Многочлены Якоби - Jacobi polynomials

В математике , многочлены Якоби (иногда называемые гипергеометрические полиномы ) Р^{( α , β )}
_n( x ) - класс классических ортогональных многочленов . Они ортогональны относительно веса (1 - x ) ^α (1 + x ) ^β на отрезке [−1, 1] . Эти многочлены Гегенбауэра , а следовательно , и Лежандр , Зерник и многочлены Чебышева , являются частными случаями полиномов Якоби.

Многочлены Якоби были введены Карлом Густавом Якобом Якоби .

Определения

Через гипергеометрическую функцию

Многочлены Якоби определяются через гипергеометрическую функцию следующим образом:

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {(\ alpha +1) _ {n}} {n!}} \, {} _ {2} F_ {1} \ left (-n, 1 + \ alpha + \ beta + n; \ alpha +1; {\ tfrac {1} {2}} (1-z) \ right),}$

где - символ Поххаммера (восходящего факториала). В этом случае ряд для гипергеометрической функции конечен, поэтому получаем следующее эквивалентное выражение: ${\ Displaystyle (\ альфа +1) _ {п}}$

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + n + 1)} {n! \, \ Gamma (\ alpha + \ beta + n + 1)}} \ sum _ {m = 0} ^ {n} {n \ choose m} {\ frac {\ Gamma (\ alpha + \ beta + n + m + 1)} {\ Gamma (\ alpha + m + 1)}} \ left ({\ frac {z-1} {2}} \ right) ^ {m}.}$

Формула Родригеса

Эквивалентное определение дается формулой Родригеса :

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} (1-z) ^ {- \ alpha} (1 + z) ^ {- \ beta} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ left \ {(1-z) ^ {\ alpha} (1 + z) ^ {\ beta} \ left (1-z ^ {2} \ right) ^ {n} \ right \}.}$

Если , то он сводится к полиномам Лежандра : ${\ Displaystyle \ альфа = \ бета = 0}$

${\ displaystyle P_ {n} (z) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} (z ^ {2 } -1) ^ {n} \ ;.}$

Альтернативное выражение для реального аргумента

Для действительного x полином Якоби можно также записать как

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = \ sum _ {s = 0} ^ {n} {n + \ alpha \ select ns} {n + \ beta \ choose s} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right) ^ {s} \ left ({\ frac {x + 1} {2}} \ right) ^ {ns}}$

а для целого n

${\ displaystyle {z \ choose n} = {\ begin {case} {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {\ Gamma (n + 1) \ Gamma (z-n + 1)}} & n \ geq 0 \\ 0 & n <0 \ end {case}}}$

где Γ ( z ) - гамма-функция .

В частном случае, когда четыре величины n , n + α , n + β и n + α + β являются неотрицательными целыми числами, многочлен Якоби может быть записан как

${\ Displaystyle P_ {п} ^ {(\ альфа, \ бета)} (х) = (п + \ альфа)! (п + \ бета)! \ сумма _ {s = 0} ^ {n} {\ гидроразрыва {1 } {s! (n + \ alpha -s)! (\ beta + s)! (ns)!}} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right) ^ {ns} \ left ( {\ frac {x + 1} {2}} \ right) ^ {s}.}$

( 1 )

Сумма распространяется на все целые значения s, для которых аргументы факториалов неотрицательны.

Особые случаи

${\ Displaystyle P_ {0} ^ {(\ альфа, \ бета)} (г) = 1,}$

${\ Displaystyle P_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = (\ alpha +1) + (\ alpha + \ beta +2) {\ frac {z-1} {2}}, }$

${\ Displaystyle P_ {2} ^ {(\ альфа, \ бета)} (г) = {\ гидроразрыва {(\ альфа +1) (\ альфа +2)} {2}} + (\ альфа +2) ( \ alpha + \ beta +3) {\ frac {z-1} {2}} + {\ frac {(\ alpha + \ beta +3) (\ alpha + \ beta +4)} {2}} \ left ({\ frac {z-1} {2}} \ right) ^ {2}, ...}$

Основные свойства

Ортогональность

Полиномы Якоби удовлетворяют условию ортогональности

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta} P_ {m} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x ) P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \, dx = {\ frac {2 ^ {\ alpha + \ beta +1}} {2n + \ alpha + \ beta +1}} { \ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1) \ Gamma (n + \ beta +1)} {\ Gamma (n + \ alpha + \ beta +1) n!}} \ delta _ {nm}, \ qquad \ alpha , \ \ beta> -1.}$

Как определено, они не имеют единичной нормы по весу. Это можно исправить, разделив на квадратный корень из правой части уравнения выше, когда . ${\ Displaystyle п = м}$

Хотя он не дает ортонормированной основы, альтернативная нормализация иногда предпочтительна из-за ее простоты:

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (1) = {n + \ alpha \ choose n}.}$

Отношение симметрии

Многочлены обладают соотношением симметрии

${\ Displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (- z) = (- 1) ^ {n} P_ {n} ^ {(\ beta, \ alpha)} (z);}$

таким образом, другое конечное значение

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (- 1) = (- 1) ^ {n} {n + \ beta \ choose n}.}$

Производные

К - й производной от явного выражения приводит к

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {k}} {dz ^ {k}}} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + \ бета + n + 1 + k)} {2 ^ {k} \ Gamma (\ alpha + \ beta + n + 1)}} P_ {nk} ^ {(\ alpha + k, \ beta + k)} (z ).}$

Дифференциальное уравнение

Многочлен Якоби P^{( α , β )}
_nявляется решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

