательными. Например
- 1, −3, 9, −27, 81, −243, ...
геометрическая последовательность с общим отношением −3.
Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения.
Если общее соотношение:
- положительный, все термины будут иметь тот же знак, что и исходный член.
- отрицательный, термины будут чередоваться между положительными и отрицательными.
- больше 1, будет экспоненциальный рост в сторону положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знака начального члена).
- 1 прогрессия представляет собой постоянную последовательность.
- между -1 и 1, но не нулем, будет экспоненциальный спад к нулю (→ 0).
- −1, абсолютное значение каждого члена в последовательности постоянно, а члены чередуются по знаку.
- меньше -1, для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост к (беззнаковой) бесконечности из-за переменного знака.
Геометрические последовательности (с общим отношением, не равным -1, 1 или 0) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальный спад, в отличие от линейного роста (или спада) арифметической прогрессии, такой как 4, 15, 26, 37, 48,… (с общим отличием 11). Этот результат был взят Т. Р. Мальтусом в качестве математической основы своего принципа народонаселения . Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.
Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что любые три последовательных члена a , b и c будут удовлетворять следующему уравнению:
где b считается средним геометрическим между a и c .
Геометрическая серия
2 | + | 10 | + | 50 | + | 250 | знак равно | 312 | |||
- ( | 10 | + | 50 | + | 250 | + | 1250 | знак равно | 5 × 312) | ||
|
|||||||||||
2 | - | 1250 | знак равно | (1-5) × 312 |
Геометрическая прогрессия является суммой чисел в геометрической прогрессии. Например:
Пусть a будет первым членом (здесь 2), n будет количеством членов (здесь 4) и r будет константой, на которую умножается каждый член, чтобы получить следующий член (здесь 5), сумма определяется как:
В приведенном выше примере это дает:
Формула работает для любых действительных чисел a и r (кроме r = 1, что приводит к делению на ноль). Например:
Поскольку вывод (ниже) не зависит от вещественных чисел a и r , он верен и для комплексных чисел.
Вывод
Чтобы вывести эту формулу, сначала напишите общий геометрический ряд как:
Мы можем найти более простую формулу для этой суммы, умножив обе части приведенного выше уравнения на 1 - r , и мы увидим, что
поскольку все остальные условия отменяются. Если r ≠ 1, мы можем изменить приведенное выше, чтобы получить удобную формулу для геометрического ряда, который вычисляет сумму n членов:
Связанные формулы
Если начать суммирование не с k = 1, а с другого значения, скажем m , то
при условии . Если тогда сумма просто константы и поэтому равна .
Дифференцируя эту формулу по r , можно прийти к формулам для сумм вида
Например:
Для геометрического ряда, содержащего только четные степени r, умножаем на 1 - r 2 :
потом
Точно так же возьмите r 2 как обычное отношение и используйте стандартную формулировку.
Для ряда только с нечетными степенями r
а также
Точная формула для обобщенной суммы при разложении на числа Стирлинга второго рода как
Бесконечный геометрический ряд
Бесконечная геометрическая прогрессия представляет собой бесконечный ряд , последовательные термины имеет общее соотношение. Такой ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы (| r | <1). Его значение затем может быть вычислено по формуле конечной суммы
С:
Потом:
Для серии, содержащей только четные степени ,
и только для нечетных полномочий,
В случаях, когда сумма не начинается при k = 0,
Приведенные выше формулы действительны только для | г | <1. Последняя формула верна в любой банаховой алгебре , пока норма r меньше единицы, а также в поле p -адических чисел, если | г | p <1. Как и в случае с конечной суммой, мы можем дифференцировать, чтобы вычислить формулы для связанных сумм. Например,
Эта формула работает только для | г | <1. Отсюда следует, что при | г | <1,
Кроме того, бесконечный ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ является элементарным примером абсолютно сходящегося ряда .
Это геометрический ряд , первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно 1/2, поэтому его сумма равна
Обратный к вышеуказанному ряду равен 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ - простой пример переменного ряда, который абсолютно сходится.
Это геометрический ряд , первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно -1/2, поэтому его сумма равна
Сложные числа
Формула суммирования для геометрических рядов остается в силе, даже если обычное отношение является комплексным числом . В этом случае условие , что абсолютная величина г будет меньше , чем 1 становится , что модуль упругости на г быть меньше 1. Это можно вычислить суммы некоторой неочевидным геометрической прогрессии. Например, рассмотрим предложение
Доказательство этого исходит из того факта, что
что является следствием формулы Эйлера . Подстановка этого в исходную серию дает
- .
В этом разница между двумя геометрическими рядами, и поэтому простое применение формулы для бесконечных геометрических рядов завершает доказательство.
Продукт
Результатом геометрической прогрессии является произведение всех терминов. Его можно быстро вычислить, взяв среднее геометрическое первого и последнего отдельных членов прогрессии и возведя это среднее в степень, заданную числом членов. (Это очень похоже на формулу для суммы членов арифметической последовательности : возьмите среднее арифметическое первого и последнего отдельных членов и умножьте на количество членов.)
Поскольку среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из их произведения, произведение геометрической прогрессии равно:
- .
(Интересным аспектом этой формулы является то, что, хотя она включает извлечение квадратного корня из потенциально нечетной степени потенциально отрицательного r , она не может дать сложный результат, если ни a, ни r не имеют мнимой части. , если r будет отрицательным, а n нечетным, для извлечения квадратного корня из отрицательного промежуточного результата, в результате чего последующий промежуточный результат будет мнимым числом. Однако воображаемый промежуточный результат, образованный таким образом, вскоре будет возведен в степень , которая должна быть четным числом, поскольку n само по себе было нечетным; таким образом, окончательный результат вычисления может быть правдоподобно нечетным числом, но никогда не может быть мнимым.)
Доказательство
Пусть P представляет продукт. По определению, его вычисляют путем явного умножения каждого отдельного члена вместе. Написано полностью,
- .
Производя умножения и собирая подобные термины,
- .
Показатель r - это сумма арифметической последовательности. Подставляя формулу для этого расчета,
- ,
что позволяет упростить выражение до
- .
Переписывание , как ,
- ,
что завершает доказательство.
История
Глиняная табличка раннего династического периода в Месопотамии , MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Предполагается, что это шумер из города Шуруппак . Это единственное известное свидетельство геометрической прогрессии еще до вавилонской математики .
Книги VIII и IX в Евклиде «s элементов анализируют геометрические прогрессии (например, степени двойки , в статье для деталей) и дать некоторые из их свойств.
Смотрите также
- Арифметическая прогрессия - последовательность чисел с постоянной разницей между последовательными числами
- Арифметико-геометрическая последовательность
- Линейное разностное уравнение
- Экспоненциальная функция - класс конкретных математических функций
- Гармоническая прогрессия
- Гармонический ряд - бесконечный ряд обратных положительных целых чисел
- Бесконечная серия - Бесконечная сумма
- Предпочтительное число - стандартные рекомендации по выбору точных размеров продукта в рамках заданного набора ограничений.
- Томас Роберт Мальтус - британский политический экономист (1766–1834)
- Геометрическое распределение - распределение вероятностей
использованная литература
- Холл и Найт, Высшая алгебра , стр. 39, ISBN 81-8116-000-2
внешние ссылки
- "Геометрическая прогрессия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вывод формул суммы конечной и бесконечной геометрической прогрессии на Mathalino.com
- Калькулятор геометрической прогрессии
- Хорошее доказательство геометрической суммы прогрессии на sputsoft.com
- Вайсштейн, Эрик В. "Геометрические ряды" . MathWorld .