Феномен Гиббса - Gibbs phenomenon

В математике , то явление Гиббса, обнаружил Генри Wilbraham  ( 1848 ) и вновь открыта Гиббс  ( 1899 ), является своеобразным способом , в котором ряды Фурье оператора А кусочно непрерывно дифференцируемых периодических функций ведет себя при виде скачка разрыва . П - й частичной суммы ряда Фурье имеет большие колебания вблизи скачка, что может увеличить максимум частичной суммы выше, чем в самой функции. Выброс не затухает при увеличении n , но приближается к конечному пределу. Подобное поведение наблюдали и физики-экспериментаторы, но считали, что это связано с несовершенством измерительного прибора.

Это одна из причин появления артефактов звонка при обработке сигнала .

Описание

Функциональная аппроксимация прямоугольной волны с использованием 5 гармоник

Функциональная аппроксимация прямоугольной волны с использованием 25 гармоник

Функциональная аппроксимация прямоугольной волны с использованием 125 гармоник

Феномен Гиббса включает в себя как тот факт, что сумма Фурье выходит за пределы скачка при разрыве скачка , так и то, что это превышение не исчезает по мере добавления дополнительных членов к сумме.

Три изображения справа демонстрируют явление для прямоугольной волны (высоты ), разложение Фурье которой равно ${\ displaystyle \ pi / 4}$

${\ displaystyle \ sin (x) + {\ frac {1} {3}} \ sin (3x) + {\ frac {1} {5}} \ sin (5x) + \ dotsb.}$

Точнее, это функция f, которая равна между и, и между и для каждого целого числа n ; таким образом, эта прямоугольная волна имеет скачкообразный скачок высоты во всех целых кратных . ${\ displaystyle \ pi / 4}$${\ displaystyle 2n \ pi}$${\ Displaystyle (2n + 1) \ pi}$${\ displaystyle - \ pi / 4}$${\ Displaystyle (2n + 1) \ pi}$${\ Displaystyle (2n + 2) \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle \ pi}$

Как видно, по мере увеличения числа членов ошибка аппроксимации уменьшается по ширине и энергии, но приближается к фиксированной высоте. Расчет для прямоугольной волны (см. Зигмунд, глава 8.5. Или вычисления в конце этой статьи) дает явную формулу для предела высоты ошибки. Оказывается, ряд Фурье превышает высоту прямоугольной волны на ${\ displaystyle \ pi / 4}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt - {\ frac {\ pi} {4} } = {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot (0,089489872236 \ точек)}$( OEIS :  A243268 )

или около 9 процентов прыжка. В более общем смысле, в любой точке скачка кусочно-непрерывно дифференцируемой функции со скачком на a , n- й частичный ряд Фурье (для очень большого n ) будет преодолевать этот скачок примерно на одном конце и недооценивать его на такую ​​же величину на другом. конец; таким образом, «скачок» в частичном ряду Фурье будет примерно на 18% больше, чем скачок в исходной функции. В месте самого разрыва частичный ряд Фурье будет сходиться к середине скачка (независимо от того, каково фактическое значение исходной функции в этой точке). Количество ${\ displaystyle a \ cdot (0,089489872236 \ точек)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin t} {t}} \ dt = (1.851937051982 \ dots) = {\ frac {\ pi} {2}} + \ pi \ cdot (0,089489872236 \ точек)}$( OEIS :  A036792 )

иногда называют константой Уилбрахама – Гиббса .

История

Феномен Гиббса был впервые замечен и проанализирован Генри Уилбрахамом в статье 1848 года. Работа привлекала мало внимания до 1914 года, когда она была упомянута в обзоре математического анализа Генриха Буркхардта в энциклопедии Кляйна . В 1898 году Альберт А. Майкельсон разработал устройство, которое могло вычислять и повторно синтезировать ряды Фурье. Широко распространенный миф гласит, что когда в машину вводились коэффициенты Фурье для прямоугольной волны, график колебался на неоднородностях, и что, поскольку это было физическое устройство, подверженное производственным дефектам, Майкельсон был убежден, что перерегулирование было вызвано ошибками. в машине. На самом деле графики, созданные машиной, были недостаточно хороши, чтобы ясно продемонстрировать феномен Гиббса, и Майкельсон, возможно, не заметил этого, поскольку он не упомянул об этом эффекте в своей статье ( Michelson & Stratton 1898 ) о своей машине или своих более поздних письмах. к природе . Вдохновленный некоторой корреспонденцией в природе между Майкельсоном и Лавом о сходимости ряда Фурье квадратной волновой функции, в 1898 году Дж. Уиллард Гиббс опубликовал короткую заметку, в которой он рассмотрел то, что сегодня назвали бы пилообразной волной, и указал на важные различие между пределом графиков частичных сумм ряда Фурье и графиком функции, которая является пределом этих частичных сумм. В своем первом письме Гиббс не заметил явления Гиббса, и предел, который он описал для графиков частичных сумм, был неточным. В 1899 г. он опубликовал поправку, в которой описал выброс в точке разрыва ( Nature , 27 апреля 1899 г., стр. 606). В 1906 году Максим Бохер дал подробный математический анализ этого выброса, придумав термин «феномен Гиббса» и широко использовав этот термин.

После того, как о существовании статьи Генри Уилбрахама стало широко известно, в 1925 году Горацио Скотт Карслоу заметил: «Мы все еще можем называть это свойство ряда Фурье (и некоторых других рядов) феноменом Гиббса; но мы больше не должны утверждать, что это свойство было первым открыл Гиббс ".

Объяснение

Неформально, явление Гиббса отражает трудность , присущую аппроксимирующий разрывную функцию с помощью конечной серии непрерывных волн синуса и косинуса. Важно сделать акцент на слове конечный, потому что даже если каждая частичная сумма ряда Фурье выходит за пределы функции, которую она приближает, предел частичных сумм этого не делает. Значение x, при котором достигается максимальное превышение, смещается все ближе и ближе к разрыву по мере увеличения количества суммированных членов, поэтому, опять же неофициально, после того, как превышение прошло на конкретный x , сходимость при этом значении x возможна.

Нет никакого противоречия в том, что перерегулирование сходится к ненулевой величине, но предел частичных сумм не имеет превышения, потому что местоположение этого перерегулирования смещается. У нас есть поточечная сходимость , но не равномерная . Для кусочной функции C ¹ ряд Фурье сходится к функции в каждой точке, кроме скачков. На самих разрывах скачка предел будет сходиться к среднему значению функции по обе стороны от скачка. Это следствие теоремы Дирихле .

Явление Гиббса также тесно связано с принципом, согласно которому уменьшение коэффициентов Фурье функции на бесконечности контролируется гладкостью этой функции; очень гладкие функции будут иметь очень быстро убывающие коэффициенты Фурье (что приведет к быстрой сходимости ряда Фурье), тогда как прерывистые функции будут иметь очень медленно убывающие коэффициенты Фурье (что приведет к очень медленной сходимости ряда Фурье). Обратите внимание, например, что коэффициенты Фурье 1, -1/3, 1/5, ... прерывистой прямоугольной волны, описанной выше, затухают только с такой же скоростью, как гармонический ряд , который не является абсолютно сходящимся ; действительно, приведенный выше ряд Фурье оказывается лишь условно сходящимся почти для любого значения  x . Это дает частичное объяснение явления Гиббса, поскольку ряды Фурье с абсолютно сходящимися коэффициентами Фурье будут равномерно сходиться с помощью М-критерия Вейерштрасса и, таким образом, не смогут продемонстрировать вышеуказанное колебательное поведение. Точно так же для разрывной функции невозможно иметь абсолютно сходящиеся коэффициенты Фурье, поскольку функция, таким образом, была бы равномерным пределом непрерывных функций и, следовательно, была бы непрерывной, противоречие. См. Сходимость рядов Фурье § Абсолютная сходимость .

Решения

На практике трудности, связанные с явлением Гиббса, можно уменьшить, используя более плавный метод суммирования рядов Фурье, такой как суммирование Фейера или суммирование по Риссу , или используя сигма-аппроксимацию . Используя непрерывное вейвлет- преобразование, феномен вейвлет-Гиббса никогда не превосходит феномен Фурье-Гиббса. Кроме того, при использовании дискретного вейвлет-преобразования с базисными функциями Хаара явление Гиббса вообще не возникает в случае непрерывных данных на скачкообразных скачках и минимально в дискретном случае в точках больших изменений. В вейвлет-анализе это обычно называют феноменом Лонго . В настройке полиномиальной интерполяции явление Гиббса можно смягчить с помощью алгоритма S-Гиббса.

