Групповая скорость - Group velocity

Частотная дисперсия в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. В  красный квадрат движется с фазовой скоростью , а      зеленые кружки - с групповой скоростью. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза больше групповой скорости . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.
Новые волны, кажется, возникают позади группы волн, растут по амплитуде, пока не окажутся в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.
Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.
Распространение волнового пакета с фазовой скоростью, превышающей групповую, без дисперсии.
Это показывает волну с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущую в разных направлениях. Групповая скорость положительна (т. Е. Огибающая волны движется вправо), а фазовая скорость отрицательна (т. Е. Пики и впадины смещаются влево).

Групповая скорость из волны является скоростью , с которой общей форма огибающей волны амплитуды известной как модуляция или огибающей волновой-проходит через пространство.

Например, если бросить камень в середину очень тихого пруда, в воде появится круговой узор из волн с неподвижным центром, также известный как капиллярная волна . Расширяющееся кольцо волн - это группа волн , внутри которой можно различить отдельные волны, которые распространяются быстрее, чем группа в целом. Амплитуды отдельных волн растут по мере того, как они выходят из заднего края группы, и уменьшаются по мере приближения к переднему краю группы.

Определение и толкование

Определение

 Огибающей волнового пакета. Огибающая движется с групповой скоростью.

Групповая скорость v g определяется уравнением:

где ω - угловая частота волны (обычно выражается в радианах в секунду ), а k - угловое волновое число (обычно выражается в радианах на метр). Фазовая скорость является: v р = ω / к .

Функция ω ( к ) , что дает ω как функции к , известна как дисперсионное соотношение .

  • Если ω является прямо пропорциональна с K , то групповая скорость в точности равна фазовой скорости. Волна любой формы будет перемещаться неискаженной с этой скоростью.
  • Если ω является линейной функцией k , но не прямо пропорциональной ( ω = ak + b ) , то групповая скорость и фазовая скорость различны. Огибающая волнового пакета (см. Рисунок справа) будет двигаться с групповой скоростью, в то время как отдельные пики и впадины внутри оболочки будут двигаться с фазовой скоростью.
  • Если ω не является линейной функцией k , огибающая волнового пакета будет искажаться по мере его распространения. Поскольку волновой пакет содержит диапазон разных частот (и, следовательно, разные значения k ), групповая скорость ∂ω / ∂k будет различной для разных значений k . Следовательно, оболочка не движется с одной скоростью, но ее компоненты волнового числа ( k ) движутся с разными скоростями, искажая оболочку. Если волновой пакет имеет узкий диапазон частот и ω ( k ) приблизительно линейен в этом узком диапазоне, искажение импульса будет небольшим по сравнению с небольшой нелинейностью. См. Дальнейшее обсуждение ниже . Например, для глубоководных гравитационных волн , и, следовательно, v g = v p / 2 .
    Это лежит в основе Кельвина бодрствование шаблон для носовой волны всех судов и плавательных объектов. Независимо от того, насколько быстро они движутся, пока их скорость постоянна, с каждой стороны след образует угол 19,47 ° = arcsin (1/3) с линией движения.

Вывод

Один вывод формулы для групповой скорости следующий.

Рассмотрим волновой пакет как функцию положения x и времени t : α ( x , t ) .

Пусть A ( k ) - его преобразование Фурье в момент времени t = 0 ,

По принципу суперпозиции волновой пакет в любой момент времени t равен

где ω неявно зависит от k .

Предположим, что волновой пакет α почти монохроматичен , так что A ( k ) имеет резкий пик около центрального волнового числа k 0 .

Тогда линеаризация дает

куда

а также

(см. следующий раздел для обсуждения этого шага). Затем, после некоторой алгебры,

В этом выражении есть два фактора. Первый фактор описывает идеальную монохроматическую волну с волновым вектором k 0 , с пиками и впадинами, движущимися с фазовой скоростью в пределах огибающей волнового пакета.

Другой фактор,

,

дает огибающую волнового пакета. Эта функция конверта зависит от положения и времени только через комбинацию .

Следовательно, огибающая волнового пакета движется со скоростью

что объясняет формулу групповой скорости.

Члены высшего порядка по дисперсии

Искажение групп волн из-за эффектов дисперсии более высокого порядка для поверхностных гравитационных волн на глубокой воде (с v g = ½ v p ).
Это показывает суперпозицию трех волновых компонентов с длинами волн соответственно 22, 25 и 29, подходящими для периодической горизонтальной области длиной 2 км. Амплитуды волн составляющих соответственно 1, 2 и 1 метр.

Частью предыдущего вывода является приближение ряда Тейлора, которое:

Если волновой пакет имеет относительно большой разброс частот, или если дисперсия ω (k) имеет резкие изменения (например, из-за резонанса ), или если пакет распространяется на очень большие расстояния, это предположение неверно, и термины в расширении Тейлора становятся важными.

В результате огибающая волнового пакета не только перемещается, но и искажается, что можно описать дисперсией групповой скорости материала . Грубо говоря, разные частотные компоненты волнового пакета перемещаются с разной скоростью, причем более быстрые компоненты движутся к передней части волнового пакета, а более медленные - к задней. В конце концов, волновой пакет растягивается. Это важный эффект при распространении сигналов по оптическим волокнам и при разработке мощных лазеров с короткими импульсами.

История

Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было сделано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году.

Другие выражения

Для света показатель преломления n , длина волны вакуума λ 0 и длина волны в среде λ связаны соотношением

с об р  =  ω / K на фазовой скорости .

Следовательно, групповая скорость может быть рассчитана по любой из следующих формул:

Связь с фазовой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи

В трех измерениях

Для волн, распространяющихся в трех измерениях, таких как световые волны, звуковые волны и волны материи, формулы для фазовой и групповой скорости обобщаются простым способом:

Одно измерение:
Три измерения:

куда

означает градиент от угловой частоты со в зависимости от волнового вектора , и это единичный вектор в направлении к .

Если волны распространяются через анизотропную (т. Е. Не осесимметричную) среду, например кристалл , то вектор фазовой скорости и вектор групповой скорости могут указывать в разных направлениях.

В медиа с потерями или с прибылью

Групповую скорость часто называют скоростью, с которой энергия или информация передаются по волне. В большинстве случаев это точно, а групповая скорость можно рассматривать как скорости сигнала от сигнала . Однако, если волна распространяется через поглощающую среду или среду с потоком, это не всегда верно. В этих случаях групповая скорость не может быть точно определенной величиной или не может быть значимой величиной.

В своем тексте «Распространение волн в периодических структурах» Бриллюэн утверждал, что в диссипативной среде групповая скорость перестает иметь ясный физический смысл. Пример передачи электромагнитных волн через атомный газ дал Лаудон. Другой пример - механические волны в солнечной фотосфере : волны затухают (радиационным тепловым потоком от пиков к впадинам), и в связи с этим скорость энергии часто существенно ниже групповой скорости волн.

Несмотря на эту неоднозначность, распространенный способ распространения концепции групповой скорости на сложные среды - это рассмотрение пространственно затухающих плоских волновых решений внутри среды, которые характеризуются комплексным волновым вектором. Затем мнимая часть волнового вектора произвольно отбрасывается, и обычная формула для групповой скорости применяется к действительной части волнового вектора, т. Е.

Или, что то же самое, в терминах действительной части комплексного показателя преломления , n = n + , имеем

Можно показать, что это обобщение групповой скорости по-прежнему связано с кажущейся скоростью пика волнового пакета. Однако приведенное выше определение не является универсальным: в качестве альтернативы можно рассмотреть временное затухание стоячих волн (действительное k , комплексное ω ) или позволить групповой скорости быть комплексной величиной. Различные соображения дают разные скорости, но все определения согласуются в случае среды без потерь и без усиления.

Приведенное выше обобщение групповой скорости для сложных сред может вести себя странно, и пример аномальной дисперсии служит хорошей иллюстрацией. На краях области аномальной дисперсии становится бесконечной (превосходящей даже скорость света в вакууме) и легко может стать отрицательной (ее знак противоположен Re k ) внутри полосы аномальной дисперсии.

Сверхсветовые групповые скорости

Начиная с 1980-х годов, различные эксперименты подтвердили, что групповая скорость (как определено выше) лазерных световых импульсов, посылаемых через материалы с потерями или полезные материалы, может значительно превышать скорость света в вакууме c . Также было замечено, что пики волновых пакетов движутся быстрее, чем c .

Однако во всех этих случаях нет возможности, что сигналы могут передаваться быстрее скорости света в вакууме , поскольку высокое значение v g не помогает ускорить истинное движение острого волнового фронта, которое могло бы происходить в начало любого реального сигнала. По сути, кажущаяся сверхсветовой передачей является артефакт узкополосного приближения, использованного выше для определения групповой скорости, и происходит из-за явлений резонанса в промежуточной среде. При широком полосном анализе видно, что кажущаяся парадоксальной скорость распространения огибающей сигнала на самом деле является результатом локальной интерференции более широкой полосы частот в течение многих циклов, все из которых распространяются совершенно причинно и с фазовой скоростью. Результат сродни тому, что тени могут перемещаться быстрее света, даже если вызывающий их свет всегда распространяется со скоростью света; поскольку измеряемое явление лишь слабо связано с причинностью, оно не обязательно соблюдает правила причинного распространения, даже если при нормальных обстоятельствах это так и приводит к общей интуиции.

Смотрите также

использованная литература

Примечания

дальнейшее чтение

  • Кроуфорд-младший, Фрэнк С. (1968). Волны (Курс физики Беркли, том 3) , McGraw-Hill, ISBN  978-0070048607 Бесплатная онлайн-версия
  • Типлер, Пол А .; Ллевеллин, Ральф А. (2003), Современная физика (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
  • Био, М.А. (1957), "Общие теоремы об эквивалентности групповой скорости и переноса энергии", Physical Review , 105 (4): 1129–1137, Bibcode : 1957PhRv..105.1129B , doi : 10.1103 / PhysRev.105.1129
  • Уиземовские, GB (1961), "скорость и энергия распространения группы для трехмерных волн", Коммуникации на чистой и прикладной математики , 14 (3): 675-691, CiteSeerX  10.1.1.205.7999 , DOI : 10.1002 / cpa.3160140337
  • Лайтхилл, MJ (1965), «Групповая скорость», Журнал прикладной математики IMA , 1 (1): 1–28, DOI : 10.1093 / imamat / 1.1.1
  • Бретертон, ФП ; Гаррет, CJR (1968), «Цепи волн в неоднородных движущихся средах», Труды Лондонского королевского общества , серия A, математические и физические науки, 302 (1471): 529–554, Bibcode : 1968RSPSA.302..529B , doi : 10.1098 / rspa.1968.0034
  • Hayes, WD (1973), "Групповая скорость и распространение нелинейных дисперсионных волн", Труды Лондонского королевского общества , серия A, математические и физические науки, 332 (1589): 199–221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H , DOI : 10.1098 / rspa.1973.0021 , S2CID  121521673
  • Whitham, GB (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley, ISBN 978-0471940906

внешние ссылки