Шестиугольник - Hexagon

Правильный шестиугольник
Правильный многоугольник 6 annotated.svg
Правильный шестиугольник
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 6
Символ Шлефли {6}, т {3}
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Группа симметрии Двугранный (D 6 ), порядок 2 × 6
Внутренний угол ( градусы ) 120 °
Двойной многоугольник Себя
Характеристики Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , A шестиугольник (от греческой ЕЕ , гекса , что означает «шесть», и γωνία , Gonia , что означает «угол, угол») представляет собой шестигранный многоугольник или 6-угольник. Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника составляет 720 °.

Правильный шестиугольник

Регулярный шестиугольник имеет символ шлефли {6} , а также может быть выполнен в виде усеченного равностороннего треугольника , т {3}, который чередует два типа ребер.

Шаг за шагом анимации построения правильного шестиугольника с помощью компаса и угольник , задается Евклида «S элементов , Книга IV, предложение 15: это возможно , как 6 2 × 3, продукт степени двух и различны Простые числа Ферма .
Если задана длина стороны AB , построение дуги окружности из точки A и точки B дает пересечение M, центр описанной окружности . Перенесите отрезок AB четыре раза на описанную окружность и соедините угловые точки.

Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который одновременно является равносторонним и равноугольным . Он бицентрический , что означает, что он является как циклическим (имеет описанную окружность), так и касательным (имеет вписанную окружность).

Общая длина сторон равна радиусу окружности или окружности , которая равна раз превышает апофемой (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы составляют 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть симметрий вращения ( вращательная симметрия шестого порядка ) и шесть симметрий отражения ( шесть линий симметрии ), составляющих группу диэдра D 6 . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, вдвое превышают длину одной стороны. Из этого видно, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и общей стороной с шестиугольником является равносторонним , и что правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников.

Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники подходят друг к другу без каких-либо зазоров, чтобы замостить плоскость (три шестиугольника, пересекающиеся в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . Ячейки сотового улья имеют шестиугольную форму по этой причине, а также потому, что форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного регулярной треугольной решетки является сотовая тесселяция из шестиугольников. Обычно не считается триамбусом , хотя он равносторонний.

Параметры

Правильный шестиугольник 1.svg

Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника), D , в два раза превышает радиус максимальной или описанной окружности , R , которая равна длине боковой, т . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза больше минимального радиуса или inradius , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:

    и аналогично

Площадь правильного шестиугольника

Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они задаются как a = r и p , поэтому

Правильный шестиугольник заполняет часть его окружности .

Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P - любая точка на описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу следует, что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1: 1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.

Точка в плоскости

Для произвольной точки на плоскости правильного шестиугольника с описанным радиусом , расстояния до центра тяжести правильного шестиугольника и его шести вершин равны и соответственно, имеем

Если - расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, то

Симметрия

Шесть линий отражения правильного шестиугольника с симметрией Dih 6 или r12 , порядок 12.
Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены как g для их центральных порядков вращения. Полная симметрия регулярной формы равна r12, а симметрия не помечена как a1 .

Правильный шестиугольник имеет DIH 6 симметрии, порядок 12. Есть три подгруппы: двугранная DIH 3 , DIH 2 и DIH 1 , и четыре циклических подгрупп: Z 6 , Z 3 , Z 2 и Z 1 .

Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. r12 - полная симметрия, а a1 - несимметрия. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие края, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равной длиной ребер, но вершинами, чередующимися под двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. В i4 формы правильные шестиугольники уплощены или растягиваются вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как удлиненный ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали воздушные змеи . Шестиугольники g2 , противоположные стороны которых параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны, могут разбить евклидову плоскость путем сдвига. Другие формы шестиугольника могут перекрывать плоскость с разной ориентацией.

p6m (* 632) см (2 * 22) p2 (2222) p31m (3 * 3) pmg (22 *) пг (× ×)
Изогранная черепица p6-13.png
r12
Изогранная черепица p6-12.png
i4
Изогранная черепица p6-7.png
g2
Изогранная черепица p6-11.png
d2
Изогранная черепица p6-10.png
d2
Изогранная черепица p6-9.png
p2
Изогранная черепица p6-1.png
а1
Dih 6 Dih 2 Z 2 Dih 1 Z 1

Группы A2 и G2

Корневая система A2.svg
Корни группы А2
Dyn-узел n1.pngDyn-3.pngDyn-узел n2.png
Корневая система G2.svg
Корни группы G2
Dyn2-nodeg n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-узел n2.png

Шесть корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина Dyn-узел n1.pngDyn-3.pngDyn-узел n2.png, имеют правильный шестиугольный узор. Угол между двумя простыми корнями составляет 120 °.

12 корней исключительной группы Ли G2 , представленной диаграммой Дынкина Dyn2-nodeg n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-узел n2.pngтакже имеют шестиугольную форму. Два простых корня двух длин имеют угол между собой 150 °.

Расслоение

6-кубическая проекция 12 рассечение ромба
6-кубик t0 A5.svg Ромбическое рассечение 6-угольника-size2.svg Ромбическое рассечение 6-угольника

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Это разложение правильного шестиугольника основано на многоугольной проекции куба Петри с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба рассечены прямоугольными кубоидами .

Разрезание шестиугольников на три ромба и параллелограммы
2D Ромбы Параллелограммы
Шестиугольник рассечение.svg Cube-skew-orthogonal-skew-solid.png Кубоид diagonal-orthogonal-solid.png Кубоид skew-orthogonal-solid.png
Обычный {6} Шестиугольные параллелогоны
3D Квадратные лица Прямоугольные грани
3-кубический файл graph.svg Cube-skew-orthogonal-skew-frame.png Кубоид diagonal-orthogonal-frame.png Кубоид skew-orthogonal-frame.png
Куб Прямоугольный кубоид

Связанные полигоны и мозаики

На правильном шестиугольнике есть символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник - это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный шестиугольник можно также создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t {3}. При рассмотрении с двумя типами (цветами) кромок эта форма имеет только симметрию D 3 .

Усеченный шестиугольник, т {6}, является двенадцатиугольник , {12}, чередуя два типа (цвета) ребер. Чередовались шестиугольник, ч {6}, представляет собой равносторонний треугольник , {3}. Правильный шестиугольник может иметь форму звезды с равносторонними треугольниками по краям, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников , добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри правильной треугольной плитки .

Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот узор повторяется внутри ромбогексагональной плитки .

Правильный многоугольник 6 annotated.svg Усеченный треугольник.svg Обычное усечение 3 1000.svg Обычное усечение 3 1.5.svg Обычное усечение 3 0.55.svg Hexagram.svg Правильный многоугольник 12 annotated.svg Правильный многоугольник 3 annotated.svg
Обычный
{6}
Усеченный
t {3} = {6}
Гипертрофированные треугольники Звездчатый
фигура звезды 2 {3}
Усеченный
t {6} = {12}
Альтернативный
h {6} = {3}
Перекрещенный квадрат hexagon.png Медиальный триамбический икосаэдр face.png Большой триамбический икосаэдр face.png Шестиугольный купол плоский.png Куб петри многоугольник sideview.png 3-кубик t0.svg 3-кубик t2.svg 5-симплексный файл graph.svg
Перекрещенный
шестиугольник
Вогнутый шестиугольник Самопересекающийся шестиугольник ( звездообразный многоугольник ) Расширенный
центральный {6} в {12}
Перекос шестиугольник , внутри куба Рассеченный {6} проекционный
октаэдр
Полный график

Самопересекающиеся шестиугольники

Всего шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:

Самопересекающиеся шестиугольники с правильными вершинами
Dih 2 Dih 1 Dih 3
Перекрещенный hexagon1.svg
Восьмерка
Перекрещенный hexagon2.svg
Центральный флип
Перекрещенный hexagon3.svg
Unicursal
Перекрещенный шестиугольник4.svg
Рыбий хвост
Перекрещенный шестиугольник5.svg
Двойной хвост
Перекрещенный шестиугольник6.svg
Тройной хвост

Шестиугольные конструкции

Дорога гигантов крупным планом

От пчелиных сот до Дороги гигантов , гексагональные узоры широко распространены в природе из-за их эффективности. В гексагональной сетке каждая линия настолько коротка, насколько это возможно, если большая область должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска, и они приобретают большую прочность при сжатии .

Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут перекрывать плоскость путем сдвига. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами, и они могут преобразовывать трехмерное пространство в мозаику путем перемещения.

Тесселяция с гексагональной призмой
Форма Шестиугольная черепица Гексагональные призматические соты
Обычный Равномерная черепица 63-t0.png Шестиугольные призматические соты.png
Параллелогональный Изогранная черепица p6-7.png Наклонная шестиугольная призма соты.png

Месселяция шестиугольниками

В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея, будет мозаикой плоскости.

Шестиугольник, вписанный в коническое сечение

Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») утверждает, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение , и пары противоположных сторон растянуты до тех пор, пока они не встретятся, три точки пересечения будут лежать на прямой линии, то " Линия Паскаля »этой конфигурации.

Циклический шестиугольник

Шестигранной Лемуан является циклическим шестиугольника (один вписан в окружность) с вершинами , заданных шести пересечений ребер треугольника и трех линий, которые параллельны краям , которые проходят через его симедиана точки .

Если последовательные стороны циклического шестиугольника - это a , b , c , d , e , f , то три главных диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf .

Если для каждой стороны циклического шестиугольника смежные стороны продолжаются до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то сегменты, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают .

Если шестиугольник имеет вершины на окружности в качестве острого треугольника в шести точках ( в том числе трех вершин треугольника) , где расширенные Высоты треугольника встречается окружности, то площадь шестиугольника в два раза превышает площадь треугольника.

Шестиугольник, касательный к коническому сечению

Пусть ABCDEF - шестиугольник, образованный шестью касательными конического сечения. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главных диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

В шестиугольнике, который является касательным к окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f ,

Равносторонние треугольники по сторонам произвольного шестиугольника

Равносторонние треугольники по сторонам произвольного шестиугольника

Если равносторонний треугольник построен снаружи с каждой стороны любого шестиугольника, то середины отрезков, соединяющих центроиды противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник.

Наклоненный шестиугольник

Правильный косой шестиугольник, видимый как края (черные) треугольной антипризмы , симметрия D 3d , [2 + , 6], (2 * 3), порядок 12.

Перекос шестиугольник является перекос многоугольник с шестью вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определяется. Перекос зигзаг шестиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярный перекос шестиугольник является вершина-симметрический с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с той же симметрией D 3d , [2 + , 6], порядок 12.

Куб и октаэдр (такой же , как трехстороннее антипризма) имеют регулярные косые шестиугольники как Питрите полигоны.

Наклонить шестиугольники на 3-кратные оси
Куб петри.png
Куб
Октаэдр petrie.png
Октаэдр

Полигоны Петри

Правильный косой шестиугольник - это многоугольник Петри для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников более высокой размерности , показанных в этих косых ортогональных проекциях :

4D 5D
3-3 дуопризма ortho-Dih3.png
3-3 дуопризма
3-3 дуопирамида ortho.png
3-3 дуопирамида
5-симплексный t0.svg
5-симплекс

Выпуклый равносторонний шестиугольник

Главная диагональ шестиугольника является диагональной , который делит шестиугольник в четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (все стороны равны) с общей стороной a существует главная диагональ d 1 такая, что

и главную диагональ d 2 такую, что

Многогранники с шестиугольниками

Не существует Платонова тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «складываться». В архимедовых твердых частиц с некоторыми шестиугольными гранями являются усеченным тетраэдром , усеченный октаэдром , усеченный икосаэдром (из футбольного мяча и фуллерена известности), усеченный кубооктаэдра а усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно рассматривать как усеченные треугольники, причем диаграммы Кокстера имеют видCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png а также CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.png.

Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или уплощенными шестиугольниками, например многогранник Гольдберга G (2,0):

Также есть 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:

Галерея натуральных и искусственных шестиугольников

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Семья А п B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-угольник Шестиугольник Пентагон
Равномерный многогранник Тетраэдр ОктаэдрКуб Демикуб ДодекаэдрИкосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеекТессеракт Demitesseract 24-элементный 120 ячеек600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс5-куб. 5-полукуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс6-куб. 6-полукуб 1 222 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс7-куб 7-полукруглый 1 322 313 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс8-куб. 8-полукруглый 1 422 414 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс9-куб 9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс10-куб 10-полукуб
Равномерное n - многогранник n - симплекс n - ортоплексn - куб n - demicube 1 к22 к1к 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранниковПравильный многогранникСписок правильных многогранников и соединений