Уравнения Ефименко - Jefimenko's equations

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер Пуассон
v т е

В электромагнетизме , Уравнения Ефименко (имя Ефименко, Олега Дмитриевича ) дают электрическое поле и магнитное поле из - за распределения электрических зарядов и электрического тока в пространстве, которое принимает во внимание задержку распространения ( отсталое время ) полей в связи с конечная скорость света и релятивистские эффекты. Поэтому их можно использовать для перемещения зарядов и токов. Они являются общими решениями уравнений Максвелла для любого произвольного распределения зарядов и токов.

Уравнения

Электрические и магнитные поля

Позиционные векторы r и r ′, используемые в расчетах

Уравнения Ефименко дают электрическое поле E и магнитное поле B, создаваемые произвольным распределением заряда или тока с плотностью заряда ρ и плотностью тока J :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int \ left [{\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | ^ {3}}} \ rho (\ mathbf {r} ', t_ {r}) + {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | ^ {2}}} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ rho (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {\ partial t}} - {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {\ partial t}} \ right] \ mathrm {d} ^ { 3} \ mathbf {r} ',}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ left [{\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | ^ {3}}} \ times \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t_ {r}) + {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | ^ {2}}} \ times {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {\ partial t}} \ right] \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}', }$

где r ′ - точка в распределении заряда , r - точка в пространстве, и

${\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|} {c}}}$

это запаздывающее время . Есть аналогичные выражения для D и H .

Эти уравнения являются зависящими от времени обобщение закона Кулона и закона Био-Савара в электродинамике , которые были первоначально справедливо только для электростатических и магнитостатических полей и установившихся токов.

Происхождение от запаздывающих потенциалов

Уравнения Ефименко можно найти из запаздывающих потенциалов φ и A :

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ dfrac {\ rho (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} ', \\ & \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}', \ end {выровнено}}}$

которые являются решениями уравнений Максвелла в потенциальной формулировке , затем подставив в определения самих электромагнитных потенциалов :

${\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}$

и используя соотношение

${\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}$

Заменяет потенциалы ф и полями Е и В .

Формула Хевисайда – Фейнмана

Объяснение переменных, относящихся к формуле Хевисайда – Фейнмана.

Формула Хевисайда – Фейнмана , также известная как формула Ефименко – Фейнмана, является частным случаем уравнений Ефименко, полученных, когда источником является одиночный точечный электрический заряд. В основном это известно из лекций Фейнмана по физике , где оно использовалось для введения и описания происхождения электромагнитного излучения . Формула обеспечивает естественное обобщение закона Кулона для случаев, когда заряд источника движется:

${\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {-q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left [{\ frac {\ mathbf {e} _ {r '}} {r' ^ {2}}} + {\ frac {r '} {c}} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ mathbf {e} _ {r'}} {r '^ { 2}}} \ right) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {r '} \Правильно]}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = - \ mathbf {e} _ {r '} \ times {\ frac {\ mathbf {E}} {c}}}$

Здесь и - электрическое и магнитное поля соответственно, - электрический заряд, - диэлектрическая проницаемость вакуума и - скорость света . Вектор - это единичный вектор, указывающий от наблюдателя к заряду, и это расстояние между наблюдателем и зарядом. Поскольку электромагнитное поле распространяется со скоростью света, обе эти величины оцениваются с запаздыванием . ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r '}}$${\ displaystyle r '}$ ${\ displaystyle t-r '/ c}$

Иллюстрация положения запаздывающего заряда для частицы, движущейся в одном пространственном измерении: наблюдатель видит частицу там, где она была, а не там, где она находится.

Первый член в формуле для представляет закон Кулона для статического электрического поля. Второй член - это производная по времени от первого кулоновского члена, умноженная на которую представляет собой время распространения электрического поля. Эвристически это можно рассматривать как «попытку» природы предсказать, каким будет настоящее поле, путем линейной экстраполяции на настоящее время. Последний член, пропорциональный второй производной единичного вектора направления , чувствителен к движению заряда перпендикулярно лучу зрения. Можно показать, что электрическое поле, создаваемое этим членом, пропорционально , где - поперечное ускорение за запаздывающее время. Поскольку он уменьшается только с расстоянием по сравнению со стандартным кулоновским поведением, этот член отвечает за дальнодействующее электромагнитное излучение, вызванное ускоряющим зарядом. ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle {\ frac {r '} {c}}}$ ${\ displaystyle e_ {r '}}$${\ displaystyle a_ {t} / r '}$${\ displaystyle a_ {t}}$${\ displaystyle 1 / r '}$${\ displaystyle 1 / r '^ {2}}$

Формула Хевисайда – Фейнмана может быть получена из уравнений Максвелла, используя технику запаздывающего потенциала . Это позволяет, например, вывести формулу Лармора для общей мощности излучения ускоряющего заряда.

Обсуждение

Существует широко распространенная интерпретация уравнений Максвелла, указывающая на то, что пространственно изменяющиеся электрические и магнитные поля могут заставлять друг друга изменяться во времени, тем самым вызывая распространяющуюся электромагнитную волну ( электромагнетизм ). Однако уравнения Ефименко показывают альтернативную точку зрения. Ефименко говорит: «... ни уравнения Максвелла, ни их решения не указывают на существование причинно-следственных связей между электрическим и магнитным полями. Следовательно, мы должны заключить, что электромагнитное поле - это двойственная сущность, всегда имеющая электрическую и магнитную составляющие, одновременно созданные их общие источники: переменные во времени электрические заряды и токи ».

Как указывает Макдональд , уравнения Ефименко, кажется, впервые появляются в 1962 году во втором издании классического учебника Панофски и Филлипса . Дэвид Гриффитс , однако, поясняет, что «самое раннее явное утверждение, о котором я знаю, было сделано Олегом Ефименко в 1966 году», и характеризует уравнения в учебнике Панофски и Филлипса только как «тесно связанные выражения». Согласно Эндрю Зангвиллу , уравнения, аналогичные уравнениям Ефименко, но в частотной области Фурье, были впервые выведены Джорджем Адольфусом Шоттом в его трактате «Электромагнитное излучение» (University Press, Cambridge, 1912).

Существенные особенности этих уравнений легко заметить, а именно: правые части включают "запаздывающее" время, которое отражает "причинность" выражений. Другими словами, левая часть каждого уравнения фактически "вызвана" правой частью, в отличие от обычных дифференциальных выражений для уравнений Максвелла, где обе стороны имеют место одновременно. В типичных выражениях уравнений Максвелла нет сомнений в том, что обе стороны равны друг другу, но, как отмечает Ефименко, «... поскольку каждое из этих уравнений связывает величины, одновременные во времени, ни одно из этих уравнений не может представлять причинную связь. "

Смотрите также

• Потенциал Льенара – Вихерта

Примечания