Несжимаемый поток - Incompressible flow

В механике жидкости или, в более общем смысле, механике сплошных сред , несжимаемый поток ( изохорный поток ) относится к потоку, в котором плотность материала постоянна внутри жидкой частицы - бесконечно малого объема, который движется со скоростью потока . Эквивалентное утверждение, которое подразумевает несжимаемость, состоит в том, что дивергенция скорости потока равна нулю (см. Вывод ниже, который иллюстрирует, почему эти условия эквивалентны).

Несжимаемый поток не означает, что сама жидкость несжимаема. В приведенном ниже выводе показано, что (при правильных условиях) даже сжимаемые жидкости могут - в хорошем приближении - моделироваться как поток несжимаемой жидкости. Несжимаемый поток означает, что плотность остается постоянной внутри частицы жидкости, которая движется со скоростью потока.

Вывод

Основным требованием к потоку несжимаемой жидкости является постоянство плотности в пределах небольшого объема элемента dV , который движется со скоростью потока u . Математически это ограничение подразумевает, что материальная производная плотности (обсуждается ниже) от плотности должна обращаться в нуль, чтобы гарантировать несжимаемый поток. Прежде чем вводить это ограничение, мы должны применить сохранение массы для создания необходимых соотношений. Масса рассчитывается как объемный интеграл от плотности :

Сохранение массы требует, чтобы производная по времени массы внутри контрольного объема была равна потоку массы J через его границы. Математически мы можем представить это ограничение в виде поверхностного интеграла :

\ oiint

Отрицательный знак в приведенном выше выражении гарантирует, что выходящий поток приводит к уменьшению массы по отношению ко времени, используя соглашение, согласно которому вектор площади поверхности указывает наружу. Теперь, используя теорему о расходимости, мы можем вывести связь между потоком и частной производной плотности по времени:

следовательно:

Частная производная плотности по времени не обязательно обращается в нуль, чтобы гарантировать несжимаемый поток . Когда мы говорим о частной производной плотности по времени, мы имеем в виду эту скорость изменения в пределах контрольного объема фиксированного положения . Допуская частную производную плотности по времени, отличную от нуля, мы не ограничиваемся несжимаемыми жидкостями , потому что плотность может изменяться, как это наблюдается из фиксированного положения, когда жидкость течет через контрольный объем. Этот подход сохраняет общность и не требует обращения в нуль частной производной плотности по времени, что показывает, что сжимаемые жидкости могут по-прежнему испытывать несжимаемый поток. Нас интересует изменение плотности контрольного объема, который движется вместе со скоростью потока u . Поток связан со скоростью потока через следующую функцию:

Итак, сохранение массы означает, что:

Предыдущее соотношение (где мы использовали соответствующее правило произведения ) известно как уравнение неразрывности . Теперь нам понадобится следующее соотношение для полной производной плотности (где мы применяем цепное правило ):

Итак, если мы выберем контрольный объем, который движется с той же скоростью, что и жидкость (т.е. ( dx / dtdy / dtdz / dt ) =  u ), то это выражение упрощается до материальной производной :

Итак, используя полученное выше уравнение неразрывности, мы видим, что:

Изменение плотности со временем означало бы, что жидкость либо сжалась, либо расширилась (или что масса, содержащаяся в нашем постоянном объеме, dV , изменилась), что мы запретили. Затем мы должны потребовать, чтобы материальная производная плотности обращалась в нуль, и, что эквивалентно (для ненулевой плотности), то же самое должно происходить и с дивергенцией скорости потока:

Итак, начиная с сохранения массы и ограничения, заключающегося в том, что плотность в движущемся объеме жидкости остается постоянной, было показано, что эквивалентное условие, необходимое для несжимаемого потока, состоит в том, что дивергенция скорости потока исчезает.

Отношение к сжимаемости

В некоторых месторождениях мерой несжимаемости потока является изменение плотности в результате колебаний давления. Лучше всего это выражается в терминах сжимаемости.

Если сжимаемость достаточно мала, поток считается несжимаемым.

Отношение к соленоидальному полю

Несжимаемый поток описывается соленоидальным полем скорости потока. Но соленоидальное поле, помимо нулевой дивергенции , также имеет дополнительный оттенок наличия ненулевого ротора (то есть вращательной составляющей).

В противном случае, если поток несжимаемой жидкости также имеет ротор, равный нулю, так что он также является безвихревым , то поле скорости потока фактически является лапласовским .

Отличие от материала

Как было определено ранее, поток несжимаемости (изохорный) - это поток, в котором

Это эквивалентно тому, что

т.е. материальная производная плотности равна нулю. Таким образом, если следовать за материальным элементом, его массовая плотность остается постоянной. Обратите внимание, что материальная производная состоит из двух членов. Первый член описывает, как плотность материального элемента изменяется со временем. Этот термин также известен как термин неустойчивый . Второй член описывает изменения плотности при перемещении материального элемента из одной точки в другую. Это термин адвекции (член конвекции для скалярного поля). Для того чтобы поток учитывался как несжимаемый, сумма накоплений этих членов должна быть равна нулю sancro-sanct.

С другой стороны, однородный несжимаемый материал - это материал с постоянной плотностью. Для такого материала . Это означает, что

а также
самостоятельно .

Из уравнения неразрывности следует, что

Таким образом, однородные материалы всегда подвергаются несжимаемому течению, но обратное неверно. То есть сжимаемые материалы могут не испытывать сжатия в потоке.

Связанные ограничения потока

В гидродинамике поток считается несжимаемым, если дивергенция скорости потока равна нулю. Однако иногда можно использовать родственные составы, в зависимости от моделируемой системы потока. Некоторые версии описаны ниже:

  1. Несжимаемый поток : . Это может предполагать либо постоянную плотность (строго несжимаемую), либо переменную плотность потока. Набор с изменяющейся плотностью принимает решения, включающие небольшие возмущения в полях плотности , давления и / или температуры, и может учитывать стратификацию давления в области.
  2. Неупругий поток : . Неупругое ограничение, используемое в основном в области атмосферных наук , расширяет достоверность несжимаемого потока до стратифицированной плотности и / или температуры, а также давления. Это позволяет термодинамическим переменным релаксировать до «атмосферного» основного состояния, наблюдаемого в нижних слоях атмосферы, например, при использовании в области метеорологии. Это условие также может быть использовано для различных астрофизических систем.
  3. Низкий расход Мах-номер , или псевдо-несжимаемость : . Ограничение низкого числа Маха может быть получено из сжимаемых уравнений Эйлера с использованием масштабного анализа безразмерных величин. Ограничение, как и предыдущее в этом разделе, позволяет удалять акустические волны, но также допускает большие возмущения плотности и / или температуры. Предполагается, что поток остается в пределах числа Маха (обычно менее 0,3), чтобы любое решение, использующее такое ограничение, было действительным. Опять же, в соответствии со всеми потоками несжимаемой жидкости отклонение давления должно быть небольшим по сравнению с исходным состоянием давления.

Эти методы делают разные предположения о потоке, но все они принимают во внимание общую форму ограничения для общих функций, зависящих от потока, и .

Численные приближения

Строгий характер уравнений потока несжимаемой жидкости означает, что для их решения были разработаны специальные математические методы. Некоторые из этих методов включают:

  1. Метод проецирования (приблизительный и точный)
  2. Техника искусственной сжимаемости (приблизительная)
  3. Предварительное кондиционирование сжимаемости

Смотрите также

Рекомендации