Шестиугольник - Hexagon
Правильный шестиугольник | |
---|---|
Тип | Правильный многоугольник |
Ребра и вершины | 6 |
Символ Шлефли | {6}, т {3} |
Диаграмма Кокстера |
|
Группа симметрии | Двугранный (D 6 ), порядок 2 × 6 |
Внутренний угол ( градусы ) | 120 ° |
Двойной многоугольник | Себя |
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
В геометрии , A шестиугольник (от греческой ЕЕ , гекса , что означает «шесть», и γωνία , Gonia , что означает «угол, угол») представляет собой шестигранный многоугольник или 6-угольник. Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника составляет 720 °.
Правильный шестиугольник
Регулярный шестиугольник имеет символ шлефли {6} , а также может быть выполнен в виде усеченного равностороннего треугольника , т {3}, который чередует два типа ребер.
Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который одновременно является равносторонним и равноугольным . Он бицентрический , что означает, что он является как циклическим (имеет описанную окружность), так и касательным (имеет вписанную окружность).
Общая длина сторон равна радиусу окружности или окружности , которая равна раз превышает апофемой (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы составляют 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть симметрий вращения ( вращательная симметрия шестого порядка ) и шесть симметрий отражения ( шесть линий симметрии ), составляющих группу диэдра D 6 . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, вдвое превышают длину одной стороны. Из этого видно, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и общей стороной с шестиугольником является равносторонним , и что правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников.
Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники подходят друг к другу без каких-либо зазоров, чтобы замостить плоскость (три шестиугольника, пересекающиеся в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . Ячейки сотового улья имеют шестиугольную форму по этой причине, а также потому, что форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного регулярной треугольной решетки является сотовая тесселяция из шестиугольников. Обычно не считается триамбусом , хотя он равносторонний.
Параметры
Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника), D , в два раза превышает радиус максимальной или описанной окружности , R , которая равна длине боковой, т . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза больше минимального радиуса или inradius , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:
- и аналогично
Площадь правильного шестиугольника
Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они задаются как a = r и p , поэтому
Правильный шестиугольник заполняет часть его окружности .
Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P - любая точка на описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .
Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу следует, что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1: 1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.
Точка в плоскости
Для произвольной точки на плоскости правильного шестиугольника с описанным радиусом , расстояния до центра тяжести правильного шестиугольника и его шести вершин равны и соответственно, имеем
Если - расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, то
Симметрия
Пример шестиугольников по симметрии | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Правильный шестиугольник имеет DIH 6 симметрии, порядок 12. Есть три подгруппы: двугранная DIH 3 , DIH 2 и DIH 1 , и четыре циклических подгрупп: Z 6 , Z 3 , Z 2 и Z 1 .
Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. r12 - полная симметрия, а a1 - несимметрия. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие края, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равной длиной ребер, но вершинами, чередующимися под двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. В i4 формы правильные шестиугольники уплощены или растягиваются вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как удлиненный ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали воздушные змеи . Шестиугольники g2 , противоположные стороны которых параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны, могут разбить евклидову плоскость путем сдвига. Другие формы шестиугольника могут перекрывать плоскость с разной ориентацией.
p6m (* 632) | см (2 * 22) | p2 (2222) | p31m (3 * 3) | pmg (22 *) | пг (× ×) | |
---|---|---|---|---|---|---|
r12 |
i4 |
g2 |
d2 |
d2 |
p2 |
а1 |
Dih 6 | Dih 2 | Z 2 | Dih 1 | Z 1 |
Группы A2 и G2
Корни группы А2 |
Корни группы G2 |
Шесть корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина , имеют правильный шестиугольный узор. Угол между двумя простыми корнями составляет 120 °.
12 корней исключительной группы Ли G2 , представленной диаграммой Дынкина также имеют шестиугольную форму. Два простых корня двух длин имеют угол между собой 150 °.
Расслоение
6-кубическая проекция | 12 рассечение ромба | |
---|---|---|
Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Это разложение правильного шестиугольника основано на многоугольной проекции куба Петри с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба рассечены прямоугольными кубоидами .
