Символ Гильберта - Hilbert symbol

В математике , то символ Гильберта или норма остатков символ является функцией (-, -) из K ^× × K ^× к группы п - го корней из единицы в локальном поле K , таких как области действительных чисел или р-адических чисел . Это связано с законами взаимности , и могут быть определены в терминах символа артиновской из локальной теории полей классов . Символ Гильберта был введен Дэвидом Гильбертом  ( 1897 , разделы 64, 131, 1998 , английский перевод) в его Zahlbericht с той небольшой разницей, что он определил его для элементов глобальных полей, а не для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта был обобщен на более высокие локальные поля .

Квадратичный символ Гильберта

Над локальным полем K , мультипликативная группа ненулевых элементов которого равна K ^× , квадратичный символ Гильберта - это функция (-, -) из K ^× × K ^× в {−1,1}, определенная формулой

${\ displaystyle (a, b) = {\ begin {cases} +1, & {\ mbox {if}} z ^ {2} = ax ^ {2} + by ^ {2} {\ mbox {не имеет -Нулевое решение}} (x, y, z) \ in K ^ {3}; \\ - 1, & {\ mbox {в противном случае.}} \ end {cases}}}$

Эквивалентно, если и только если равен норме элемента квадратичного расширения ^{стр. 109} . ${\ Displaystyle (а, Ь) = 1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle K [{\ sqrt {a}}]}$

Свойства

Следующие три свойства следуют непосредственно из определения, выбирая подходящие решения диофантова уравнения выше:

• Если a квадрат, то ( a , b ) = 1 для всех b .
• Для всех a , b в K ^× , ( a , b ) = ( b , a ).
• Для любого a из K ^× такого, что a −1 также находится в K ^× , имеем ( a , 1− a ) = 1.

(Би) мультипликативность, т. Е.

( a , b ₁ b ₂ ) = ( a , b ₁ ) · ( a , b ₂ )

для любых a , b ₁ и b ₂ в K ^× , однако, труднее доказать и требует развития локальной теории полей классов .

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Стейнберга и, таким образом, факторизуется над второй K-группой Милнора , которая по определению ${\ displaystyle K_ {2} ^ {M} (K)}$

K ^× ⊗ K ^× / ( a ⊗ (1− a) , a ∈ K ^× \ {1})

По первому свойству это даже учитывается . Это первый шаг к гипотезе Милнора . ${\ displaystyle K_ {2} ^ {M} (K) / 2}$

Интерпретация как алгебра

Символ Гильберта также может быть использован для обозначения центральной простой алгебры над К с базисом 1, я , J , K и умножение правила , , . В этом случае алгебра представляет собой элемент порядка 2 в группе Брауэра из K , который идентифицируется с -1 , если это алгебра с делением и +1 , если она изоморфна алгебре матриц 2 × 2. ${\ Displaystyle я ^ {2} = а}$${\ displaystyle j ^ {2} = b}$${\ displaystyle ij = -ji = k}$

Символы Гильберта над рациональными числами

Для места V от поля рациональных чисел и рациональных чисел , Ь положим ( а , б ) _v обозначает значение символа Гильберта в соответствующем завершении Q _V . Как обычно, если v - оценка, прикрепленная к простому числу p, то соответствующее завершение - это p-адическое поле, а если v - бесконечное место, то завершение - это поле действительных чисел .

По действительным числам ( a , b ) _∞ равно +1, если хотя бы одно из a или b положительно, и −1, если оба отрицательны.

Над p-адиками с нечетным p , записав и , где u и v - целые числа, взаимно простые с p , имеем ${\ Displaystyle а = р ^ {\ альфа} и}$${\ displaystyle b = p ^ {\ beta} v}$

${\ displaystyle (a, b) _ {p} = (- 1) ^ {\ alpha \ beta \ epsilon (p)} \ left ({\ frac {u} {p}} \ right) ^ {\ beta} \ left ({\ frac {v} {p}} \ right) ^ {\ alpha}}$ , где ${\ displaystyle \ epsilon (p) = (p-1) / 2}$

и выражение включает два символа Лежандра .

Над 2-адиками, снова написав и , где u и v - нечетные числа , мы имеем ${\ Displaystyle а = 2 ^ {\ альфа} и}$${\ displaystyle b = 2 ^ {\ beta} v}$

${\ displaystyle (a, b) _ {2} = (- 1) ^ {\ epsilon (u) \ epsilon (v) + \ alpha \ omega (v) + \ beta \ omega (u)}}$ , где ${\ displaystyle \ omega (x) = (x ^ {2} -1) / 8.}$

Известно, что если v пробегает все места, ( a , b ) _v равно 1 почти для всех мест. Следовательно, следующая формула продукта

${\ Displaystyle \ prod _ {v} (а, б) _ {v} = 1}$

имеет смысл. Это эквивалентно закону квадратичной взаимности .

Капланский радикал

Символ Гильберта на поле F определяет отображение

${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot): F ^ {*} / F ^ {* 2} \ times F ^ {*} / F ^ {* 2} \ rightarrow \ mathop {Br} (F)}$

где Br ( F ) представляет собой группу Брауэра F . Ядро этого отображения, элементы таким образом, что ( , б ) = 1 для всех Ь , является Капланским радикалом из F .

Радикал является подгруппой F ^* / F ^{* 2} , отождествляемой с подгруппой F ^* . Радикал равен F ^* тогда и только тогда, когда F имеет u -инвариантное не более 2. В противоположном направлении поле с радикалом F ^{* 2} называется полем Гильберта .

Общий символ Гильберта

Если K - локальное поле, содержащее группу корней n- й степени из единицы для некоторого натурального n, простого с характеристикой поля K , то символ Гильберта (,) является функцией от K * × K * до μ _n . В терминах символа Артина это можно определить как

${\ displaystyle (a, b) {\ sqrt [{n}] {b}} = (a, K ({\ sqrt [{n}] {b}}) / K) {\ sqrt [{n}] {b}}}$

Гильберт первоначально определил символ Гильберта до того, как был открыт символ Артина, и его определение (для простого n ) использовало символ степенного вычета, когда K имеет характеристику вычета, взаимно простой с n , и было довольно сложным, когда K имеет характеристику вычета, делящую n .

Свойства

Символ Гильберта (мультипликативно) билинейен:

( ab , c ) = ( a , c ) ( b , c )

( a , bc ) = ( a , b ) ( a , c )

кососимметричный:

( a , b ) = ( b , a ) ⁻¹

невырожденный:

( a , b ) = 1 для всех b тогда и только тогда, когда a находится в K * ⁿ

Он обнаруживает нормы (отсюда и название символа остатка нормы):

( a , b ) = 1 тогда и только тогда, когда a - норма элемента в K ( ⁿ √ b )

Обладает «символическими» свойствами :

( a , 1– a ) = 1, ( a , –a) = 1.

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта гласит, что если a и b находятся в поле алгебраических чисел, содержащем корни n- й степени из единицы, то

${\ displaystyle \ prod _ {p} (a, b) _ {p} = 1}$

где произведение берется по конечному и бесконечному простым числам p числового поля, и где (,) _p - символ Гильберта пополнения в p . Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта в терминах символа Артина.

Символ остатка мощности

Если K - числовое поле, содержащее корни n- й степени из единицы, p - простой идеал, не делящий n , π - простой элемент локального поля p , а a взаимно просто с p , то символ степенного вычета ( ^а
_п ) связана с символом Гильберта соотношением

${\ displaystyle {\ binom {a} {p}} = (\ pi, a) _ {p}}$

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов посредством мультипликативности и определяется для элементов числового поля, полагая ( ^а
_б знак равно ^а
_{( б )} ) где ( b ) - главный идеал, порожденный b . Затем из закона взаимности Гильберта следует следующий закон взаимности для символа вычета, когда a и b просты между собой и с n :

${\ displaystyle {\ binom {a} {b}} = {\ binom {b} {a}} \ prod _ {p | n, \ infty} (a, b) _ {p}}$

Смотрите также

• Адзумая алгебра

внешние ссылки

• «Норма-символ остатка» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• HilbertSymbol в MathWorld

Рекомендации

• Боревич З.И. ; Шафаревич, И. Р. (1966), Теория чисел , Academic Press, ISBN   0-12-117851-X , Zbl   0145,04902
• Гильберт, Давид (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN   0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-62779-1 , Руководство по ремонту   1646901
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , 67 , Американское математическое общество , ISBN   0-8218-1095-2 , Zbl   1068,11023
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K- теорию , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton University Press , MR   0349811 , Zbl   0237.18005
• Neukirch, Jürgen (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN   3-540-65399-6 , Zbl   0956,11021
• Серр, Жан-Пьер (1996), Курс арифметики , Тексты для выпускников по математике , 7 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-90040-5 , Zbl   0256,12001
• Востоков С.В.; Фесенко, И.Б. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN   978-0-8218-3259-2 , Zbl   1156,11046