Икосаэдр - Icosahedron

Тенсегрити икосаэдр

В геометрии , икосаэдр ( / ˌ к ɒ ы ə ч я д т ən , - к ə -, - к - / или / ˌ к ɒ ы ə ч я д т ən / ) представляет собой полиэдр с 20 лиц. Название происходит от древнегреческого εἴκοσι (eíkosi)  «двадцать» и от древнегреческого ἕδρα (hédra)  «сиденье». Множественное число может быть «икосаэдрами» ( / - d r ə / ) или «икосаэдрами».

Есть бесконечное множество не- подобные формы икосаэдров, некоторые из них являются более симметричными , чем другие. Наиболее известен ( выпуклый , не звездчатый ) правильный икосаэдр - одно из Платоновых тел - чьи грани представляют собой 20 равносторонних треугольников .

Правильные икосаэдры

Два вида правильных икосаэдров
Икосаэдр.png
Выпуклый правильный икосаэдр
Большой икосаэдр.png
Большой икосаэдр

Есть два объекта, выпуклый и невыпуклый, которые можно назвать правильными икосаэдрами. У каждого есть 30 ребер и 20 равносторонних треугольных граней, по пять пересекающихся в каждой из двенадцати вершин. Оба обладают икосаэдрической симметрией . Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклой разновидности, в то время как невыпуклая форма называется большим икосаэдром .

Выпуклый правильный икосаэдр

Выпуклый правильный икосаэдр обычно называют просто правильным икосаэдром , одним из пяти правильных Платоновых тел , и представлен его символом Шлефли {3, 5}, содержащим 20 треугольных граней с 5 гранями, пересекающимися вокруг каждой вершины.

Его двойственный многогранник - это правильный додекаэдр {5, 3}, имеющий по три правильные пятиугольные грани вокруг каждой вершины.

Большой икосаэдр

Большой икосаэдр является одним из четырех регулярных звезды Кеплер-Пуансо многогранников . Его символ Шлефли - {3,5/2}. Подобно выпуклой форме, он также имеет 20 равносторонних треугольных граней, но его вершина представляет собой пентаграмму, а не пятиугольник, ведущий к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют новые ребра.

Его двойственный многогранник - большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3} с тремя правильными пятиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Звездчатые икосаэдры

Звездчатость - это процесс расширения граней или ребер многогранника до тех пор, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник. Делается это симметрично, чтобы получившаяся фигура сохранила общую симметрию родительской фигуры.

В своей книге «Пятьдесят девять икосаэдров» Кокстер и др. перечислил 58 таких звёздчатых звёзд правильного икосаэдра.

Многие из них имеют одну грань в каждой из 20 плоскостей граней и также являются икосаэдрами. Среди них - большой икосаэдр.

Другие звездочки имеют более одной грани в каждой плоскости или образуют соединения более простых многогранников. Это не совсем икосаэдры, хотя их часто называют таковыми.

Известные звёздчатые формы икосаэдра
Обычный Униформа двойников Обычные соединения Обычная звезда Другие
(Выпуклый) икосаэдр Малый триамбический икосаэдр Медиальный триамбический икосаэдр Большой триамбический икосаэдр Соединение пяти октаэдров Соединение пяти тетраэдров Соединение десяти тетраэдров Большой икосаэдр Выкапанный додекаэдр Конечная звездчатость
Нулевое звено икосаэдра.png Первая звездчатая форма икосаэдра.png Девятая звездочка икосаэдра.png Первая составная звёздчатая форма икосаэдра.png Вторая составная звёздчатая форма икосаэдра.png Третья составная звёздчатая форма икосаэдра.png Шестнадцатая звездчатость икосаэдра.png Третья звездочка icosahedron.svg Семнадцатая звездчатость икосаэдра.png
Звездчатая диаграмма icosahedron.svg Малый триамбический звездчатый икосаэдр Facets.svg Большой триамбический звездчатый икосаэдр Facets.svg Соединение пяти октаэдров со звёздчатыми гранями.svg Соединение пяти звездчатых граней тетраэдров.svg Соединение десяти звездчатых граней тетраэдров.svg Большой звездчатый икосаэдр Facets.svg Выкопанный додекаэдр звездообразной формы facets.svg Звездчатая грань ехиднаэдра Facets.svg
Процесс образования звезд на икосаэдре создает ряд связанных многогранников и соединений с икосаэдрической симметрией .

