H-пространство - H-space

В математике , в H-пространстве , или топологической унитальной магмы , является топологическим пространством Х ( как правило , предполагается, что связано ) вместе с непрерывным отображением ц: X × X → X с единицей е такое , что μ ( е ,  х ) = μ ( х ,  е ) = х для всех х в X . В качестве альтернативы, отображения μ ( e ,  x ) и μ ( x ,  e ) иногда должны быть только гомотопными тождеству (в этом случае e называется гомотопическим тождеством), иногда через карты, сохраняющие базовую точку. Эти три определения фактически эквивалентны для H-пространств, которые являются CW-комплексами . Каждая топологическая группа является H-пространством; однако в общем случае по сравнению с топологической группой H-пространства могут не иметь ассоциативности и инверсии .

Примеры и свойства

Мультипликативная структура H-пространства добавляет структуру к его группам гомологий и когомологий . Например, кольцо когомологий из пути соединенных H-пространства с конечным числом образующих и свободных группами когомологий является алгеброй Хопфа . Кроме того, можно определить произведение Понтрягина на группах гомологий H-пространства.

Фундаментальная группа из H-пространства абелева . Чтобы убедиться в этом, пусть X - H-пространство с единицей e, а f и g - петли в e . Определим отображение F : [0,1] × [0,1] → X как F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). Тогда F ( a , 0) = F ( a , 1) = f ( a ) e гомотопно f , а F (0, b ) = F (1, b ) = eg ( b ) гомотопно g . Ясно, как определить гомотопию из [ f ] [ g ] в [ g ] [ f ].

Теорема Адамса об инварианте Хопфа , названная в честь Фрэнка Адамса , утверждает, что S 0 , S 1 , S 3 , S 7 - единственные сферы, которые являются H-пространствами. Каждое из этих пространств образует H-пространство, рассматривая его как подмножество единичных элементов вещественных чисел , комплексов , кватернионов и октонионов , соответственно, и используя операции умножения из этих алгебр. Фактически, S 0 , S 1 и S 3 являются группами ( группами Ли ) с этими умножениями. Но S 7 не является группой в этом смысле, потому что умножение октонионов не ассоциативно и не может быть дано какому-либо другому непрерывному умножению, для которого оно является группой.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0. Раздел 3.C
  • Spanier, Эдвин Х. (1981), Алгебраическая топология (Исправленная перепечатка оригинального издания 1966 года), Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90646-0
  • Сташефа, Джеймс Диллон (1963), "Гомотопический ассоциативность H -пространствами I, II.", Труды Американского математического общества , 108 : 275-292, 293-312, DOI : 10,2307 / 1993609 , MR  0158400.
  • Сташефф, Джеймс (1970), H-пространства с гомотопической точки зрения , Лекционные заметки по математике, 161 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag.