Равнобедренная трапеция - Isosceles trapezoid

Равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция с осью симметрии
Тип	четырехугольник , трапеция
Ребра и вершины	4
Группа симметрии	Dih 2 , [], (*), порядок 2
Двойной многоугольник	летающий змей
Характеристики	выпуклый , циклический

В евклидовой геометрии , равнобедренной трапеции ( равнобедренной трапеции в британском английском ) является выпуклым четырехугольником с линией симметрии рассекает одну пару противоположных сторон. Это частный случай трапеции . В качестве альтернативы его можно определить как трапецию, в которой обе опоры и оба базовых угла имеют одинаковую меру. Обратите внимание, что непрямоугольный параллелограмм не является равнобедренной трапецией из-за второго условия или из-за отсутствия линии симметрии. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны , а две другие стороны (ноги) имеют равную длину (свойства, общие с параллелограммом ). Диагонали тоже одинаковой длины. Базовые углы равнобедренной трапеции равны в меру (на самом деле есть две пары равных базовых углов, где один базовый угол является дополнительным углом базового угла у другого базового угла).

Особые случаи

Прямоугольники и квадраты обычно считаются частными случаями равнобедренных трапеций, хотя некоторые источники исключают их.

Другой частный случай - это трапеция с 3 равными сторонами , иногда известная как трехсторонняя трапеция или трехобедренная трапеция . Их также можно рассматривать как разрезанные от правильных многоугольников с 5 или более сторонами как усечение 4 последовательных вершин.

Самопересечения

Любой четырехугольник без самопересечения с ровно одной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо воздушным змеем . Однако, если пересечения разрешены, набор симметричных четырехугольников необходимо расширить, включив в него также скрещенные равнобедренные трапеции, скрещенные четырехугольники, у которых скрещенные стороны имеют равную длину, а другие стороны параллельны, а также антипараллелограммы , скрещенные четырехугольники, в которых противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве выпуклой оболочки и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон равнобедренной трапеции.

Выпуклая равнобедренная трапеция	Скрещенная равнобедренная трапеция	антипараллелограмм

Характеристики

Если четырехугольник , как известно, на трапецию , это не достаточно просто проверить , что ноги имеют одинаковую длину для того , чтобы знать , что это равнобедренной трапеции, так как ромб является частным случаем трапеции с ноги одинаковой длины , но не является равнобедренной трапецией, поскольку в ней отсутствует линия симметрии, проходящая через середины противоположных сторон.

Любое из следующих свойств отличает равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали одинаковой длины.
• Базовые углы имеют такую ​​же меру.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Противоположные углы являются дополнительными, что, в свою очередь, означает, что равнобедренные трапеции являются циклическими четырехугольниками .
• Диагонали делят друг друга на отрезки попарно равной длины; в терминах рисунка ниже AE = DE , BE = CE (и AE ≠ CE, если нужно исключить прямоугольники).

Углы

В равнобедренной трапеции базовые углы попарно имеют одинаковую меру. На рисунке ниже углы ∠ ABC и ∠ DCB - тупые углы одной и той же меры, а углы ∠ BAD и ∠ CDA - острые углы , также одинаковой меры.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, примыкающие к противоположным основаниям, являются дополнительными , то есть углы ∠ ABC + ∠ BAD = 180 °.

Диагонали и высота

В диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину; то есть каждая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырехугольником . Причем диагонали делят друг друга в одинаковых пропорциях. Как показано на рисунке, диагонали AC и BD имеют одинаковую длину ( AC = BD ) и делят друг друга на сегменты одинаковой длины ( AE = DE и BE = CE ).

Соотношение , в котором каждая диагональ делится равно отношению длин параллельных сторон , что они пересекаются, то есть,

${\ displaystyle {\ frac {AE} {EC}} = {\ frac {DE} {EB}} = {\ frac {AD} {BC}}.}$

Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея , задаваемый

${\ displaystyle p = {\ sqrt {ab + c ^ {2}}}}$

где a и b - длины параллельных сторон AD и BC , а c - длина каждой стороны AB и CD .

Высота, согласно теореме Пифагора , определяется как

${\ displaystyle h = {\ sqrt {p ^ {2} - \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}.}$

Расстояние от точки E до основания AD определяется выражением

${\ displaystyle d = {\ frac {ah} {a + b}}}$

где a и b - длины параллельных сторон AD и BC , а h - высота трапеции.

Площадь

Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна среднему значению длины основания и вершины ( параллельных сторон ), умноженному на высоту. На соседней диаграмме, если мы пишем AD = a и BC = b , а высота h - это длина отрезка прямой между AD и BC, который перпендикулярен им, тогда площадь K задается следующим образом:

${\ displaystyle K = {\ frac {h} {2}} \ left (a + b \ right).}$

Если вместо высоты трапеции известна общая длина ветвей AB = CD = c , то площадь можно вычислить, используя формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, который с двумя равными сторонами упрощается до

${\ Displaystyle К = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) ^ {2}}},}$

-где полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона для вычисления площади треугольника. Предыдущая формула для площади также может быть записана как ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (а + b + 2c)}$

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b) ^ {2} (a-b + 2c) (b-a + 2c)}}.}$

Circumradius

Радиус описанной окружности равен

${\ displaystyle R = c {\ sqrt {\ frac {ab + c ^ {2}} {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}}.}.$

В прямоугольнике, где a = b, это упрощается до . ${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}}}$

Смотрите также

• Равнобедренная тангенциальная трапеция

использованная литература

внешние ссылки

• Некоторые инженерные формулы с участием равнобедренных трапеций