Пиритоэдрическая симметрия

Пиритоэдрическая и тетраэдрическая симметрии
Диаграммы Кокстера CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.png (пиритоэдрический) Равномерный многогранник-43-h01.svg
CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png (четырехгранный) Равномерное многогранник-33-s012.svg
Символ Шлефли s {3,4}
sr {3,3} или
Лица 20 треугольников:
8 равносторонних
12 равнобедренных
Края 30 (6 коротких + 24 длинных)
Вершины 12
Группа симметрии T h , [4,3 + ], (3 * 2), порядок 24
Группа вращения T d , [3,3] + , (332), порядок 12
Двойной многогранник Пиритоэдр
Характеристики выпуклый
Псевдоикосаэдр flat.png
Сеть
Икосаэдр в кубооктаэдре.png Икосаэдр в кубооктаэдре net.png
Правильный икосаэдр топологически идентичен кубооктаэдру с его 6 квадратными гранями, разделенными пополам по диагоналям с пиритоэдрической симметрией.

Икосаэдр может быть искажен или размечен в качестве нижнего pyritohedral симметрии, и называется вздернутый октаэдр , вздернутый tetratetrahedron , вздернутый тетраэдр и псевдо-икосаэдр . Это можно рассматривать как чередующийся усеченный октаэдр . Если все треугольники равносторонние , симметрию можно также отличить, раскрасив наборы треугольников 8 и 12 по-разному.

Пиритоэдрическая симметрия имеет символ (3 * 2), [3 + , 4] с порядком 24. Тетраэдрическая симметрия имеет символ (332), [3,3] + с порядком 12. Эти более низкие симметрии допускают геометрические искажения от 20. равносторонние треугольные грани вместо 8 равносторонних треугольников и 12 равнобедренных равнобедренных треугольников .

Эти симметрии предлагают диаграммы Кокстера :CDel node.pngCDel 4.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png и CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngсоответственно, каждый из которых представляет более низкую симметрию правильного икосаэдра CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, (* 532), [5,3] икосаэдрическая симметрия порядка 120.

Декартовы координаты

Построение из вершин усеченного октаэдра с отображением внутренних прямоугольников.

Координаты 12 вершин могут быть определены векторами, определенными всеми возможными циклическими перестановками и знакопеременами координат формы (2, 1, 0). Эти координаты представляют собой усеченный октаэдр с удаленными чередующимися вершинами.

Эта конструкция называется курносым тетраэдром в его правильной форме икосаэдра и порождается теми же операциями, которые выполняются, начиная с вектора ( ϕ , 1, 0), где ϕ - золотое сечение .

Икосаэдр Джессена

Икосаэдр Джессена

В икосаэдре Джессена, который иногда называют ортогональным икосаэдром Джессена , 12 равнобедренных граней расположены по-другому, так что фигура не является выпуклой и имеет прямые двугранные углы .

Это ножницы, конгруэнтные кубу, что означает, что его можно разрезать на более мелкие многогранные части, которые можно переставить, чтобы сформировать твердый куб.

Другие икосаэдры

Ромбический икосаэдр

Ромбический икосаэдр является зоноэдром из 20 конгруэнтных ромбов. Его можно получить из ромбического триаконтаэдра , удалив 10 срединных граней. Несмотря на то, что все грани совпадают, ромбический икосаэдр не является гранно-транзитивным .

Симметрии пирамиды и призмы

Общие икосаэдры с симметрией пирамиды и призмы включают:

Твердые тела Джонсона

Некоторые тела Джонсона являются икосаэдрами:

J22 J35 J36 J59 J60 J92
Гиро-удлиненный треугольный купол.png
Гиро-удлиненный треугольный купол
Удлиненный треугольник orthobicupola.png
Ортобикупола удлиненной треугольной формы
Удлиненный треугольный gyrobicupola.png
Гиробикупола удлиненной треугольной формы
Parabiaugmented dodecahedron.png
Парабиаугментированный додекаэдр
Метабиаугментированный додекаэдр.png
Метабиауглеродный додекаэдр
Треугольная hebesphenorotunda.png
Гебешфеноротунда треугольная
Джонсон солид 22 net.png Джонсон солид 35 net.png Джонсон солид 36 net.png Джонсон солид 59 net.png Джонсон солид 60 net.png Джонсон солид 92 net.png
16 треугольников
3 квадрата
 
1 шестиугольник
8 треугольников
12 квадратов
8 треугольников
12 квадратов
10 треугольников
 
10 пятиугольников
10 треугольников
 
10 пятиугольников
13 треугольников
3 квадрата
3 пятиугольника
1 шестиугольник

Смотрите также

использованная литература