Взаимность Гельмгольца - Helmholtz reciprocity

Принцип взаимности Гельмгольца описывает, как луч света и его обратный луч сталкиваются с соответствующими оптическими приключениями, такими как отражения, преломления и поглощения в пассивной среде или на границе раздела. Это не относится к движущимся, нелинейным или магнитным носителям.

Например, входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсию друг друга, не влияя на результат функции распределения двунаправленной отражательной способности (BRDF). Если бы свет измерялся датчиком, и этот свет отражался бы на материале с помощью BRDF, который подчиняется принципу взаимности Гельмгольца, можно было бы поменять местами датчик и источник света, и измерение потока осталось бы одинаковым.

В схеме компьютерной графики глобального освещения принцип взаимности Гельмгольца важен, если алгоритм глобального освещения меняет световые пути на противоположные (например, трассировка лучей по сравнению с классической трассировкой светового пути).

Физика

Принцип реверсии-взаимности Стокса-Гельмгольца был частично сформулирован Стоксом (1849) и со ссылкой на поляризацию на странице 169 « Handbuch der Physiologischen Optik» Гельмгольца 1856 г., цитируемой Кирхгофом и Планком .

Как цитирует Кирхгоф в 1860 году, этот принцип переводится следующим образом:

Луч света, исходящий из точки 1, достигает точки 2 после любого количества преломлений, отражений и т. Д. В точке 1 возьмем любые две перпендикулярные плоскости a ₁ , b ₁ по направлению луча; и пусть колебания луча разделятся на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем аналогичные плоскости a ₂ , b ₂ на луче в точке 2; тогда может быть продемонстрировано следующее предложение. Если , когда количество света I поляризован в плоскости а ₁ переходит из 1 в направлении данного луча, что часть к их света поляризован в ₂ поступает на 2, а затем, наоборот, если количество света I , поляризованные в а ₂ продолжается от 2, то же количество света к поляризованному в виде ₁ [опубликованном текста Кирхгоф здесь исправленного редактор Википедии согласиться с 1867 г. текстом Гельмгольца] поступит в 1.

Проще говоря, принцип гласит, что источник и точку наблюдения можно переключать без изменения значения наблюдаемой волновой функции. Другими словами, этот принцип математически доказывает утверждение: «Если я вижу тебя, ты можешь видеть меня». Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предложенного закона.

В своем убедительном доказательстве справедливости закона Кирхгофа о равенстве излучательной способности и поглощающей способности Планк неоднократно и существенно использовал принцип взаимности Стокса-Гельмгольца. Рэлей сформулировал основную идею взаимности как следствия линейности распространения малых колебаний, света, состоящего из синусоидальных колебаний в линейной среде.

Когда на пути луча есть магнитные поля, принцип неприменим. Отклонение оптической среды от линейности также вызывает отклонение от взаимности Гельмгольца, а также наличие движущихся объектов на пути луча.

Взаимность Гельмгольца первоначально относилась к свету. Это особая форма электромагнетизма, которую можно назвать излучением в дальней зоне. Для этого электрическое и магнитное поля не нуждаются в отдельном описании, потому что они распространяются, питая друг друга равномерно. Таким образом, принцип Гельмгольца представляет собой более простой описанный частный случай электромагнитной взаимности в целом , который описывается различными учетами взаимодействующих электрических и магнитных полей. Принцип Гельмгольца основывается главным образом на линейности и суперпозицией светового поля, и он имеет близкие аналоги в неэлектромагнитных линейных распространяющихся полях, таких как звук. Он был открыт до того, как стала известна электромагнитная природа света.

Теорема взаимности Гельмгольца была строго доказана множеством способов, обычно с использованием квантово-механической симметрии обращения времени . Поскольку эти более математически сложные доказательства могут умалить простоту теоремы, Погани и Тернер доказали ее всего за несколько шагов, используя ряд Борна . Предполагая, что источник света находится в точке A и точке наблюдения O, с различными точками рассеяния между ними, можно использовать уравнение Шредингера для представления результирующей волновой функции в пространстве: ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, ... r}$

${\ displaystyle (\ bigtriangledown ^ {2} +4 \ pi K ^ {2}) \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) = - 4 \ pi K ^ {2} V (\ mathbf {r }) \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) + \ delta (\ mathbf {r-r_ {A}})}$

Применяя функцию Грина , указанное выше уравнение может быть решено для волновой функции в интегральной (и, следовательно, итеративной) форме:

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) = G (\ mathbf {r, r_ {A}}) -4 \ pi ^ {2} \ int G (\ mathbf {r, r ' } V (\ mathbf {r '} \ Psi (\ mathbf {r', r_ {A}}) d \ mathbf {r '}}$

где

${\ displaystyle G (\ mathbf {r, r '}) = - {\ frac {exp (2 \ pi iK | \ mathbf {r-r'} |)} {| \ mathbf {r-r '} |} }}$ .

Далее, можно предположить, что решение внутри рассеивающей среды в точке O может быть аппроксимировано борновским рядом, используя борновское приближение в теории рассеяния. При этом серию можно перебирать обычным способом, чтобы получить следующее интегральное решение:

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}}) = G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}}) -4 \ pi ^ {2} \ int G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {1}}) V (\ mathbf {r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {A}}) d \ mathbf {r_ {1}}}$

${\ displaystyle + (- 4 \ pi ^ {2}) ^ {2} \ int d \ mathbf {r_ {1}} \ int G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {2}}) V (\ mathbf {r_ {1}}) V (\ mathbf {r_ {2}}) G (\ mathbf {r_ {2}, r_ {A}} ) d \ mathbf {r_ {2}}}$

${\ displaystyle + (- 4 \ pi ^ {2}) ^ {3} \ int d \ mathbf {r_ {1}} \ int d \ mathbf {r_ {2}} \ int G (\ mathbf {r_ {O }, r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {2}}) G (\ mathbf {r_ {2}, r_ {3}}) V (\ mathbf {r_ {1}} ) V (\ mathbf {r_ {2}}) V (\ mathbf {r_ {3}}) G (\ mathbf {r_ {3}, r_ {A}}) d \ mathbf {r_ {3}}}$

${\ displaystyle + ...}$

Снова отмечая форму функции Грина, очевидно, что переключение и в приведенной выше форме не изменит результата; то есть, что является математической формулировкой теоремы взаимности: переключение источника света A и точки наблюдения O не изменяет наблюдаемую волновую функцию. ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r_ {O}}}$${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r_ {A}, r_ {O}}) = \ Psi (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}})}$

Приложения

Одно простое, но важное следствие этого принципа взаимности состоит в том, что любой свет, направленный через линзу в одном направлении (от объекта к плоскости изображения), оптически равен своему сопряженному, то есть свет направляется через ту же установку, но в противоположном направлении. Электрон, фокусируемый через какой-либо ряд оптических компонентов, не «заботится», с какого направления он приходит; пока с ним происходят одни и те же оптические события, результирующая волновая функция будет такой же. По этой причине этот принцип имеет важные приложения в области просвечивающей электронной микроскопии (ПЭМ) . Понятие , что сопряженные оптические процессы эквивалентных результатов позволяет пользователю микроскопа понять более глубокое понимание, и имеет значительную гибкость в, методы с участием дифракции электронов , узоров Кикучи , темно-полевые изображений и другими.

Важно отметить, что в ситуации, когда электроны теряют энергию после взаимодействия с рассеивающей средой образца, симметрия относительно обращения времени отсутствует. Следовательно, взаимность действительно применима только в ситуациях упругого рассеяния . В случае неупругого рассеяния с малыми потерями энергии можно показать, что взаимность может использоваться для аппроксимации интенсивности (а не амплитуды волны). Таким образом, в очень толстых образцах или образцах, в которых преобладает неупругое рассеяние, преимущества использования взаимности для ранее упомянутых приложений ПЭМ больше не действуют. Более того, экспериментально было продемонстрировано, что взаимность действительно применяется в ТЕМ при правильных условиях, но физика, лежащая в основе принципа, диктует, что взаимность может быть действительно точной только в том случае, если передача луча происходит только через скалярные поля, то есть без магнитных полей. Таким образом, мы можем сделать вывод, что искажения взаимности из-за магнитных полей электромагнитных линз в ПЭМ можно игнорировать в типичных условиях эксплуатации. Однако пользователи должны быть осторожны, чтобы не применять взаимность к методам магнитного изображения, ПЭМ ферромагнитных материалов или посторонним ситуациям ПЭМ без тщательного рассмотрения. Обычно полюсные наконечники для ПЭМ конструируются с использованием анализа методом конечных элементов генерируемых магнитных полей для обеспечения симметрии.  

Системы с магнитными линзами объектива использовались в ПЭМ для достижения разрешения в атомном масштабе при сохранении среды, свободной от магнитного поля в плоскости образца, но этот метод по-прежнему требует большого магнитного поля над (и под) образцом, таким образом, отрицание любых ожидаемых эффектов усиления взаимности. Эта система работает, помещая образец между передним и задним полюсными наконечниками линз объектива, как в обычном ПЭМ, но два полюсных наконечника сохраняются в точной зеркальной симметрии относительно плоскости образца между ними. Между тем полярности их возбуждения прямо противоположны, создавая магнитные поля, которые почти идеально компенсируются в плоскости образца. Однако, поскольку они не сокращаются где-либо еще, траектория электрона все еще должна проходить через магнитные поля.

Взаимность также может быть использована для понимания основного различия между ПЭМ и сканирующей просвечивающей электронной микроскопией (STEM) , которая в принципе характеризуется переключением положения источника электронов и точки наблюдения. Это фактически то же самое, что реверсирование времени в ПЭМ, так что электроны движутся в противоположном направлении. Следовательно, при соответствующих условиях (в которых применяется взаимность) знания о визуализации ПЭМ могут быть полезны при получении и интерпретации изображений с помощью СТЭМ.

Рекомендации

Смотрите также

• Взаимность (электромагнетизм)