Расстояние по большому кругу - Great-circle distance

Диаграмма, показывающая расстояние по большому кругу (нарисованное красным) между двумя точками на сфере, P и Q. Также показаны две узловые точки, u и v, которые противоположны друг другу .

Расстояние по большому кругу , ортодромическое расстояние или сферическое расстояние - это расстояние по большому кругу .

Это кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы , измеренное по поверхности сферы (в отличие от прямой линии, проходящей через внутреннюю часть сферы). Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве - это длина прямой линии между ними, но на сфере прямых линий нет. В пространствах кривизны прямые заменяются геодезическими . Геодезические на сфере - это круги на сфере, центры которых совпадают с центром сферы, и называются «большими кругами».

Определение расстояния по дуге большого круга является частью более общей задачи навигации по дуге большого круга , которая также вычисляет азимуты в конечных точках и промежуточных точках пути.

Через любые две точки на сфере, которые не являются противоположными точками (прямо напротив друг друга), проходит уникальный большой круг. Две точки разделяют большой круг на две дуги. Длина более короткой дуги - это расстояние по большому кругу между точками. Большой круг с таким расстоянием называется римановой окружностью в римановой геометрии .

Между противоположными точками существует бесконечно много больших кругов, и все дуги большого круга между противоположными точками имеют длину, равную половине окружности круга, или , где r - радиус сферы.

Земля близко к сферической , так ортодромии формула дает расстояние между точками на поверхности Земли исправить в пределах от около 0,5% .

Вершина является самым широта точки на большой окружности.

Формулы

Изображение центрального угла Δσ между двумя точками P и Q. λ и φ - продольный и широтный углы P соответственно.

Позвольте и быть географической долготой и широтой в радианах двух точек 1 и 2, и быть их абсолютными разностями; Затем , то центральный угол между ними, задаются сферическим законом косинусов , если один из полюсов используются в качестве вспомогательной третьей точки на сфере:

Проблема обычно выражается в поиске центрального угла . Учитывая этот угол в радианах, фактическая длина дуги d на сфере радиуса r может быть тривиально вычислена как

Расчетные формулы

В компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления, если расстояние небольшое (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла составляет около 0,99999999 ). Для современных 64-битных чисел с плавающей запятой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. Формула гаверсинуса численно лучше подходит для малых расстояний:

Исторически использование этой формулы было упрощено доступностью таблиц для функции гаверсинуса : hav ( θ ) = sin 2 ( θ / 2).

Хотя эта формула точна для большинства расстояний на сфере, она также страдает ошибками округления для особого (и несколько необычного) случая противоположных точек. Формула, которая является точной для всех расстояний, является следующим частным случаем формулы Винсенти для эллипсоида с равными большой и малой осями:

Векторная версия

Другое представление аналогичных формул, но с использованием нормальных векторов вместо широты и долготы для описания позиций, находится с помощью трехмерной векторной алгебры , с использованием скалярного произведения , перекрестного произведения или их комбинации:

где и - нормали к эллипсоиду в двух положениях 1 и 2. Подобно приведенным выше уравнениям, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на arctan, является единственным, которое хорошо согласовано для всех углов . Выражение, основанное на arctan, требует величины перекрестного произведения на скалярное произведение.

От длины хорды

Линия, проходящая через трехмерное пространство между интересующими точками на сферической Земле, - это хорда большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками может быть определен из длины хорды. Расстояние большого круга пропорционально центральному углу.

Длина хорды большого круга может быть вычислена следующим образом для соответствующей единичной сферы посредством декартового вычитания :

Центральный угол:

Радиус сферической Земли

Экваториальный ( a ), полярный ( b ) и средний радиусы Земли, как определено в редакции Мировой геодезической системы 1984 года . ( Не в масштабе .)

Форма Земли близко напоминает сплюснутый шар (а сфероид ) с экваториальным радиусом в 6378.137 км; расстояние от центра сфероида до каждого полюса 6356,7523142 км. При вычислении длины короткой линии север-юг на экваторе круг, который наилучшим образом аппроксимирует эту линию, имеет радиус (который равен прямой полу-латусной прямой кишке меридиана ), или 6335,439 км, в то время как сфероид на полюсах лучше всего аппроксимируется сферой радиуса , или 6399,594 км, разница в 1%. Пока предполагается сферическая Земля, любая отдельная формула для расстояния на Земле гарантированно верна только в пределах 0,5% (хотя возможна более высокая точность, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Используя средний радиус Земли , (для WGS84 эллипсоида) означает , что в пределе малых уплощение, средний квадрат относительной погрешности в оценках расстояния сводится к минимуму.

Смотрите также

Ссылки и примечания

внешние ссылки