Многоугольник Петри - Petrie polygon
В геометрии , А многоугольник Петри для регулярного многогранника из п измерений является пространственным многоугольником , в котором каждый ( п - 1) последовательные стороны (но не п ) принадлежит к одной из граней . Petrie многоугольник из правильного многоугольника является сам правильный многоугольник; что из правильного многогранника является пространственным многоугольником таким образом, что каждая два последовательных стороны (но не три) принадлежит к одной из граней . Полигоны Петри названы в честь математика Джона Флиндерса Петри .
Для каждого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость, такая что один многоугольник Петри становится правильным многоугольником, а остальная часть проекции находится внутри него. Плоскость , в котором идет речь Косетер плоскость из группы симметрии многоугольника, и число сторон, ч, это число Кокстера из группы Кокстера . Эти многоугольники и спроецированные графы полезны для визуализации симметричной структуры многомерных регулярных многогранников.
Многоугольники Петри могут быть определены более широко для любого встроенного графа . Они образуют грани другого вложения того же графа, обычно на другой поверхности, называемой двойственной по Петри .
История
Джон Флиндерс Петри (1907–1972) был единственным сыном египтолога Флиндерса Петри . Он родился в 1907 году и, будучи школьником, показал замечательные математические способности. В периоды интенсивной концентрации он мог отвечать на вопросы о сложных четырехмерных объектах, визуализируя их.
Он первым отметил важность правильных косых многоугольников, которые появляются на поверхности правильных многогранников и высших многогранников. Кокстер объяснил в 1937 году, как он и Петри начали расширять классическую тему правильных многогранников:
- Однажды в 1926 году Дж. Ф. Петри с большим волнением рассказал мне, что он открыл два новых правильных многогранника; бесконечно, но без ложных вершин. Когда мое недоверие начало утихать, он описал мне их: один состоит из квадратов, по шесть в каждой вершине, и один, состоящий из шестиугольников, по четыре в каждой вершине.
В 1938 году Петри сотрудничал с Кокстером, Патриком дю Валь и Х. Т. Флэтером для создания «Пятьдесят девять икосаэдров» для публикации. Понимая геометрические возможности наклонных многоугольников, используемых Петри, Коксетер назвал их в честь своего друга, когда он писал регулярные многогранники .
Позднее идея многоугольников Петри была распространена на полуправильные многогранники .
Многоугольники Петри правильных многогранников
В регулярных двойственные , { р , д } и { д , р }, которые содержатся в одной и той же проектируемой Петри многоугольника. На изображениях двойных соединений справа можно увидеть, что их многоугольники Петри имеют прямоугольные пересечения в точках, где края соприкасаются с общей средней сферой .
| Квадрат | Шестиугольник | Декагон | ||
|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
| тетраэдр {3,3} | куб {4,3} | октаэдр {3,4} | додекаэдр {5,3} | икосаэдр {3,5} |
  
|
|
|
|
|
| центрированный по краю | вершинно-центрированный | сосредоточенный на лице | сосредоточенный на лице | вершинно-центрированный |
| В : (4,0) | В : (6,2) | В : (6,0) | В : (10,10,0) | В : (10,2) |
|
Многоугольники Петри являются внешней стороной этих ортогональных проекций. |
||||
Многоугольники Петри многогранников Кеплера – Пуансо представляют собой шестиугольники {6} и декаграммы {10/3}.
| Шестиугольник | Декаграмма | ||
|---|---|---|---|
|
|
|
|
| gD {5,5 / 2} | sD {5,5 / 2} | gI {3,5 / 2} | gsD {5 / 2,3} |
|
|
|
|
Бесконечные правильные косые многоугольники ( апейрогон ) также могут быть определены как многоугольники Петри правильных мозаик, имеющие углы в 90, 120 и 60 градусов их квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно.
Бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри регулярных гиперболических мозаик, таких как треугольные мозаики порядка 7 , {3,7}:
Многоугольник Петри правильной полихоры (4-многогранник)
Также можно определить многоугольник Петри для правильной полихоры { p , q , r }.
