Гиперболическое пространство - Hyperbolic space
В математике , А гиперболическое пространство является однородным пространством , которое имеет постоянную отрицательную кривизну , где в этом случае кривизна есть кривизна сечения. Это гиперболическая геометрия в более чем двух измерениях , и она отличается от евклидовых пространств с нулевой кривизной, которые определяют евклидову геометрию , и эллиптических пространств с постоянной положительной кривизной.
При вложении в евклидово пространство (более высокой размерности) каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой . Еще одно отличительное свойство - это размер пространства, покрываемого n- шаром в гиперболическом n- пространстве: он увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара для больших радиусов, а не полиномиально .
Формальное определение
Гиперболического п -пространство , обозначаемое Н п , является максимально симметричным, односвязны , п - мерное риманово многообразие с постоянной отрицательной секционной кривизны . Гиперболическое пространство - это пространство с гиперболической геометрией . Это аналог n- сферы с отрицательной кривизной . Несмотря на то, гиперболическое пространство Н п является диффеоморфен к R п , его отрицательной кривизны метрики дает ему очень разные геометрические свойства.
Гиперболическое 2-пространство H 2 также называется гиперболической плоскостью .
Модели гиперболического пространства
Гиперболическое пространство, независимо разработанное Николаем Лобачевским и Яношом Бойяи , является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству , но таким, что постулат о параллельности Евклида больше не считается справедливым. Вместо этого постулат параллельности заменяется следующей альтернативой (в двух измерениях):
- Учитывая , любая линия L и точка P не на L , есть по крайней мере две различные линии , проходящие через P , которые не пересекаются L .
Тогда это теорема, что таких прямых через P бесконечно много . Эта аксиома до сих пор не характеризует гиперболическую плоскость однозначно с точностью до изометрии ; существует дополнительная константа, кривизна K <0 , которую необходимо указать. Тем не менее, он однозначно характеризует его до гомотетии , то есть до взаимных однозначностей, которые изменяют понятие расстояния только на общую константу. Таким образом, выбирая подходящий масштаб длины, можно без ограничения общности считать, что K = −1 .
Могут быть построены модели гиперболических пространств, которые могут быть вложены в плоские (например, евклидовы) пространства. В частности, существование модельных пространств подразумевает, что постулат параллельности логически независим от других аксиом евклидовой геометрии.
Есть несколько важных моделей гиперболического пространства: в модели Клейна года гиперболоида модель , в шаровой модели Пуанкаре и полупространство модели Пуанкаре . Все они моделируют одну и ту же геометрию в том смысле, что любые два из них могут быть связаны преобразованием, которое сохраняет все геометрические свойства пространства, включая изометрию (хотя и не по отношению к метрике евклидова вложения).
Модель гиперболоида
Модель гиперболоида реализует гиперболоидное пространство как гиперболоид в R n +1 = {( x 0 , ..., x n ) | x i ∈ R , i = 0,1, ..., n }. Гиперболоид - это геометрическое место H n точек, координаты которых удовлетворяют
В этой модели линия (или геодезическая ) - это кривая, образованная пересечением H n с плоскостью, проходящей через начало координат в R n +1 .
Модель гиперболоида тесно связана с геометрией пространства Минковского . Квадратичная форма
который определяет гиперболоид, поляризуется, чтобы дать билинейную форму
Пространство R n +1 , снабженное билинейной формой B , является ( n +1) -мерным пространством Минковского R n , 1 .
Можно связать расстояние в модели гиперболоида, определив расстояние между двумя точками x и y на H n как
Эта функция удовлетворяет аксиомам метрического пространства . Он сохраняется действием группы Лоренца на R n , 1 . Следовательно, группа Лоренца действует как группа преобразований, сохраняющая изометрию на H n .
