Схема Годунова - Godunov's scheme

В численном анализе и вычислительной гидродинамики , схема Годунова является консервативным численная схема , предложенная С. К. Годунова в 1959 г. для решения дифференциальных уравнений в частных . Этот метод можно рассматривать как консервативный метод конечных объемов, который решает точные или приближенные задачи Римана на каждой межячеечной границе. В своей основной форме метод Годунова имеет точность первого порядка как в пространстве, так и во времени, но может использоваться в качестве базовой схемы для разработки методов более высокого порядка.

Базовая схема

Следуя классической структуре метода конечных объемов , мы стремимся отслеживать конечный набор дискретных неизвестных,

${\ displaystyle Q_ {i} ^ {n} = {\ frac {1} {\ Delta x}} \ int _ {x_ {i-1/2}} ^ {x_ {i + 1/2}} q ( т ^ {п}, х) \, dx}$

где и образуют дискретный набор точек для гиперболической задачи: ${\ displaystyle x_ {i-1/2} = x _ {\ text {low}} + \ left (i-1/2 \ right) \ Delta x}$${\ displaystyle t ^ {n} = n \ Delta t}$

${\ displaystyle q_ {t} + (f (q)) _ {x} = 0,}$

где индексы и указывают производные во времени и пространстве соответственно. Если мы интегрируем гиперболическую задачу по контрольному объему, мы получим формулировку метода линий (MOL) для пространственных средних ячеек: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle [х_ {я-1/2}, х_ {я + 1/2}],}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} Q_ {i} (t) = - {\ frac {1} {\ Delta x}} \ left (f (q (t, x_ {i + 1/2})) - f (q (t, x_ {i-1/2})) \ right),}$

которое является классическим описанием метода конечных объемов первого порядка с обратной связью. (ср. Левек - Методы конечных объемов для гиперболических задач)

Точное интегрирование по времени вышеуказанной формулы время от времени дает точную формулу обновления: ${\ Displaystyle т = т ^ {п}}$${\ Displaystyle т = т ^ {п + 1}}$

${\ displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - {\ frac {1} {\ Delta x}} \ int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ { n + 1}} \ left (f (q (t, x_ {i + 1/2})) - f (q (t, x_ {i-1/2})) \ right) \, dt.}$

Метод Годунова заменяет интеграл по времени каждого

${\ Displaystyle \ int _ {т ^ {п}} ^ {т ^ {п + 1}} е (д (т, х_ {я-1/2})) \, дт}$

с методом прямого Эйлера, который дает полностью дискретную формулу обновления для каждого из неизвестных . То есть мы аппроксимируем интегралы с помощью ${\ displaystyle Q_ {i} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ {n + 1}} f (q (t, x_ {i-1/2})) \, dt \ приблизительно \ Delta tf ^ {\ downarrow} \ left (Q_ {i-1} ^ {n}, Q_ {i} ^ {n} \ right),}$

где - приближение к точному решению задачи Римана. Для согласованности предполагается, что ${\ displaystyle f ^ {\ downarrow} \ left (q_ {l}, q_ {r} \ right)}$

${\ displaystyle f ^ {\ downarrow} (q_ {l}, q_ {r}) = f (q_ {l}) \ quad {\ text {if}} \ quad q_ {l} = q_ {r},}$

и это увеличивается в первом аргументе и уменьшается во втором аргументе. Для скалярных задач, где можно использовать простую схему Upwind , которая определяет . ${\ displaystyle f ^ {\ downarrow}}$${\ displaystyle f '(q)> 0}$${\ displaystyle f ^ {\ downarrow} (q_ {l}, q_ {r}) = f (q_ {l})}$

Полная схема Годунова требует определения приближенного или точного решателя Римана , но в своей самой основной форме она дается следующим образом:

${\ displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - \ lambda \ left ({\ hat {f}} _ {i + 1/2} ^ {n} - {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} \ right), \ quad \ lambda = {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}}, \ quad {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = f ^ {\ downarrow} \ left (Q_ {i-1} ^ {n}, Q_ {i} ^ {n} \ right)}$

Линейная задача

В случае линейной задачи, где и без ограничения общности, мы предполагаем , что обратный метод Годунова дает: ${\ displaystyle f (q) = aq}$${\ displaystyle a> 0}$

${\ displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - \ nu \ left (Q_ {i} ^ {n} -Q_ {i-1} ^ {n} \ right) , \ quad \ nu = a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}},}$

что дает классическую схему конечного объема первого порядка с перевернутой сверткой, для устойчивости которой требуется . ${\ displaystyle \ nu = \ left | a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ right | \ leq 1}$

Трехэтапный алгоритм

Следуя Хиршу , схема включает три различных шага для получения решения at из известного решения at , а именно: ${\ Displaystyle т = (п + 1) \ дельта т \,}$${\ Displaystyle {т = п \ дельта т} \,}$

Шаг 1 Определите кусочно-постоянную аппроксимацию решения при. Поскольку кусочно-постоянная аппроксимация представляет собой среднее значение решения по ячейке размера, пространственная ошибка порядка, и, следовательно, результирующая схема будет иметь пространственную точность первого порядка. Обратите внимание, что это приближение соответствуетпредставлению метода конечного объема, в котором дискретные значения представляют собой средние значения переменных состояния по ячейкам. Точные соотношения для усредненных значений ячеек можно получить из интегральных законов сохранения. ${\ Displaystyle {т = (п + 1) \ дельта т} \,}$${\ displaystyle {\ Delta x} \,}$${\ displaystyle {\ Delta x} \,}$

Шаг 2 Получите решение локальной проблемы Римана на границах раздела ячеек. Это единственный физический этап всей процедуры. Разрывы на границах раздела разрешаются в суперпозиции волн, локально удовлетворяющих уравнениям сохранения. Оригинальный метод Годунова основан на точном решении задач Римана. Однако в качестве альтернативы можно применять приближенные решения.

Шаг 3 Усредните переменные состояния через определенный промежуток времени. Переменные состояния, полученные после шага 2, усредняются по каждой ячейке, определяя новую кусочно-постоянную аппроксимацию, полученную в результате распространения волны в течение временного интервала. Для обеспечения согласованности временной интервалдолжен быть ограничен таким образом, чтобы волны, исходящие от границы раздела, не взаимодействовали с волнами, создаваемыми на соседних границах раздела. В противном случае на ситуацию внутри клетки повлияли бы взаимодействующие задачи Римана. Это приводит кусловию CFL, где- максимальная скорость волны, полученная из собственного значения (я) ячейки локальной матрицы Якоби . ${\ displaystyle {\ Delta t} \,}$${\ displaystyle {\ Delta t} \,}$${\ displaystyle {\ Delta t} \,}$${\ displaystyle | a _ {\ max} | \ Delta t <\ Delta x / 2 \,}$${\ Displaystyle | а _ {\ max} | \,}$

Первый и третий этапы имеют исключительно числовой характер и могут рассматриваться как этап проекции , независимый от второго, физического этапа, этапа эволюции . Следовательно, они могут быть изменены, не влияя на физический вход, например, путем замены кусочно-постоянной аппроксимации кусочно-линейной вариацией внутри каждой ячейки, что приводит к определению схем второго порядка пространственной точности, таких как схема MUSCL .

Смотрите также

• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• Метод Лакса – Фридрихса
• Схема MUSCL
• Сергей К. Годунов
• Уменьшение общей вариации
• Теорема Лакса – Вендрофа.
• AUSM

использованная литература

• Годунов, С.К. (1959). Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Мат. Сборник . 47 : 271–306. Руководство по ремонту  0119433 . Zbl  0171.46204 .Переведено US Joint Publ. Res. Сервис, JPRS 7226, 1969.
• Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . том 2. Wiley. ISBN 0-471-92452-0. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
• Левек, Рэнди Дж. (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81087-6.

дальнейшее чтение

• Лэйни, Калберт Б. (1998). Вычислительная газодинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57069-7.
• Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Таннехилл, Джон С.; и другие. (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Вашингтон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 1-56032-046-X.
• Весселинг, Питер (2001). Принципы вычислительной гидродинамики . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.