Теорема Голода – Шафаревича - Golod–Shafarevich theorem

В математике , то теорема Голода-Шафаревича была доказана в 1964 году Евгений Голода и Игоря Шафаревича . Это результат некоммутативной гомологической алгебры, которая решает проблему башни поля классов , показывая, что башни поля классов могут быть бесконечными.

Неравенство

Пусть A = K ⟨ х 1 , ..., х п ⟩ быть в свободную алгебру над полем К в п = д  + 1 некоммутирующими переменных х я .

Пусть J - двусторонний идеал в A, порожденный однородными элементами f j в A степени d j с

2 ≤ d 1 ≤ d 2 ≤ ...

где d j стремится к бесконечности. Пусть r i будет числом d j, равным i .

Пусть B = A / J , градуированная алгебра . Пусть b j = dim B j .

Фундаментальное неравенство в Голоде и Шафаревич утверждает , что

Как следствие:

  • В бесконечномерна , если г я ≤ d 2 /4 для всех I

Приложения

Этот результат имеет важные приложения в комбинаторной теории групп :

  • Если G является нетривиальной конечная р-группа , то г > д 2 /4 где d = тусклым  Н 1 ( G , Z / р Z ) и г = тусклый  Н 2 ( G , Z / р Z ) (мод р когомология группы из G ). В частности , если G является конечным р-группа с минимальным числом образующих d и имеет г реляторы в данной презентации, то г > д 2 /4.
  • Для каждого простого числа p существует бесконечная группа G, порожденная тремя элементами, в которой каждый элемент имеет порядок степени p . Группа G представляет собой контрпример к обобщенной гипотезе Бернсайда : это конечно порожденная бесконечная торсионная группа , хотя единообразной оценки порядка ее элементов нет.

В классе теории поля , то поле класса башни из числового поля K создается итерация поля класса Гильберта конструкции. Проблема башни поля классов спрашивает, всегда ли эта башня конечна; Хассе (1926) приписал этот вопрос Фуртвенглеру, хотя Фуртванглер сказал, что слышал его от Шрайера. Другое следствие теоремы Голода – Шафаревича состоит в том, что такие башни могут быть бесконечными (другими словами, не всегда оканчиваются полем, равным его полю классов Гильберта ). В частности,

  • Пусть K - мнимое квадратичное поле, дискриминант которого имеет не менее 6 простых множителей. Тогда максимальное неразветвленное 2-расширение поля K имеет бесконечную степень.

В более общем смысле числовое поле с достаточно большим количеством простых множителей в дискриминанте имеет бесконечную башню поля классов.

Ссылки

  • Голод Е.С .; Шафаревич И. Р. О башне поля классов // Изв. Акад. АН СССР , 28 : 261–272.(в русском языке ) MR 0161852
  • Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых p-группах (1964) // Изв. Акад. АН СССР , 28 : 273–276.(в русском языке ) MR 0161878
  • Герштейн, И. Н. (1968). Некоммутативные кольца . Математические монографии Каруса. MAA. ISBN 0-88385-039-7. См. Главу 8.
  • Джонсон, DL (1980). «Вопросы теории групповых представлений» (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-23108-6 . См. Главу VI.
  • Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag . п. 180. ISBN 3-540-63003-1. Zbl  0819.11044 .
  • Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел . Монографии Спрингера по математике (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . п. 194. ISBN 3-540-21902-1. Zbl  1159.11039 .
  • Рокетт, Питер (1986) [1967]. «О классных полевых башнях». В Касселсе, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции, проведенной в Университете Сассекса, Брайтон, 1–17 сентября 1965 г. (Перепечатка оригинального издания 1967 г.). Лондон: Academic Press . С. 231–249. ISBN 0-12-163251-2.
  • Серр, Ж.-П. (2002), "Когомологии Галуа", Springer-Verlag . ISBN  3-540-42192-0 . См. Приложение 2. (Перевод Cohomologie Galoisienne , Lecture Notes in Mathematics 5 , 1973).