${\ Displaystyle \ влево (1-х ^ {2} \ вправо) у '' + (\ бета - \ альфа - (\ альфа + \ бета +2) х) у '+ п (п + \ альфа + \ бета + 1) y = 0.}$

Повторяющиеся отношения

Рекуррентное соотношение для полиномов Якоби фиксированной & alpha ; , β является:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} & 2n (п + \ альфа + \ бета) (2n + \ альфа + \ бета -2) P_ {n} ^ {(\ альфа, \ бета)} (г) \\ & \ qquad = (2n + \ alpha + \ beta -1) {\ Big \ {} (2n + \ alpha + \ beta) (2n + \ alpha + \ beta -2) z + \ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} { \ Big \}} P_ {n-1} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) -2 (n + \ alpha -1) (n + \ beta -1) (2n + \ alpha + \ beta) P_ { п-2} ^ {(\ альфа, \ бета)} (г), \ конец {выровнено}}}$

для n = 2, 3, ....

Поскольку многочлены Якоби могут быть описаны в терминах гипергеометрической функции, рекурренты гипергеометрической функции дают эквивалентные рекурренты многочленов Якоби. В частности, отношения смежности Гаусса соответствуют тождествам

${\ displaystyle {\ begin {align} (z-1) {\ frac {d} {dz}} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) & = {\ frac {1} { 2}} (z-1) (1+ \ alpha + \ beta + n) P_ {n-1} ^ {(\ alpha +1, \ beta +1)} \\ & = nP_ {n} ^ {( \ alpha, \ beta)} - (\ alpha + n) P_ {n-1} ^ {(\ alpha, \ beta +1)} \\ & = (1+ \ alpha + \ beta + n) \ left ( P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta +1)} - P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} \ right) \\ & = (\ alpha + n) P_ {n} ^ { (\ alpha -1, \ beta +1)} - \ alpha P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} \\ & = {\ frac {2 (n + 1) P_ {n + 1} ^ {(\ alpha, \ beta -1)} - \ left (z (1+ \ alpha + \ beta + n) + \ alpha + 1 + n- \ beta \ right) P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} {1 + z}} \\ & = {\ frac {(2 \ beta + n + nz) P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} - 2 (\ beta + n) P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta -1)}} {1 + z}} \\ & = {\ frac {1-z} {1 + z}} \ left (\ beta P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} - (\ beta + n) P_ {n} ^ {(\ alpha +1, \ beta -1)} \ right) \,. \ end {выровнено}}}$

Производящая функция

Производящая функция многочленов Якоби дается

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) t ^ {n} = 2 ^ {\ alpha + \ beta} R ^ {-1} (1-t + R) ^ {- \ alpha} (1 + t + R) ^ {- \ beta},}$

куда

${\ displaystyle R = R (z, t) = \ left (1-2zt + t ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} ~,}$

и ветвь квадратного корня выбрана так, чтобы R ( z , 0) = 1.

Асимптотика многочленов Якоби.

Для x внутри [−1, 1] асимптотика P^{( α , β )}
_nдля больших n задается формулой Дарбу

${\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (\ cos \ theta) = n ^ {- {\ frac {1} {2}}} k (\ theta) \ cos (N \ theta + \ gamma) + O \ left (n ^ {- {\ frac {3} {2}}} \ right),}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} k (\ theta) & = \ pi ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ sin ^ {- \ alpha - {\ frac {1} {2}} } {\ tfrac {\ theta} {2}} \ cos ^ {- \ beta - {\ frac {1} {2}}} {\ tfrac {\ theta} {2}}, \\ N & = n + {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta +1), \\\ gamma & = - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ left (\ alpha + {\ tfrac {1} {2 }} \ right), \ end {выравнивается}}}$

и член « O » равномерен на интервале [ε, π -ε] для любого ε> 0.

Асимптотика полиномов Якоби вблизи точек ± 1 дается формулой Мелера – Гейне

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {n \ to \ infty} n ^ {- \ alpha} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} \ left (\ cos \ left ({\ tfrac {z} {n}} \ right) \ right) & = \ left ({\ tfrac {z} {2}} \ right) ^ {- \ alpha} J _ {\ alpha} (z) \\\ lim _ {n \ to \ infty} n ^ {- \ beta} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} \ left (\ cos \ left (\ pi - {\ tfrac {z} {n}}) \ right) \ right) & = \ left ({\ tfrac {z} {2}} \ right) ^ {- \ beta} J _ {\ beta} (z) \ end {align}}}$

где пределы равны для z в ограниченной области .

Асимптотика вне [−1, 1] менее явна.

Приложения

D-матрица Вигнера

Выражение ( 1 ) позволяет экспрессию Вигнера д-матрицы д ^J _{м », м} (ф) (при 0 ≤ φ ≤ 4 π ) в терминах полиномов Якоби:

${\ displaystyle d_ {m'm} ^ {j} (\ phi) = \ left [{\ frac {(j + m)! (jm)!} {(j + m ')! (j-m') !}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ left (\ sin {\ tfrac {\ phi} {2}} \ right) ^ {m-m '} \ left (\ cos {\ tfrac {\ phi} {2}} \ right) ^ {m + m '} P_ {jm} ^ {(m-m', m + m ')} (\ cos \ phi).}$

Смотрите также

• Неравенство Аски – Гаспера
• Большие многочлены q-Якоби
• Непрерывные полиномы q-Якоби
• Маленькие многочлены q-Якоби
• Псевдо-полиномы Якоби
• Процесс Якоби
• Многочлены Гегенбауэра
• Полиномы Романовского

Примечания