Индиана Пи Билл - Indiana Pi Bill

Модельный круг Гудвина, как описано в разделе 2 законопроекта. Он имеет диаметр 10 и заявленную окружность «32» (не 31,4159 ~); хорда 90 ° имеет длину, указанную как «7» (а не 7,0710 ~).

Пи Билл Индиана является популярным именем для счета # 246 из 1897 сидящей в Генеральной Ассамблее штата Индиана , один из самых известных попыток установить математическую истину посредством законодательных декретов . Несмотря на свое название, основным результатом, заявленным в законопроекте, является метод квадрата круга , хотя он подразумевает различные неверные значения математической константы π , отношения длины окружности к ее диаметру . Законопроект, написанный врачом-математиком-любителем, так и не стал законом из-за вмешательства профессора К.А. Уолдо из Университета Пердью , который присутствовал в законодательном собрании в тот день, когда он был выставлен на голосование.

Математическая невозможность возвести круг в квадрат с помощью только циркуля и линейки , о которой подозревали с древних времен, была строго доказана 15 годами ранее, в 1882 году Фердинандом фон Линдеманном . Лучшее приближение π, чем подразумевается в законопроекте, было известно с древних времен.

Законодательная история

Политическая карикатура 1897 года, издевающаяся над Биллом Индианы Пи

В 1894 году врач из Индианы Эдвард Дж. Гудвин (ок. 1825–1902) считал, что он открыл правильный способ возведения круга в квадрат. Он предложил представителю штата Тейлору И. Рекорду законопроект, который Рекорд представил в Палате представителей под длинным названием «Законопроект за акт, вводящий новую математическую истину и предложенный в качестве вклада в образование, который будет использоваться только штатом Индиана. стоимости путем выплаты каких-либо лицензионных отчислений с того же самого, при условии, что это будет принято и утверждено официальным актом Законодательного собрания 1897 года ".

Текст законопроекта состоит из серии математических утверждений (подробно изложенных ниже), за которыми следует перечисление предыдущих достижений Гудвина:

... его решения трисекции угла , удвоения куба и квадратуры круга уже были приняты как вклад в науку American Mathematical Monthly ... И следует помнить, что эти отмеченные проблемы были давно решены. научными органами как неразрешимые загадки и превышающие способность человека постигать.

«Решения» Гудвина действительно были опубликованы в American Mathematical Monthly , но с оговоркой «опубликованы по просьбе автора».

После внесения в Палату представителей штата Индиана язык и тема законопроекта вызвали замешательство среди членов; член из Блумингтона предложил передать его в Финансовый комитет, но спикер принял рекомендацию другого члена передать законопроект в Комитет по болотам, где законопроект может «найти заслуженную могилу». Он был передан в Комитет по образованию, который дал положительный отзыв; после предложения приостановить действие правил законопроект был принят 6 февраля 1897 года без голосования против. Новости законопроекта повод встревоженного ответа от Der Tägliche Telegraph , на немецком языке газеты в Индианаполисе, который рассматривается событие с менее чем за его английским языком конкурентов. Когда эти дебаты завершились, профессор Университета Пердью К.А. Уолдо прибыл в Индианаполис, чтобы обеспечить ежегодные ассигнования для Академии наук Индианы . Член законодательного собрания вручил ему счет, предлагая познакомить его с гением, написавшим его. Он отказался, сказав, что уже встретил столько сумасшедших, сколько хотел.

Когда он дошел до Сената Индианы , к законопроекту не отнеслись столь благосклонно, поскольку Уолдо ранее тренировал сенаторов. Комитет по умеренности, которому он был назначен, положительно отозвался об этом, но 12 февраля 1897 года Сенат отложил принятие законопроекта на неопределенный срок . Его почти приняли, но мнение изменилось, когда один сенатор заметил, что Генеральная Ассамблея не имеет полномочий определять математическую истину. На некоторых сенаторов повлияло сообщение о том, что основные газеты, такие как Chicago Tribune , начали высмеивать ситуацию.

Согласно статье Indianapolis News от 13 февраля 1897 года, страница 11, столбец 3:

... законопроект был внесен и высмеян. Сенаторы сочиняли по этому поводу плохие шутки, высмеивали и смеялись над этим. Веселье длилось полчаса. Сенатор Хаббелл сказал, что Сенату, который обходится штату в 250 долларов в день, неуместно тратить свое время на такую ​​легкомыслие. Он сказал, что, читая ведущие газеты Чикаго и Востока, он обнаружил, что законодательное собрание штата Индиана подверглось насмешкам уже принятыми мерами по законопроекту. Он считал рассмотрение такого предложения недостойным Сената. Он предложил отсрочку счета на неопределенный срок, и это предложение было принято.

Математика

Аппроксимация π

Хотя законопроект стал известен как «Пи Билл», в его тексте вообще не упоминается название «пи», и Гудвин, похоже, считал соотношение между длиной окружности и диаметром круга явно второстепенным по отношению к своей основной цели. квадрата круга. Ближе к концу раздела 2 появляется следующий отрывок:

Кроме того, он выявил соотношение хорды и дуги в девяносто градусов, которое равно семи к восьми, а также соотношение диагонали и одной стороны квадрата, равное десяти к семи, раскрывая четвертый важный факт: соотношение диаметра и окружности составляет пять четвертых к четырем [.]

Это близко к явному утверждению, что π =4/1,25= 3.2, и что √ 2 =10/7 ≈ 1,429.

Эту цитату часто читают как три взаимно несовместимых утверждения, но они хорошо сочетаются друг с другом, если принять утверждение о √ 2 о вписанном квадрате (с диаметром круга как диагонали), а не о квадрате на радиусе (с хордой 90 ° по диагонали). Вместе они описывают показанный на рисунке круг, диаметр которого равен 10, а окружность - 32; хорда 90 ° принимается равной 7. Оба значения 7 и 32 находятся в пределах нескольких процентов от истинных длин для круга диаметром 10 (что не оправдывает представления Гудвина о них как о точных). Окружность должна быть ближе к 31,4159, а диагональ «7» должна быть квадратным корнем из 50 (= 25 + 25) или ближе к 7,071.

Площадь круга

Основная цель Гудвина состояла не в том, чтобы измерить длину круга, а в том, чтобы возвести его в квадрат , что он интерпретировал буквально как нахождение квадрата с такой же площадью, что и круг. Он знал, что формула Архимеда для площади круга, которая требует умножения диаметра на одну четверть окружности, не считается решением древней проблемы квадрата круга. Это связано с тем, что проблема состоит в том, чтобы построить область, используя только циркуль и линейку, а Архимед не дал метода построения прямой линии той же длины, что и окружность. Очевидно, Гудвин не знал об этом главном требовании; он считал, что проблема формулы Архимеда состоит в том, что она дает неправильные числовые результаты и что решение древней проблемы должно состоять в замене ее «правильной» формулой. В законопроекте он без аргументов предложил свой метод:

Было обнаружено, что площадь круга соответствует квадрату на прямой, равному квадранту окружности, так же как площадь равностороннего прямоугольника равна квадрату на одной стороне.

Это выглядит излишне запутанным, поскольку « равносторонний прямоугольник» по определению является квадратом . Проще говоря, утверждение состоит в том, что площадь круга такая же, как у квадрата с таким же периметром. Это утверждение приводит к другим математическим противоречиям, на которые Гудвин пытается ответить. Например, сразу после приведенной выше цитаты в законопроекте говорится:

Диаметр, используемый в качестве линейной единицы в соответствии с настоящим правилом при вычислении площади круга, совершенно неверен, так как он представляет площадь круга, умноженную на одну и одну пятую площадь квадрата, периметр которого равен длине окружности круга.

В приведенном выше модельном круге площадь Архимеда (принимая значения Гудвина для окружности и диаметра) будет 80, тогда как предложенное правило Гудвина приводит к площади 64. Теперь 80 превышает 64 на одну пятую от 80 , и Гудвин, похоже, сбивает с толку 64 = 80 × (1 - 1/5) с 80 = 64 × (1 + 1/5), приближение, которое работает только для дробей, намного меньших, чем 1/5.

Область, найденная по правилу Гудвина, равна π/4умноженное на истинную площадь круга, что во многих отчетах Пи Билла интерпретируется как утверждение, что π = 4. Однако в счете нет внутренних доказательств того, что Гудвин намеревался сделать такое утверждение; напротив, он постоянно отрицает, что площадь круга имеет какое-либо отношение к его диаметру.

Относительная площадь погрешность 1 - π/4получается примерно 21 процент, что намного серьезнее, чем приближения длин в модельном круге в предыдущем разделе. Неизвестно, что заставило Гудвина поверить в то, что его правило могло быть правильным. Как правило, фигуры с одинаковым периметром не имеют одинаковой площади (см. Изопериметрию ); типичной демонстрацией этого факта является сравнение длинной тонкой формы с небольшой замкнутой областью (площадь, приближающаяся к нулю при уменьшении ширины) с одной из тех же периметров, высота которой примерно равна ширине (площадь, приближающаяся к квадрату ширины). ширину), очевидно, гораздо большей площади.

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки

• The Straight Dope - Законодательное собрание штата однажды приняло закон, в котором говорилось, что число Пи равно 3?
• Snopes.com - Часть числа Пи Алабамы: Законодательное собрание штата Алабама пересмотрело значение числа Пи в соответствии с библейскими заповедями? связанный обман