Расчет -Calculus

Исчисление — это математическое исследование непрерывных изменений, точно так же, как геометрия — это изучение формы, а алгебра — это изучение обобщений арифметических операций .

У него есть две основные ветви: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление ; первое касается мгновенных скоростей изменения и наклонов кривых , а второе касается накопления количеств и площадей под кривыми или между ними. Эти две ветви связаны друг с другом основной теоремой исчисления , и они используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к четко определенному пределу .

Исчисление бесконечно малых было независимо разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем . Более поздние работы, в том числе систематизация идеи пределов , поставили эти разработки на более прочную концептуальную основу. Сегодня исчисление широко используется в науке , технике и социальных науках .

Этимология

В математическом образовании исчисление обозначает курсы элементарного математического анализа , которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово исчисление на латыни означает «маленький камешек» ( уменьшительное от calx , что означает «камень»), значение, которое до сих пор сохраняется в медицине . Поскольку такие камешки использовались для подсчета расстояний, подсчета голосов и выполнения арифметических операций на счетах , это слово стало обозначать метод вычислений. В этом смысле он использовался в английском языке по крайней мере уже в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона.

В дополнение к дифференциальному исчислению и интегральному исчислению этот термин также используется для обозначения конкретных методов расчета и связанных с ними теорий, которые стремятся смоделировать конкретную концепцию с точки зрения математики. Примеры этого соглашения включают исчисление высказываний , исчисление Риччи , вариационное исчисление , лямбда-исчисление и исчисление процессов . Кроме того, термин «исчисление» по-разному применялся в этике и философии для таких систем, как исчисление счастья Бентама и этическое исчисление .

История

Современное исчисление было разработано в Европе 17-го века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (независимо друг от друга, впервые опубликованные примерно в одно и то же время), но его элементы появились в Древней Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, а еще позже снова в средневековой Европе и в Индии.

Древние предшественники

Египет

Вычисления объема и площади , одной из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском московском папирусе ( ок.  1820  г. до н.э.), но формулы представляют собой простые инструкции, без указания того, как они были получены.

Греция

Архимед использовал метод исчерпывания для вычисления площади под параболой в своей работе «Квадратура параболы» .

Заложив основы интегрального исчисления и предвосхитив понятие предела, древнегреческий математик Евдокс Книдский ( ок.  390–337 до н. э.) разработал метод исчерпывания для доказательства формул объемов конуса и пирамиды.

В эллинистический период этот метод получил дальнейшее развитие у Архимеда ( ок.  287ок.  212 до н. э .), который объединил его с концепцией неделимых предшественником бесконечно малых — что позволило ему решить несколько задач, которые теперь решаются с помощью интегрального исчисления. В «Методе механических теорем» он описывает. например, вычисление центра тяжести твердого полушария , центра тяжести усеченного кругового параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из ее секущих линий .

Китай

Метод исчерпания позже был независимо открыт в Китае Лю Хуэем в 3 веке нашей эры для нахождения площади круга. В 5 веке нашей эры Цзу Гэнчжи , сын Цзу Чунчжи , установил метод, который позже будет назван принципом Кавальери , для нахождения объема сферы .

Средневековый

Средний Восток

Ибн аль-Хайтам , арабский математик и физик 11 века.

На Ближнем Востоке Хасан Ибн аль-Хайтам , латинизированный как Альхазен ( ок.  965  — ок.  1040  г. н.э.), вывел формулу для суммы четвертых степеней . Он использовал результаты, чтобы выполнить то, что теперь назвали бы интегрированием этой функции, где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида .

Индия

В 14 веке индийские математики дали нестрогий метод, напоминающий дифференцирование, применимый к некоторым тригонометрическим функциям. Таким образом , Мадхава из Сангамаграмы и Школа астрономии и математики Кералы установили компоненты исчисления. Полная теория, охватывающая эти компоненты, в настоящее время хорошо известна в западном мире как ряд Тейлора или приближения бесконечного ряда . Однако они не смогли «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня».

Современный

Работа Иоганна Кеплера Stereometrica Doliorum легла в основу интегрального исчисления. Кеплер разработал метод вычисления площади эллипса путем сложения длин многих радиусов, проведенных из фокуса эллипса.

Значительной работой был трактат, источником которого были методы Кеплера, написанный Бонавентурой Кавальери , который утверждал, что объемы и площади следует вычислять как суммы объемов и площадей бесконечно малых поперечных сечений. Идеи были аналогичны идеям Архимеда в «Методе» , но считается, что этот трактат был утерян в 13 веке и был заново открыт только в начале 20 века, поэтому Кавальери был неизвестен. Работа Кавальери не пользовалась уважением, поскольку его методы могли привести к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу вызывали дурную славу.

Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей , разработанным в Европе примерно в то же время. Пьер де Ферма , утверждая, что он заимствован у Диофанта , ввел понятие адекватности , которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малого члена ошибки. Комбинация была достигнута Джоном Уоллисом , Исааком Бэрроу и Джеймсом Грегори , последние два доказали предшественников второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года.

Правило произведения и цепное правило , понятия высших производных и рядов Тейлора , а также аналитических функций использовались Исааком Ньютоном в идиосинкразических обозначениях, которые он применял для решения задач математической физики . В своих работах Ньютон переформулировал свои идеи, чтобы они соответствовали математическому языку того времени, заменив расчеты с бесконечно малыми эквивалентными геометрическими аргументами, которые считались безупречными. Он использовал методы исчисления для решения проблемы движения планет, формы поверхности вращающейся жидкости, сжатия Земли, движения веса, скользящего по циклоиде, и многих других проблем, обсуждаемых в его Principia Mathematica ( 1687 г.). В другой работе он разработал разложения в ряд для функций, включая дробные и иррациональные степени, и было ясно, что он понимает принципы ряда Тейлора . Он не публиковал все эти открытия, и в то время бесконечно малые методы все еще считались сомнительными.

Готфрид Вильгельм Лейбниц был первым, кто четко сформулировал правила исчисления.
Исаак Ньютон разработал исчисление в своих законах движения и гравитации .

Эти идеи были преобразованы в истинное исчисление бесконечно малых Готфридом Вильгельмом Лейбницем , которого Ньютон первоначально обвинил в плагиате . Теперь он считается независимым изобретателем и участником исчисления. Его вклад заключался в том, чтобы предоставить четкий набор правил для работы с бесконечно малыми величинами, позволяющий вычислять вторые и более высокие производные, а также обеспечивать правило произведения и правило цепи в их дифференциальной и интегральной формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц приложил кропотливые усилия к выбору системы обозначений.

Сегодня Лейбницу и Ньютону обычно приписывают независимое изобретение и развитие исчисления. Ньютон был первым, кто применил исчисление к общей физике , а Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых сегодня в исчислении. Основными идеями, которые сделали и Ньютон, и Лейбниц, были законы дифференцирования и интегрирования, подчеркивающие, что дифференцирование и интегрирование являются обратными процессами, вторые и более высокие производные, а также понятие аппроксимирующего полиномиального ряда.

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, возник большой спор о том, какой математик (и, следовательно, какая страна) заслуживает уважения. Ньютон получил свои результаты первым (позже они были опубликованы в его « Методе флюксий »), но Лейбниц первым опубликовал свой « Новый метод про Максимис и Минимис ». Ньютон утверждал, что Лейбниц украл идеи из его неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества . Это противоречие на много лет разделяло англоязычных математиков и математиков континентальной Европы в ущерб английской математике. Тщательное изучение работ Лейбница и Ньютона показывает, что они пришли к своим результатам независимо: Лейбниц начал первым с интегрирования, а Ньютон с дифференцирования. Однако имя новой дисциплине дал Лейбниц. Ньютон назвал свое исчисление « наукой о флюксиях » — термин, который сохранился в английских школах до 19 века. Первый полный трактат по математическому анализу, написанный на английском языке и использующий обозначения Лейбница, не был опубликован до 1815 года.

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в постоянное развитие исчисления. Одна из первых и наиболее полных работ как по бесконечно малым, так и по интегральным исчислениям была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези .

Фонды

В исчислении основы относятся к строгому развитию предмета из аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось нестрогим и подвергалось резкой критике со стороны ряда авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и епископа Беркли . Беркли классно описал бесконечно малые числа как призраки ушедших величин в своей книге «Аналитик» в 1734 году. Разработка строгой основы исчисления занимала математиков на протяжении большей части столетия после Ньютона и Лейбница, и до некоторой степени до сих пор остается активной областью исследований.

Несколько математиков, в том числе Маклорен , пытались доказать правильность использования бесконечно малых величин, но только 150 лет спустя, благодаря работам Коши и Вейерштрасса , наконец был найден способ избежать простых «понятий» бесконечно малых величин. . Были заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. В « Курсе анализа» Коши мы находим широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых величин и (несколько неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования. В своей работе Вейерштрасс формализовал понятие предела и устранил бесконечно малые числа (хотя его определение может фактически подтвердить нильквадратные бесконечно малые числа). После работы Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых величинах, хотя этот предмет до сих пор иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. Именно в этот период идеи исчисления были обобщены на комплексный план с развитием комплексного анализа .

В современной математике основы исчисления входят в область реального анализа , который содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Досягаемость исчисления также была значительно расширена. Анри Лебег изобрел теорию меры , основанную на более ранних разработках Эмиля Бореля , и использовал ее для определения интегралов всех функций, кроме самых патологических . Лоран Шварц ввел распределения , которые можно использовать для получения производной любой функции.

Пределы — не единственный строгий подход к основам исчисления. Другой способ — использовать нестандартный анализ Абрахама Робинсона . Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует технические механизмы математической логики для дополнения системы действительных чисел бесконечно малыми и бесконечными числами, как в исходной концепции Ньютона-Лейбница. Получающиеся в результате числа называются гиперреальными числами , и их можно использовать для лейбницевского развития обычных правил исчисления. Существует также гладкий инфинитезимальный анализ , который отличается от нестандартного анализа тем, что требует пренебрежения бесконечно малыми более высокими степенями во время вывода. Основываясь на идеях Ф. В. Лоувера и используя методы теории категорий , гладкий инфинитезимальный анализ рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными в терминах дискретных объектов. Одним из аспектов этой формулировки является то, что закон исключенного третьего не выполняется. Закон исключенного третьего также отвергается в конструктивной математике , разделе математики, который настаивает на том, что доказательства существования числа, функции или другого математического объекта должны давать конструкцию объекта. Переформулировки исчисления в конструктивной основе обычно являются частью предмета конструктивного анализа .

Значение

В то время как многие из идей исчисления были развиты ранее в Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , использование исчисления началось в Европе в 17 веке, когда Ньютон и Лейбниц, опираясь на работы более ранних математиков, познакомить с его основными принципами. Венгерский эрудит Джон фон Нейман писал об этой работе:

Исчисление было первым достижением современной математики, и его значение трудно переоценить. Я думаю, что она более чем что-либо другое определяет зарождение современной математики, а система математического анализа, являющаяся ее логическим развитием, до сих пор представляет собой величайшее техническое достижение точного мышления.

Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение , наклон кривой и оптимизацию . Приложения интегрального исчисления включают вычисления, включающие площадь, объем , длину дуги , центр масс , работу и давление . Более продвинутые приложения включают степенные ряды и ряды Фурье .

Исчисление также используется для более точного понимания природы пространства, времени и движения. Веками математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или суммой бесконечного множества чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и площади. Древнегреческий философ Зенон Элейский привел несколько известных примеров таких парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты, особенно предел и бесконечный ряд , которые разрешают парадоксы.

Принципы

Пределы и бесконечно малые

Исчисление обычно разрабатывается при работе с очень небольшими величинами. Исторически сложилось так, что первым способом сделать это были бесконечно малые числа . Это объекты, с которыми можно обращаться как с действительными числами, но которые в некотором смысле «бесконечно малы». Например, бесконечно малое число может быть больше 0, но меньше любого числа в последовательности 1, 1/2, 1/3, ... и, следовательно, меньше любого положительного действительного числа . С этой точки зрения исчисление представляет собой набор методов для работы с бесконечно малыми. Символы и брались бесконечно малыми, а производная — их отношением.

Подход к бесконечно малому потерял популярность в 19 веке, потому что было трудно сделать понятие бесконечно малого точным. В конце 19 века бесконечно малые были заменены в академических кругах эпсилон , дельта -подходом к пределам . Пределы описывают поведение функции на определенном входе с точки зрения ее значений на соседних входах. Они фиксируют мелкомасштабное поведение, используя внутреннюю структуру системы действительных чисел (как метрическое пространство со свойством наименьшей верхней границы ). В этой трактовке исчисление представляет собой набор методов для манипулирования определенными пределами. Бесконечно малые числа заменяются последовательностями все меньших и меньших чисел, и бесконечно малое поведение функции находится путем принятия предельного поведения для этих последовательностей. Считалось, что ограничения обеспечивают более строгую основу для исчисления, и по этой причине они стали стандартным подходом в 20 веке. Однако концепция бесконечно малых была возрождена в 20 веке с введением нестандартного анализа и гладкого анализа бесконечно малых , что обеспечило прочную основу для манипулирования бесконечно малыми.