Разрезание шестиугольников на три ромба и параллелограммы | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2D | Ромбы | Параллелограммы | |||||||||
Обычный {6} | Шестиугольные параллелогоны | ||||||||||
3D | Квадратные лица | Прямоугольные грани | |||||||||
Куб | Прямоугольный кубоид |
Связанные полигоны и мозаики
На правильном шестиугольнике есть символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник - это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.
Правильный шестиугольник можно также создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t {3}. При рассмотрении с двумя типами (цветами) кромок эта форма имеет только симметрию D 3 .
Усеченный шестиугольник, т {6}, является двенадцатиугольник , {12}, чередуя два типа (цвета) ребер. Чередовались шестиугольник, ч {6}, представляет собой равносторонний треугольник , {3}. Правильный шестиугольник может иметь форму звезды с равносторонними треугольниками по краям, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников , добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри правильной треугольной плитки .
Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот узор повторяется внутри ромбогексагональной плитки .
Обычный {6} |
Усеченный t {3} = {6} |
Гипертрофированные треугольники | Звездчатый фигура звезды 2 {3} |
Усеченный t {6} = {12} |
Альтернативный h {6} = {3} |
---|
Перекрещенный шестиугольник |
Вогнутый шестиугольник | Самопересекающийся шестиугольник ( звездообразный многоугольник ) | Расширенный центральный {6} в {12} |
Перекос шестиугольник , внутри куба | Рассеченный {6} | проекционный октаэдр |
Полный график |
---|
Самопересекающиеся шестиугольники
Всего шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:
Dih 2 | Dih 1 | Dih 3 | |||
---|---|---|---|---|---|
Восьмерка |
Центральный флип |
Unicursal |
Рыбий хвост |
Двойной хвост |
Тройной хвост |
Шестиугольные конструкции
От пчелиных сот до Дороги гигантов , гексагональные узоры широко распространены в природе из-за их эффективности. В гексагональной сетке каждая линия настолько коротка, насколько это возможно, если большая область должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска, и они приобретают большую прочность при сжатии .
Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут перекрывать плоскость путем сдвига. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами, и они могут преобразовывать трехмерное пространство в мозаику путем перемещения.
Форма | Шестиугольная черепица | Гексагональные призматические соты |
---|---|---|
Обычный | ||
Параллелогональный |
Месселяция шестиугольниками
В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея, будет мозаикой плоскости.
Шестиугольник, вписанный в коническое сечение
Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») утверждает, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение , и пары противоположных сторон растянуты до тех пор, пока они не встретятся, три точки пересечения будут лежать на прямой линии, то " Линия Паскаля »этой конфигурации.
Циклический шестиугольник
Шестигранной Лемуан является циклическим шестиугольника (один вписан в окружность) с вершинами , заданных шести пересечений ребер треугольника и трех линий, которые параллельны краям , которые проходят через его симедиана точки .
Если последовательные стороны циклического шестиугольника - это a , b , c , d , e , f , то три главных диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf .
Если для каждой стороны циклического шестиугольника смежные стороны продолжаются до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то сегменты, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают .
Если шестиугольник имеет вершины на окружности в качестве острого треугольника в шести точках ( в том числе трех вершин треугольника) , где расширенные Высоты треугольника встречается окружности, то площадь шестиугольника в два раза превышает площадь треугольника.
Шестиугольник, касательный к коническому сечению
Пусть ABCDEF - шестиугольник, образованный шестью касательными конического сечения. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главных диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
В шестиугольнике, который является касательным к окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f ,
Равносторонние треугольники по сторонам произвольного шестиугольника
Если равносторонний треугольник построен снаружи с каждой стороны любого шестиугольника, то середины отрезков, соединяющих центроиды противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник.
Наклоненный шестиугольник
Перекос шестиугольник является перекос многоугольник с шестью вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определяется. Перекос зигзаг шестиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.
Регулярный перекос шестиугольник является вершина-симметрический с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с той же симметрией D 3d , [2 + , 6], порядок 12.
Куб и октаэдр (такой же , как трехстороннее антипризма) имеют регулярные косые шестиугольники как Питрите полигоны.
Куб |
Октаэдр |
Полигоны Петри
Правильный косой шестиугольник - это многоугольник Петри для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников более высокой размерности , показанных в этих косых ортогональных проекциях :
4D | 5D | |
---|---|---|
3-3 дуопризма |
3-3 дуопирамида |
5-симплекс |
Выпуклый равносторонний шестиугольник
Главная диагональ шестиугольника является диагональной , который делит шестиугольник в четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (все стороны равны) с общей стороной a существует главная диагональ d 1 такая, что
и главную диагональ d 2 такую, что
Многогранники с шестиугольниками
Не существует Платонова тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «складываться». В архимедовых твердых частиц с некоторыми шестиугольными гранями являются усеченным тетраэдром , усеченный октаэдром , усеченный икосаэдром (из футбольного мяча и фуллерена известности), усеченный кубооктаэдра а усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно рассматривать как усеченные треугольники, причем диаграммы Кокстера имеют вид а также .
Шестиугольники в архимедовых телах | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Тетраэдр | Восьмигранный | Икосаэдр | |||||||||
усеченный тетраэдр |
усеченный октаэдр |
усеченный кубооктаэдр |
усеченный икосаэдр |
усеченный икосододекаэдр |
Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или уплощенными шестиугольниками, например многогранник Гольдберга G (2,0):
Шестиугольники в многогранниках Гольдберга | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Тетраэдр | Восьмигранный | Икосаэдр | |||||||||
Тетраэдр с фаской |
Куб с фаской |
Додекаэдр с фаской |
Также есть 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:
Призмоиды с шестиугольниками | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Шестиугольная призма |
Шестиугольная антипризма |
Шестиугольная пирамида |
Плитки с правильными шестиугольниками | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Обычный | 1-униформа | ||||||||||
{6,3} |
г {6,3} |
рр {6,3} |
tr {6,3} |
||||||||
2-однородные мозаики | |||||||||||
Галерея натуральных и искусственных шестиугольников
Идеальная кристаллическая структура графена представляет собой гексагональную сетку.
Собранные сегменты зеркала E-ELT
Улей соты
Щитки панциря черепахи
Шестиугольник Сатурна , гексагональный узор облаков вокруг северного полюса планеты.
Бензол , простейшее ароматическое соединение гексагональной формы.
Кристаллическая структура молекулярного шестиугольника, состоящего из гексагональных ароматических колец.
Естественно сформированные базальтовые колонны с Дороги гигантов в Северной Ирландии ; большие массы должны медленно остывать, чтобы сформировать полигональную структуру излома
Вид с воздуха на Форт Джефферсон в национальном парке Драй Тортугас
Джеймс Уэбб Космический телескоп зеркало состоит из 18 шестиугольных сегментов.
Метрополитен Франция имеет неопределенно шестиугольную форму. По-французски l'Hexagone относится к континентальной части Европы, Франции.
Гексагональный кристалл ханксита , один из многих минералов гексагональной кристаллической системы.
Шестиугольник , шестиугольный театр в Рединге, Беркшир.
Шестиугольные шахматы Владислава Глинского
Павильон в ботаническом саду Тайваня
Смотрите также
- 24-ячейка : четырехмерная фигура, которая, как и шестиугольник, имеет ортоплексные грани, самодуальна и разбивает евклидово пространство мозаикой.
- Гексагональная кристаллическая система
- Шестиугольное число
- Шестиугольная мозаика : правильная мозаика шестиугольников на плоскости
- Гексаграмма : шестигранная звезда в правильном шестиугольнике.
- Уникурсальная гексаграмма : одиночный путь, шестигранная звезда, внутри шестиугольника
- Гипотеза о сотах
- Хаванна : абстрактная настольная игра на шестигранной гексагональной сетке
использованная литература
внешние ссылки
- Определение и свойства шестиугольника с интерактивной анимацией и построение с помощью циркуля и линейки .
- Введение в шестиугольную геометрию на Hexnet веб-сайт, посвященный математике шестиугольника.
- Кассини изображает причудливый шестиугольник на Сатурне
- Странный шестиугольник Сатурна
- Шестиугольная деталь вокруг Северного полюса Сатурна.
- «На Сатурне замечен причудливый шестиугольник» - от Space.com (27 марта 2007 г.)