Модель Кляйна
Альтернативная модель гиперболической геометрии на определенной области в проективном пространстве . Квадратичная форма Минковского Q определяет подмножество U n ⊂ RP n, заданное как геометрическое место точек, для которых Q ( x )> 0 в однородных координатах x . Область U n - это модель Клейна гиперболического пространства.
Линии этой модели - открытые отрезки окружающего проективного пространства, лежащие в U n . Расстояние между двумя точками x и y в U n определяется как
Это правильно определено на проективном пространстве, поскольку отношение под обратным гиперболическим косинусом однородно степени 0.
Эта модель связана с моделью гиперболоида следующим образом. Каждая точка x ∈ U n соответствует прямой L x, проходящей через начало координат в R n +1 , по определению проективного пространства. Эта прямая пересекает гиперболоид H n в единственной точке. И наоборот, через любую точку на H n проходит единственная прямая через начало координат (которая является точкой в проективном пространстве). Это соответствие определяет биекцию между U n и H n . Это изометрия, поскольку вычисление d ( x , y ) вдоль Q ( x ) = Q ( y ) = 1 воспроизводит определение расстояния, данное для модели гиперболоида.
Модель шара Пуанкаре
Близко связанной парой моделей гиперболической геометрии являются модели шара Пуанкаре и полупространства Пуанкаре.
Модель шара происходит от стереографической проекции гиперболоида в R n +1 на гиперплоскость { x 0 = 0}. Подробно, пусть S будет точкой в R n +1 с координатами (−1,0,0, ..., 0): южный полюс для стереографической проекции. Для каждой точки P на гиперболоиде H n пусть P ∗ - единственная точка пересечения прямой SP с плоскостью { x 0 = 0}.
Это устанавливает биективное отображение H n в единичный шар
в плоскости { x 0 = 0}.
Геодезические в этой модели - это полукруги , перпендикулярные граничной сфере B n . Изометрии шара порождаются сферической инверсией в гиперсферах, перпендикулярных границе.
Модель полупространства Пуанкаре
Модель полупространства является результатом применения инверсии в круге с центром в граничной точке модели шара Пуанкаре B n выше и радиусом, в два раза превышающим радиус.
Это превращает круги в круги и линии, и, кроме того, является конформным преобразованием . Следовательно, геодезические модели полупространства - это прямые и окружности, перпендикулярные граничной гиперплоскости.
Гиперболические многообразия
Каждое полное , подключено , односвязно многообразие постоянной отрицательной кривизны -1 изометрическое к реальному гиперболического пространства H н . В результате универсальное покрытие любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, которое является гиперболическим многообразием , есть H n . Таким образом, каждые такие М можно записать в виде H п / Γ , где Γ является кручением дискретной группой из изометрии на Н н . То есть Γ - решетка в SO + ( n , 1) .
Римановы поверхности
Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать на языке римановых поверхностей . Согласно теореме униформизации любая риманова поверхность может быть эллиптической, параболической или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу π 1 = Γ; возникающие таким образом группы называются фуксовыми группами . Фактор - пространство Н ² / Γ верхней полуплоскости по модулю фундаментальной группы известна как Фукс модель гиперболической поверхности. Полуплоскость Пуанкара также гиперболическая, но односвязная и некомпактный . Это универсальное покрытие других гиперболических поверхностей.
Аналогичной конструкцией для трехмерных гиперболических поверхностей является клейновская модель .
Смотрите также
- Поверхность Дини
- Гиперболическое 3-многообразие
- Идеальный многогранник
- Теорема жесткости Мостова
- Формула Мураками – Яно
- Псевдосфера
использованная литература
- А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас , (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, Vol. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, SBN ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171 / 105.
- Рэтклифф, Джон Г., Основы гиперболических многообразий , Нью-Йорк, Берлин. Springer-Verlag, 1994.
- Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) "Гиперболическая геометрия на гиперболоиде", American Mathematical Monthly 100: 442–455.
- Вольф, Джозеф А. Пространства постоянной кривизны , 1967. См. Стр. 67.
- Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен