Классическая модель Гейзенберга - Classical Heisenberg model

Классическая модель Гейзенберга , разработанная Вернера Гейзенберга , является случай п-векторной модели , одной из моделей , используемых в статистической физике для модели ферромагнетизма и других явлений. ${\ displaystyle n = 3}$

Определение

Его можно сформулировать так: возьмем d-мерную решетку и набор спинов единичной длины

{\ displaystyle {\ vec {s}} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}, | {\ vec {s}} _ {i} | = 1 \ quad (1)}

,

каждый размещен на узле решетки.

Модель определяется через следующий гамильтониан :

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - \ sum _ {i, j} {\ mathcal {J}} _ {ij} {\ vec {s}} _ {i} \ cdot {\ vec {s} } _ {j} \ quad (2)}

с участием

{\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {ij} = {\ begin {cases} J & {\ mbox {if}} i, j {\ mbox {соседи}} \\ 0 & {\ mbox {else.} } \ end {case}}}

связь между спинами.

Общий математический формализм, используемый для описания и решения модели Гейзенберга, и некоторые обобщения развит в статье о модели Поттса .
В континуальном пределе модель Гейзенберга (2) дает следующее уравнение движения

{\ displaystyle {\ vec {S}} _ {t} = {\ vec {S}} \ wedge {\ vec {S}} _ {xx}.}

Это уравнение называется непрерывным классическим уравнением ферромагнетика Гейзенберга или сокращенно моделью Гейзенберга и является интегрируемым в смысле теории солитонов. Она допускает несколько интегрируемого и неинтегрируемое обобщение как уравнения Ландау-Лифшиц , уравнение Ишимори и так далее.

В случае дальнодействия, термодинамический предел хорошо определен, если ; намагниченность остается нулевой, если ; но намагниченность положительная при достаточно низкой температуре, если (в инфракрасных пределах). ${\ displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq 2}$ ${\ Displaystyle 1 <\ альфа <2}$
Как и в любой n-векторной модели «ближайшего соседа» со свободными граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение.

В случае дальнодействия , термодинамический предел хорошо определен, если ; намагниченность остается нулевой, если ; но намагниченность положительна при достаточно низкой температуре, если (инфракрасные границы). ${\ displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 2}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geq 4}$ ${\ Displaystyle 2 <\ альфа <4}$
Поляков предположил, что, в отличие от классической XY-модели , дипольной фазы не существует ; т.е. при ненулевой температуре корреляции срастаются экспоненциально быстро. ${\ displaystyle T> 0}$