Дифференциальное исчисление

Касательная линия в точке ( x 0 , f ( x 0 )) . Производная f′ ( x ) кривой в точке представляет собой наклон (подъем над пробегом) линии, касательной к этой кривой в этой точке.

Дифференциальное исчисление — это изучение определения, свойств и приложений производной функции . Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Учитывая функцию и точку в области, производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке ее области определения, можно получить новую функцию, называемую производной функцией или просто производной исходной функции. Формально производная — это линейный оператор , который принимает функцию на вход и производит вторую функцию на выходе. Это более абстрактно, чем многие процессы, изучаемые в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функция удвоения получает на вход три, то она выводит шесть, а если функция возведения в квадрат получает на вход три, то она выдает девять. Однако производная может принимать функцию возведения в квадрат в качестве входных данных. Это означает, что производная берет всю информацию о функции возведения в квадрат — например, два передаются четырем, три — девяти, четыре — шестнадцати и т. д. — и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, полученная дифференцированием функции возведения в квадрат, оказывается функцией удвоения.

В более явном виде «функция удвоения» может быть обозначена как g ( x ) = 2x , а «функция возведения в квадрат» — как f ( x ) = x2 . «Производная» теперь принимает функцию f ( x ) , определяемую выражением « x 2 », в качестве входных данных, то есть всей информации, например, что два передаются четырем, три отправляются девяти, четыре передаются до шестнадцати и т. д. — и использует эту информацию для вывода другой функции, функции g ( x ) = 2x , как потом окажется.

В обозначениях Лагранжа символом производной является знак, похожий на апостроф , называемый штрихом . Таким образом, производная функции, называемой f , обозначается f′ , произносится как «f штрих» или «f тире». Например, если f ( x ) = x 2 — функция возведения в квадрат, то f ′ ( x ) = 2 x — ее производная (функция удвоения g , указанная выше).

Если вход функции представляет время, то производная представляет собой изменение по времени. Например, если f — функция, принимающая время в качестве входных данных и выдающая положение мяча в это время в качестве выходных данных, то производная от f — это то, как положение мяча изменяется во времени, то есть это скорость мяча . мяч.

Если функция линейна (т. е. если график функции представляет собой прямую линию), то функция может быть записана как y = mx + b , где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, by - перехват, и:

Это дает точное значение наклона прямой линии. Однако если график функции не является прямой линией, то изменение у, деленное на изменение х , меняется. Производные придают точное значение понятию изменения выпуска по отношению к изменению входа. Чтобы быть конкретным, пусть f будет функцией и зафиксирует точку a в области определения f . ( a , f ( a )) — точка на графике функции. Если h — число, близкое к нулю, то a + h — число, близкое к a . Поэтому ( a + h , f ( a + h )) близко к ( a , f ( a )) . Наклон между этими двумя точками равен

Это выражение называется коэффициентом разности . Линия, проходящая через две точки на кривой, называется секущей , поэтому m — наклон секущей между ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) . Секущая линия является лишь приближением к поведению функции в точке а , потому что она не объясняет, что происходит между а и а + h . Невозможно обнаружить поведение в точке a , установив h равным нулю, потому что это потребовало бы деления на ноль , который не определен. Производная определяется путем принятия предела , когда h стремится к нулю, что означает, что она рассматривает поведение f для всех малых значений h и извлекает согласованное значение для случая, когда h равно нулю:

Геометрически производная представляет собой наклон касательной к графику f в точке a . Касательная — это предел секущих, так же как производная — предел разностных частных. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f .

Вот частный пример, производная функции возведения в квадрат на входе 3. Пусть f ( x ) = x 2 — функция возведения в квадрат.

Производная f′ ( x ) кривой в точке представляет собой наклон линии, касательной к этой кривой в этой точке. Этот наклон определяется с учетом предельного значения наклонов секущих. Здесь задействованная функция (обведена красным) равна f ( x ) = x 3x . Касательная (зеленая), которая проходит через точку (-3/2, -15/8), имеет наклон 23/4. Обратите внимание, что вертикальный и горизонтальный масштабы на этом изображении разные.

Наклон касательной к функции возведения в квадрат в точке (3, 9) равен 6, то есть она движется вверх в шесть раз быстрее, чем вправо. Только что описанный предельный процесс может быть выполнен для любой точки области определения функции возведения в квадрат. Это определяет функцию производной функции возведения в квадрат или просто производную функции возведения в квадрат для краткости. Вычисление, подобное приведенному выше, показывает, что производная функции возведения в квадрат является функцией удвоения.

обозначение Лейбница

Общее обозначение, введенное Лейбницем для производной в приведенном выше примере, таково:

В подходе, основанном на ограничениях, символ ды/дхследует интерпретировать не как частное двух чисел, а как сокращение для предела, вычисленного выше. Лейбниц, однако, намеревался представить его как частное двух бесконечно малых чисел, где dy представляет собой бесконечно малое изменение у, вызванное бесконечно малым изменением dx, примененным к х . Мы также можем думать од/дхкак оператор дифференцирования, который принимает функцию на вход и дает другую функцию, производную, на выходе. Например:

При таком использовании dx в знаменателе читается как «относительно x ». Другой пример правильной записи может быть:

Даже когда исчисление разрабатывается с использованием пределов, а не бесконечно малых, обычно манипулируют такими символами, как dx и dy , как если бы они были действительными числами; хотя таких манипуляций можно избежать, они иногда удобны в записи для выражения таких операций, как полная производная .

Интегральное исчисление

Интегрирование можно рассматривать как измерение площади под кривой, определяемой f ( x ) , между двумя точками (здесь a и b ).
Последовательность сумм Римана в средней точке по правильному разделу интервала: общая площадь прямоугольников сходится к интегралу функции.

Интегральное исчисление - это изучение определений, свойств и приложений двух связанных понятий, неопределенного интеграла и определенного интеграла . Процесс нахождения значения интеграла называется интегрированием . Неопределенный интеграл, также известный как первообразная , является операцией, обратной производной. F — неопределенный интеграл от f , когда f — производная от F. (Такое использование строчных и прописных букв для функции и ее неопределенного интеграла распространено в исчислении.) Определенный интеграл вводит функцию и выводит число, которое дает алгебраическую сумму площадей между графиком входных данных и ось х . Техническое определение определенного интеграла включает предел суммы площадей прямоугольников, называемой суммой Римана .

Мотивирующим примером является расстояние, пройденное за заданное время. Если скорость постоянна, требуется только умножение:

Но если скорость меняется, необходим более мощный метод нахождения расстояния. Один из таких методов состоит в том, чтобы аппроксимировать пройденное расстояние, разбивая время на множество коротких интервалов времени, затем умножая время, прошедшее в каждом интервале, на одну из скоростей в этом интервале, а затем вычисляя сумму (сумму Римана ) приблизительное расстояние, пройденное за каждый интервал. Основная идея заключается в том, что если пройдет совсем немного времени, то скорость останется более или менее неизменной. Однако сумма Римана дает только приблизительное представление о пройденном расстоянии. Мы должны взять предел всех таких сумм Римана, чтобы найти точное пройденное расстояние.

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное за заданный интервал времени, можно вычислить путем умножения скорости на время. Например, путешествие со скоростью 50 миль в час в течение 3 часов приводит к общему расстоянию в 150 миль. График скорости как функции времени дает прямоугольник с высотой, равной скорости, и шириной, равной прошедшему времени. Следовательно, произведение скорости на время также вычисляет прямоугольную площадь под (постоянной) кривой скорости. Эта связь между площадью под кривой и пройденным расстоянием может быть распространена на любую область неправильной формы, демонстрирующую колебания скорости в течение заданного периода времени. Если f ( x ) представляет скорость, как она изменяется во времени, расстояние, пройденное между моментами времени, представленными a и b , является площадью области между f ( x ) и осью x , между x = a и x = b .

Чтобы аппроксимировать эту площадь, интуитивно понятным методом было бы разделить расстояние между a и b на несколько равных сегментов, длина каждого сегмента представлена ​​символом Δ x . Для каждого маленького отрезка мы можем выбрать одно значение функции f ( x ) . Назовите это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δ x и высотой h дает расстояние (время Δ x , умноженное на скорость h ), пройденное на этом отрезке. С каждым сегментом связано среднее значение функции над ним, f ( x ) = h . Сумма всех таких прямоугольников дает приблизительную площадь между осью и кривой, которая является приближенной к общему пройденному расстоянию. Меньшее значение Δ x даст больше прямоугольников и в большинстве случаев лучшее приближение, но для точного ответа нам нужно взять предел, когда Δ x приближается к нулю.

Символ интегрирования — удлиненная буква S , выбранная для обозначения суммирования. Определенный интеграл записывается так:

и читается как «интеграл от a до b от f -of- x относительно x ». Обозначение Лейбница dx предназначено для того, чтобы предложить разделить площадь под кривой на бесконечное число прямоугольников, так что их ширина Δ x становится бесконечно малой dx .