 {3,3,3} 5-элементный 5-сторонний V : (5,0) |
 {3,3,4} 16 ячеек 8 сторон V : (8,0) |
 {4,3,3} тессеракт 8 сторон V : (8,8,0) |
 {3,4,3} 24-элементный 12 сторон V : (12,6,6,0) |
 {3,3,5} 600 ячеек, 30 сторон V: (30,30,30,30,0) |
 {5,3,3} 120-элементный 30 сторон V : ((30,60) 3 , 60 3 , 30,60,0) |
Многоугольные проекции Петри правильных и однородных многогранников
Проекции многоугольника Петри полезны для визуализации многогранников размерности четыре и выше.
Гиперкубы
Гиперкуб размерности п имеет Петри полигон размера 2 л , что также число его граней .
Таким образом, каждый из ( n - 1) -кубов, образующих его поверхность, имеет n - 1 сторону многоугольника Петри среди своих ребер.
| Гиперкубы | ||
|---|---|---|
|
Дигон Петри из 1 куба выглядит идентично 1-кубу. Но у 1-куба одно ребро, а у двуугольника - два.
(Для n = 1 первая и вторая половина - два различных, но совпадающих ребра двуугольника.)
|
||
| Квадрат | Куб | Тессеракт |
|
|
|
|
|
|
Неприводимые семейства многогранников
В этой таблице представлены многоугольные проекции Петри трех регулярных семейств ( симплекс , гиперкуб , ортоплекс ) и исключительной группы Ли E n, которые порождают полуправильные и равномерные многогранники для размерностей от 4 до 8.
| Таблица семейств неприводимых многогранников | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Семья n |
n- симплекс | n- гиперкуб | n- ортоплекс | n- demicube | 1 к2 | 2 к1 | к 21 | пятиугольный многогранник | ||||||||
| Группа | А п | B n |
|
|
H n | |||||||||||
| 2 |
|
|
  p-угольник (пример: p = 7 ) |
  Шестиугольник |
 Пентагон |
|||||||||||
| 3 |
 Тетраэдр |
 Куб |
 Октаэдр |
    Тетраэдр |
 Додекаэдр |
 Икосаэдр |
||||||||||
| 4 |
5-элементный |
|
 16 ячеек |
 
|
24-элементный |
120 ячеек |
600 ячеек |
|||||||||
| 5 |
 5-симплекс |
 5-куб |
 5-ортоплекс |
 5-полукуб |
||||||||||||
| 6 |
 6-симплекс |
 6-куб |
 6-ортоплекс |
 6-полукуб |
  1 22 |
 2 21 |
||||||||||
| 7 |
 7-симплекс |
 7-куб |
 7-ортоплекс |
 7-полукруглый |
 1 32 |
 2 31 |
 3 21 |
|||||||||
| 8 |
 8-симплекс |
 8-куб |
 8-ортоплекс |
 8-полукруглый |
 1 42 |
 2 41 |
 4 21 |
|||||||||
| 9 |
 9-симплекс |
 9-куб |
 9-ортоплекс |
 9-полукруглый |
||||||||||||
| 10 |
 10-симплекс |
 10-куб |
 10-ортоплекс |
 10-полукуб |
||||||||||||
Примечания
использованная литература
- Кокстер , HSM (1947, 63, 73) Правильные многогранники , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, 1973. (раздел 2.6 Полигоны Петри, стр. 24–25 и глава 12, стр. 213–235, Обобщенный многоугольник Петри )
- Кокстер, HSM (1974) Правильные комплексные многогранники . Раздел 4.3 Флаги и ортосхемы, Раздел 11.3 Многоугольники Петри
- Болл, WWR и HSM Coxeter (1987) Математические развлечения и эссе , 13-е изд. Нью-Йорк: Дувр. (стр.135)
- Кокстер, HSM (1999) Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications LCCN 99-35678
- Питер МакМаллен , Эгон Шульте (2002) Абстрактные правильные многогранники , Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-81496-0
- Роберт Стейнберг, О ЧИСЛЕ СТОРОН ПЕТРИ-ПОЛИГОНА
Смотрите также
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольник Петри» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Графы гиперкубов» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Графы кросс-многогранников" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «24-элементный граф» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "120-элементный граф" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Граф с 600 ячейками» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "График Госсета 3_21" . MathWorld .