Идентичность (математика) - Identity (mathematics)

Визуальное доказательство тождества Пифагора : для любого угла точка лежит на единичной окружности , которая удовлетворяет уравнению . Таким образом, .

{\ displaystyle \ theta}

{\ Displaystyle (х, у) = (\ соз \ тета, \ грех \ тета)}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ Displaystyle \ соз ^ {2} \ тета + \ грех ^ {2} \ тета = 1}

В математике , идентичность является равенство , относящееся одно математического выражение А в другой математическую экспрессии B , таким образом, что и Б (которые могут содержать некоторые переменные ) производят одинаковое значение для всех значений переменных в пределах определенного диапазона действия. Другими словами, A = B - это тождество, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество - это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и тождества. Тождества иногда обозначается тройника символом $\equiv$ вместо $=$ , то знак равенства . ${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ соз ^ {2} \ тета + \ грех ^ {2} \ тета = 1}$

Общие идентичности

Алгебраические тождества

Некоторые тождества, такие как и , составляют основу алгебры, в то время как другие тождества, такие как и , могут быть полезны для упрощения алгебраических выражений и их расширения. ${\ Displaystyle а + 0 = а}$ ${\ Displaystyle а + (- а) = 0}$ ${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}$

Тригонометрические тождества

Геометрически тригонометрические тождества - это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов . Они отличаются от тождеств треугольника , которые представляют собой тождества, включающие как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Другое важное приложение - интеграция нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение итогового интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Один из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств включает уравнение, которое справедливо для всех комплексных значений (поскольку комплексные числа образуют область синуса и косинуса). С другой стороны, уравнение ${\ Displaystyle \ грех ^ {2} \ тета + \ соз ^ {2} \ тета = 1,}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle \ соз \ тета = 1}

верно только для определенных значений , а не для всех (или для всех значений в окрестности ). Например, это уравнение верно, когда, но неверно, когда . ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta = 0,}$ ${\ displaystyle \ theta = 2}$

Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения / вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), которые можно использовать для разделения выражений больших углов на те, которые содержат меньшие составляющие. ${\ Displaystyle \ грех (2 \ тета) = 2 \ грех \ тета \ соз \ тета}$ ${\ Displaystyle \ загар (х + у)}$

Экспоненциальные тождества

Следующие тождества выполняются для всех целочисленных показателей, при условии, что основание не равно нулю:

{\ displaystyle {\ begin {align} b ^ {m + n} & = b ^ {m} \ cdot b ^ {n} \\ (b ^ {m}) ^ {n} & = b ^ {m \ cdot n} \\ (b \ cdot c) ^ {n} & = b ^ {n} \ cdot c ^ {n} \ end {выровнено}}}

В отличие от сложения и умножения возведение в степень не коммутативно . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 ³ = 8 , тогда как 3 ² = 9 .

И, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень тоже не ассоциативно . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но от 2 ³ до 4 будет 8 ⁴ (или 4096), а 2 к 3 ⁴ - 2 ⁸¹ (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Без круглых скобок для изменения порядка вычислений, по соглашению, порядок идет сверху вниз, а не снизу вверх:

{\ displaystyle b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} \ neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p \ cdot q)} = b ^ {p \ cdot q}.}

Логарифмические тождества

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом.

Произведение, частное, мощность и корень

Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм p -й степени числа равен p, умноженному на логарифм самого числа; Логарифм корня p -й степени - это логарифм числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма x = b ^{log _b (x)} и / или y = b ^{log _b (y)} в левые части.

	Формула	Пример
продукт	${\ displaystyle \ log _ {b} (ху) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$	${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (243) = \ журнал _ {3} (9 \ cdot 27) = \ журнал _ {3} (9) + \ журнал _ {3} (27) = 2 + 3 = 5}$
частное	${\ displaystyle \ log _ {b} \! \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$	${\ displaystyle \ log _ {2} (16) = \ log _ {2} \! \ left ({\ frac {64} {4}} \ right) = \ log _ {2} (64) - \ log _ {2} (4) = 6-2 = 4}$
мощность	${\ displaystyle \ log _ {b} (x ^ {p}) = p \ log _ {b} (x)}$	${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (64) = \ журнал _ {2} (2 ^ {6}) = 6 \ журнал _ {2} (2) = 6}$
корень	${\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{p}] {x}} = {\ frac {\ log _ {b} (x)} {p}}}$	${\ displaystyle \ log _ {10} {\ sqrt {1000}} = {\ frac {1} {2}} \ log _ {10} 1000 = {\ frac {3} {2}} = 1,5}$

Смена базы

Логарифм log _b ( x ) может быть вычислен из логарифмов x и b относительно произвольного основания k, используя следующую формулу:

{\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {k} (x)} {\ log _ {k} (b)}}.}

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы с основанием 10 и е . Логарифмы по любому основанию b могут быть определены с использованием любого из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

{\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {10} (x)} {\ log _ {10} (b)}} = {\ frac {\ log _ {e} (x)} {\ log _ {e} (b)}}.}

Для числа x и его логарифма log _b ( x ) с неизвестным основанием b основание задается следующим образом:

{\ displaystyle b = x ^ {\ frac {1} {\ log _ {b} (x)}}.}

Тождества гиперболических функций

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества . Фактически, правило Осборна гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое, полностью расширив его с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh и поменяв знак каждого члена, который содержит произведение 2, 6, 10, 14, ... зол.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не использующими комплексные числа.

Логика и универсальная алгебра

В математической логике и универсальной алгебре тождество определяется как формула вида « ∀ x ₁ , ..., x _n . S = t », где s и t - термы без других свободных переменных, кроме x ₁ , ..., х _п . Префикс квантора («∀ x ₁ , ..., x _n .») Часто остается неявным, особенно в универсальной алгебре. Например, аксиомы о наличии моноида часто даются в качестве идентификационного набора

{ ∀ x , y , z . х * ( у * г ) = ( х * у ) * г , ∀ х . х * 1 = х , ∀ х . 1 * х = х },

или, сокращенно, как

{ x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , x * 1 = x , 1 * x = x }.

Некоторые авторы используют название «уравнение», а не «идентичность».

Смотрите также

Внешние ссылки

The Encyclopedia of Equation Online энциклопедия математических тождеств (в архиве)
Коллекция алгебраических тождеств

Languages

In other projects