Формальное математическое описание явления

Пусть - кусочно непрерывно дифференцируемая функция, периодическая с некоторым периодом . Предположим, что в какой-то момент левый предел и правый предел функции отличаются ненулевым разрывом : ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle L> 0}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-})}$${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {+})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {+}) - f (x_ {0} ^ {-}) = a \ neq 0.}$

Для каждого натурального числа N ≥ 1 пусть S _N  f будет N- м частным рядом Фурье.

${\ Displaystyle S_ {N} е (х): = \ сумма _ {- N \ leq n \ leq N} {\ widehat {f}} (n) e ^ {\ frac {2i \ pi nx} {L} } = {\ frac {1} {2}} a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left (a_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L}} \ right) + b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L}} \ right) \ right),}$

где коэффициенты Фурье задаются обычными формулами ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n), a_ {n}, b_ {n}}$

${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n): = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) e ^ {- 2i \ pi nx / L} \, dx}$

${\ displaystyle a_ {n}: = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L}) } \ right) \, dx}$

${\ displaystyle b_ {n}: = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L}) } \ right) \, dx.}$

Тогда у нас есть

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} f \ left (x_ {0} + {\ frac {L} {2N}} \ right) = f (x_ {0} ^ {+} ) + a \ cdot (0,089489872236 \ точек)}$

а также

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} f \ left (x_ {0} - {\ frac {L} {2N}} \ right) = f (x_ {0} ^ {-} ) -a \ cdot (0,089489872236 \ точек)}$

но

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} f (x_ {0}) = {\ frac {f (x_ {0} ^ {-}) + f (x_ {0} ^ {+ })} {2}}.}$

В более общем смысле, если это любая последовательность действительных чисел, которая сходится к as , и если пробел a положительный, то ${\ displaystyle x_ {N}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$

${\ displaystyle \ limsup _ {N \ to \ infty} S_ {N} f (x_ {N}) \ leq f (x_ {0} ^ {+}) + a \ cdot (0,089489872236 \ dots)}$

а также

${\ displaystyle \ liminf _ {N \ to \ infty} S_ {N} f (x_ {N}) \ geq f (x_ {0} ^ {-}) - a \ cdot (0.089489872236 \ dots).}$

Если вместо этого зазора является отрицательным, нужно пересадочного предела превосходной с пределом ниже , а также обмена знаками ≤ и ≥, в приведенных выше двух неравенств.

Объяснение обработки сигнала

Функция sinc , импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот . Масштабирование сужает функцию и, соответственно, увеличивает величину (которая здесь не показана), но не уменьшает величину недостижения, которая является интегралом хвоста.

С точки зрения обработки сигналов явление Гиббса - это переходная характеристика фильтра нижних частот , а колебания называются « звонкими» или « звенящими» артефактами . Усечение преобразования Фурье сигнала на реальной линии или ряда Фурье периодического сигнала (эквивалентно сигнала на круге) соответствует фильтрации более высоких частот идеальным ( кирпичная стена ) низкочастотными / высокими- вырезать фильтр. Это можно представить как свертку исходного сигнала с импульсной характеристикой фильтра (также известной как ядро ), которая является функцией sinc . Таким образом, явление Гиббса можно рассматривать как результат свертки ступенчатой ​​функции Хевисайда (если периодичность не требуется) или прямоугольной волны (если периодическая) с функцией sinc: колебания в функции sinc вызывают рябь на выходе.

Синус интеграла , демонстрируя явление Гиббса для ступенчатой функции на вещественной прямой.

В случае свертки со ступенчатой ​​функцией Хевисайда результирующая функция является в точности интегралом функции sinc, синусоидальным интегралом ; для прямоугольной волны описание не так просто. Для ступенчатой ​​функции величина недорега, таким образом, является в точности интегралом от (левого) хвоста, интегрируемого с первым отрицательным нулем: для нормализованного sinc периода единичной выборки это значение, соответственно, имеет такую ​​же величину: интеграл правого хвоста, или, что то же самое, разность между интегралом от отрицательной бесконечности до первого положительного нуля, минус 1 (значение без выхода за пределы). ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {- 1} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \, dx.}$

Перерегулирование и недорегулирование можно понять так: ядра обычно нормализуются, чтобы иметь интеграл 1, поэтому они приводят к отображению постоянных функций в постоянные функции - в противном случае они имеют усиление . Значение свертки в точке представляет собой линейную комбинацию входного сигнала с коэффициентами (весами) значений ядра. Если ядро ​​неотрицательно, например, для ядра Гаусса , то значение отфильтрованного сигнала будет выпуклой комбинацией входных значений (коэффициенты (ядро) интегрируются до 1 и являются неотрицательными), и таким образом, будет находиться между минимумом и максимумом входного сигнала - он не будет недооценивать или перескакивать. Если, с другой стороны, ядро ​​принимает отрицательные значения, такие как функция sinc, тогда значение отфильтрованного сигнала вместо этого будет аффинной комбинацией входных значений и может выходить за пределы минимума и максимума входного сигнала. , что приводит к недостижению и перерегулированию, как в феномене Гиббса.

Более длительное расширение - резка на более высокой частоте - соответствует в частотной области расширению кирпичной стены, что во временной области соответствует сужению функции sinc и увеличению ее высоты в тот же раз, при этом интегралы между соответствующими точками остаются неизменными. . Это общая особенность преобразования Фурье: расширение в одной области соответствует сужению и увеличению высоты в другой. Это приводит к тому, что колебания в sinc становятся более узкими и высокими, а в отфильтрованной функции (после свертки) получаются более узкие колебания и, следовательно, меньшие площади, но не уменьшает их величину: отключение на любой конечной частоте приводит к sinc функция, какой бы узкой она ни была, с теми же хвостовыми интегралами. Это объясняет постоянство перерегулирования и недорегулирования.

• 

  Колебания можно интерпретировать как свертку с синк.

• 

  Более высокое значение отсечки делает sinc более узким, но более высоким, с такими же величинами хвостовых интегралов, что приводит к более высокочастотным колебаниям, но величина которых не исчезает.

Таким образом, особенности явления Гиббса интерпретируются следующим образом:

• недолет происходит из-за импульсной характеристики, имеющей отрицательный хвостовой интеграл, что возможно из-за того, что функция принимает отрицательные значения;
• перерегулирование компенсирует это за счет симметрии (общий интеграл не изменяется при фильтрации);
• Устойчивость колебаний обусловлена ​​тем, что увеличение отсечки сужает импульсный отклик, но не уменьшает его интеграл - колебания, таким образом, движутся к разрыву, но не уменьшаются по величине.

Пример прямоугольной волны

Анимация аддитивного синтеза прямоугольной волны с увеличивающимся числом гармоник. Феномен Гиббса особенно заметен при большом количестве гармоник.

Без ограничения общности мы можем предположить случай прямоугольной волны, в котором период L равен , разрыв находится в нуле, а скачок равен . Для простоты рассмотрим случай, когда N четно (случай нечетного N очень похож). Тогда у нас есть ${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ pi / 2}$

${\ Displaystyle S_ {N} е (х) = \ sin (x) + {\ frac {1} {3}} \ sin (3x) + \ cdots + {\ frac {1} {N-1}} \ sin ((N-1) x).}$

Подставляя , получаем ${\ displaystyle x = 0}$

${\ displaystyle S_ {N} f (0) = 0 = {\ frac {- {\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ pi} {4}}} {2}} = {\ гидроразрыв {f (0 ^ {-}) + f (0 ^ {+})} {2}}}$

как заявлено выше. Далее мы вычисляем

${\ displaystyle S_ {N} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {N}} \ right) + {\ frac {1} {3}} \ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {N}} \ right) + \ cdots + {\ frac {1} {N-1}} \ sin \ left ({\ frac {(N-1) \ pi} {N}} \ right).}$

Если ввести нормированную синк функцию , мы можем переписать это как ${\ Displaystyle \ OperatorName {sinc} (х) \,}$

${\ displaystyle S_ {N} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {2} {N} } \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {1} {N}} \ right) + {\ frac {2} {N}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {3} {N} } \ right) + \ cdots + {\ frac {2} {N}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {(N-1)} {N}} \ right) \ right].}$

Но выражение в квадратных скобках - это приближение суммы Римана к интегралу (точнее, приближение по правилу средней точки с интервалом ). Поскольку функция sinc непрерывна, это приближение сходится к фактическому интегралу как . Таким образом, мы имеем ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \ dx}$${\ displaystyle 2 / N}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) & = {\ frac {\ pi } {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \, dx \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {x = 0 } ^ {1} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \, d (\ pi x) \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin (t)} {t}} \ dt \ quad = \ quad {\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ pi} { 2}} \ cdot (0,089489872236 \ точки), \ end {выровнены}}}$

что было заявлено в предыдущем разделе. Аналогичное вычисление показывает

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} f \ left (- {\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) = - {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot (0,089489872236 \ точек).}$

Последствия

При обработке сигналов явление Гиббса нежелательно, потому что оно вызывает артефакты, а именно отсечение из-за перерегулирования и недорегулирования, а также артефакты звона от колебаний. В случае фильтрации нижних частот их можно уменьшить или устранить с помощью различных фильтров нижних частот.

В МРТ феномен Гиббса вызывает артефакты в присутствии соседних областей с заметно различающейся интенсивностью сигнала. Это наиболее часто встречается при МРТ позвоночника, где феномен Гиббса может имитировать появление сирингомиелии .

Феномен Гиббса проявляется в виде артефакта перекрестного рисунка в дискретном преобразовании Фурье изображения, где большинство изображений (например, микрофотографии или фотографии) имеют резкие разрывы между границами сверху / снизу и слева / справа изображения. Когда периодические граничные условия накладываются в преобразовании Фурье, этот скачкообразный разрыв представлен континуумом частот вдоль осей в обратном пространстве (т. Е. Перекрестная картина интенсивности в преобразовании Фурье).

Смотрите также

• σ-приближение, которое корректирует суммирование Фурье, чтобы исключить явление Гиббса, которое в противном случае возникло бы на разрывах
• Феномен Пинского
• Феномен Рунге (аналогичное явление в полиномиальных приближениях)
• Интеграл синуса
• Полосы Маха

Примечания

использованная литература

• Гиббса, Дж Willard (1898), "Серия Фурье" , Природа , 59 (1522): 200, DOI : 10.1038 / 059200b0 , ISSN  0028-0836 , S2CID  4004787
• Гиббса, Дж Willard (1899), "Серия Фурье", Природа , 59 (1539 г. ): 606, DOI : 10.1038 / 059606a0 , ISSN  0028-0836 , S2CID  13420929
• Михельсон, AA; Страттон, SW (1898), «Новый гармонический анализатор», Philosophical Magazine , 5 (45): 85–91
• Антони Зигмунд , Тригонометрическая серия , Дуврские публикации, 1955.
• Уилбрахам, Генри (1848), "Об одной периодической функции" , Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 3 : 198–201
• Пол Дж. Нахин , Сказочная формула доктора Эйлера, Princeton University Press, 2006. Ch. 4, разд. 4.
• Вретблад, Андерс (2000), Анализ Фурье и его приложения , Тексты для выпускников по математике, 223 , Нью-Йорк: Springer Publishing , стр. 93, ISBN 978-0-387-00836-3

внешние ссылки

• СМИ, связанные с феноменом Гиббса на Викискладе?
• "Феномен Гиббса" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В., « Феномен Гиббса ». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• Прандони, Паоло, " Феномен Гиббса ".
• Радаэлли-Санчес, Рикардо и Ричард Баранюк, « Феномен Гиббса ». Проект Connexions. (Лицензия Creative Commons Attribution)
• Горацио С. Карслав: Введение в теорию рядов и интегралов Фурье.pdf (Introductiontot00unkngoog.pdf) на archive.org
• Python реализация алгоритма S-Гиббса смягчающего Явление Гиббса https://github.com/pog87/FakeNodes .