Неопределенный интеграл или первообразная записывается так:

Функции, отличающиеся только константой, имеют одну и ту же производную, и можно показать, что первообразная данной функции на самом деле представляет собой семейство функций, отличающихся только константой. Поскольку производная функции y = x 2 + C , где C — любая константа, равна y′ = 2 x , первообразная последней определяется выражением:

Неопределенная константа C , присутствующая в неопределенном интеграле или первообразной, известна как константа интегрирования .

Основная теорема

Основная теорема исчисления утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. Точнее, он связывает значения первообразных с определенными интегралами. Поскольку обычно легче вычислить первообразную, чем применить определение определенного интеграла, основная теорема исчисления обеспечивает практический способ вычисления определенных интегралов. Его также можно интерпретировать как точное утверждение того факта, что дифференцирование является обратным интегрированию.

Основная теорема исчисления утверждает: если функция f непрерывна на интервале [ a , b ] и если F функция, производная которой равна f на интервале ( a , b ) , то

Кроме того, для каждого x в интервале ( a , b ) ,

Это осознание, сделанное как Ньютоном , так и Лейбницем , стало ключом к распространению аналитических результатов после того, как их работа стала известна. (Степень, в которой Ньютон и Лейбниц находились под влиянием непосредственных предшественников, и особенно то, что Лейбниц, возможно, узнал из работ Исаака Барроу , трудно определить из-за спора о приоритетах между ними.) Фундаментальная теорема обеспечивает алгебраический метод вычисления много определенных интегралов — без выполнения предельных процессов — путем нахождения формул для первообразных . Это также прототип решения дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с ее производными и повсеместно используются в науках.

Приложения

Логарифмическая спираль раковины Наутилуса — это классическое изображение, используемое для изображения роста и изменений, связанных с исчислением.

Исчисление используется во всех областях физических наук, актуарных наук , информатики , статистики , машиностроения , экономики , бизнеса , медицины , демографии и в других областях, где проблема может быть математически смоделирована и требуется оптимальное решение. Он позволяет перейти от (непостоянной) скорости изменения к тотальному изменению или наоборот, и много раз при изучении проблемы мы знаем одно и пытаемся найти другое. Математическое исчисление можно использовать в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй , чтобы найти «наилучшее» линейное приближение для набора точек в области. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения ожидаемого значения непрерывной случайной величины с учетом функции плотности вероятности . В аналитической геометрии изучение графиков функций, исчисление используется для нахождения высоких и низких точек (максимумов и минимумов), наклона, вогнутости и точек перегиба . Исчисление также используется для нахождения приближенных решений уравнений; на практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и поиска корней в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона , итерация с фиксированной точкой и линейная аппроксимация . Например, космические корабли используют разновидность метода Эйлера для аппроксимации кривых курсов в условиях невесомости.

Физика особенно использует исчисление; все понятия классической механики и электромагнетизма связаны исчислением. Масса объекта с известной плотностью , момент инерции объектов и потенциальная энергия из-за гравитационных и электромагнитных сил могут быть найдены с помощью исчисления. Примером использования исчисления в механике является второй закон движения Ньютона , который гласит, что производная импульса объекта по времени равна чистой силе, действующей на него. В качестве альтернативы второй закон Ньютона можно выразить, сказав, что результирующая сила равна массе объекта, умноженной на его ускорение , которое является производной по времени от скорости и, следовательно, второй производной по времени от пространственного положения. Зная, как объект ускоряется, мы используем исчисление для определения его пути.

Теория электромагнетизма Максвелла и общая теория относительности Эйнштейна также выражены на языке дифференциального исчисления. Химия также использует исчисление для определения скоростей реакций и изучения радиоактивного распада. В биологии динамика популяции начинается с показателей воспроизводства и смертности, чтобы смоделировать изменения популяции.

Теорема Грина , которая дает связь между линейным интегралом вокруг простой замкнутой кривой C и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной C, применяется в приборе, известном как планиметр, который используется для вычисления площади плоской кривой . поверхность на чертеже. Например, его можно использовать для расчета площади, занимаемой цветником неправильной формы или бассейном, при проектировании планировки участка.

В области медицины исчисление можно использовать для нахождения оптимального угла ветвления кровеносного сосуда, чтобы максимизировать поток. Исчисление можно применять, чтобы понять, как быстро лекарство выводится из организма или как быстро растет раковая опухоль.

В экономике исчисление позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легко рассчитать как предельные издержки , так и предельный доход .

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки