Исчисление Джонса - Jones calculus

В оптике , поляризованный свет может быть описан с помощью исчисления Джонса , обнаруженного RC Джонс в 1941 году поляризованного света представлен вектором Джонса , и линейные оптические элементы представлены Jones матриц . Когда свет проходит через оптический элемент, результирующая поляризация выходящего света определяется путем произведения матрицы Джонса оптического элемента и вектора Джонса падающего света. Обратите внимание, что исчисление Джонса применимо только к уже полностью поляризованному свету. Свет, который является случайно поляризованным, частично поляризованным или некогерентным, должен обрабатываться с помощью исчисления Мюллера .

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в свободном пространстве или другой однородной изотропной не затухающей среде, где свет можно правильно описать как поперечные волны . Предположим, что монохроматическая плоская световая волна распространяется в положительном z- направлении с угловой частотой ω и волновым вектором k = (0,0, k ), где волновое число k = ω / c . Тогда электрическое и магнитное поля E и H ортогональны k в каждой точке; они оба лежат в плоскости, «поперечной» направлению движения. Кроме того, H определяется из E поворотом на 90 градусов и фиксированным множителем, зависящим от волнового сопротивления среды. Таким образом, поляризация света может быть определена путем изучения E . Комплексная амплитуда E записывается

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {x} (t) \\ E_ {y} (t) \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i ( kz- \ omega t + \ phi _ {x})} \\ E_ {0y} e ^ {i (kz- \ omega t + \ phi _ {y})} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i \ phi _ {x}} \\ E_ {0y} e ^ {i \ phi _ {y}} \\ 0 \ end {pmatrix}} e ^ {i (kz - \ omega t)}.}$

Обратите внимание, что физическое поле E является действительной частью этого вектора; комплексный множитель предоставляет информацию о фазе. Вот это мнимая единица с . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

Вектор Джонса

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i \ phi _ {x}} \\ E_ {0y} e ^ {i \ phi _ {y}} \ end {pmatrix}}.}$

Таким образом, вектор Джонса представляет амплитуду и фазу электрического поля в направлениях x и y .

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонентов векторов Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно для упрощения в начальной точке вычислений его нормализуют до 1. Также принято ограничивать первый компонент векторов Джонса действительным числом . Это отбрасывает общую информацию о фазе, которая может потребоваться для расчета взаимных помех с другими лучами.

Обратите внимание, что все векторы и матрицы Джонса в этой статье используют соглашение, согласно которому задается фаза световой волны , соглашение, используемое Хехтом. Согласно этому соглашению, увеличение (или ) указывает на замедление (задержку) по фазе, а уменьшение указывает на продвижение по фазе. Например, компонент векторов Джонса в ( ) указывает замедление на (или 90 градусов) по сравнению с 1 ( ). Круговая поляризация, описанная в соответствии с соглашением Джонса, называется: «С точки зрения приемника». Коллетт использует противоположное определение для фазы ( ). Круговая поляризация, описанная в соответствии с соглашением Коллетта, называется: «С точки зрения источника». Читателю следует с осторожностью относиться к выбору условных обозначений при обращении к ссылкам на исчисление Джонса. ${\ displaystyle \ phi = kz- \ omega t}$${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle = е ^ {я \ пи / 2}}$${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle = e ^ {0}}$${\ displaystyle \ phi = \ omega t-kz}$

В следующей таблице приведены 6 общих примеров нормализованных векторов Джонса.

Поляризация	Вектор Джонса	Типичная кет- запись
Линейный поляризовано в й направлении обычно называется «горизонтальный»	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | H \ rangle}$
Линейная поляризация в направлении y Обычно называется «вертикальной»	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | V \ rangle}$
Линейная поляризация под углом 45 ° от оси x Обычно называется «диагональной» L + 45	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | D \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle + | V \ rangle {\ big)}}$
Линейная поляризация под углом -45 ° от оси x Обычно называется «антидиагональной» L-45	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | A \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle - | V \ rangle {\ big)}}$
Правая круговая поляризация Обычно называется "RCP" или "RHCP"	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | R \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle -i | V \ rangle {\ big)}}$
Левая круговая поляризация Обычно называется "LCP" или "LHCP"	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ + i \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | L \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle + i | V \ rangle {\ big)}}$

Общий вектор, указывающий на любое место на поверхности, записывается как кет . При использовании сферы Пуанкаре (также известной как сфера Блоха ) базисные кеты ( и ) должны быть назначены противостоящим ( антиподальным ) парам кетов, перечисленных выше. Например, можно присвоить = и = . Эти назначения произвольны. Противостоящие пары ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | H \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | V \ rangle}$

• ${\ displaystyle | H \ rangle}$ а также ${\ displaystyle | V \ rangle}$
• ${\ displaystyle | D \ rangle}$ а также ${\ displaystyle | A \ rangle}$
• ${\ displaystyle | R \ rangle}$ а также ${\ displaystyle | L \ rangle}$

Поляризация любой точки, не равной или не находящейся на проходящем круге, называется эллиптической поляризацией . ${\ displaystyle | R \ rangle}$${\ displaystyle | L \ rangle}$${\ displaystyle | H \ rangle, | D \ rangle, | V \ rangle, | A \ rangle}$

Матрицы Джонса

Матрицы Джонса - это операторы, которые действуют на векторы Джонса, определенные выше. Эти матрицы реализуются различными оптическими элементами, такими как линзы, светоделители, зеркала и т. Д. Каждая матрица представляет собой проекцию на одномерное комплексное подпространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный поляризатор с горизонтальной осью пропускания	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания ± 45 ° по горизонтали	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & \ pm 1 \\\ pm 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью передачи угла от горизонтали${\ displaystyle \ theta}$	${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} (\ theta) & \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ sin (\ theta) & \ sin ^ {2} (\ theta) \ end {pmatrix}}}$
Правый круговой поляризатор	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ - i & 1 \ end {pmatrix}}}$
Левый круговой поляризатор	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \ end {pmatrix}}}$

Фазовые замедлители

Фазовые замедлители вносят фазовый сдвиг между вертикальной и горизонтальной составляющими поля и, таким образом, изменяют поляризацию луча. Фазовые замедлители обычно изготавливаются из двулучепреломляющих одноосных кристаллов, таких как кальцит , MgF ₂ или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну ось кристалла, которая отличается от двух других осей кристалла (т.е. n _i ≠ n _j = n _k ). Эта уникальная ось называется необычной осью или оптической осью . Оптическая ось может быть быстрой или медленной осью кристалла в зависимости от кристалла. Свет распространяется с более высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эта ось называется быстрой осью. Точно так же ось с наибольшим показателем преломления называется медленной осью, поскольку фазовая скорость света вдоль этой оси наименьшая. «Отрицательные» одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO ₃ , сапфир Al ₂ O ₃ ) имеют n _e < n _o, поэтому для этих кристаллов необычная ось (оптическая ось) является быстрой осью, тогда как для «положительных» одноосных кристаллов (например, , кварц SiO ₂ , фторид магния MgF ₂ , рутил TiO ₂ ), n _e > n _o и, таким образом, необычная ось (оптическая ось) является медленной осью.

Любой фазовый замедлитель с быстрой осью, равной оси x или y, имеет ноль недиагональных членов и, таким образом, может быть удобно выражен как

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ phi _ {x}} & 0 \\ 0 & e ^ {i \ phi _ {y}} \ end {pmatrix}}}$

где и фазовые сдвиги электрических полей и направлений соответственно. В соглашении о фазах определите относительную фазу между двумя волнами как . Тогда положительный результат (то есть > ) означает, что он не достигает того же значения, что и в более позднее время, то есть ведет . Аналогично, если , то ведет . ${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ phi = kz- \ omega t}$${\ displaystyle \ epsilon = \ phi _ {y} - \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle \ epsilon <0}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {x}}$

Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальна, то фазовая скорость в горизонтальном направлении опережает вертикальное направление, т. Е. Опережает . Таким образом, что для четвертьволновой пластины уступает . ${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {x} <\ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {y} = \ phi _ {x} + \ pi / 2}$

В противоположном соглашении определите относительную фазу как . Тогда означает, что это не достигает того же значения, что и в более позднее время, то есть ведет . ${\ displaystyle \ phi = \ omega t-kz}$${\ displaystyle \ epsilon = \ phi _ {x} - \ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$

Фазовые замедлители	Соответствующая матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью вертикальной	${\ displaystyle e ^ {\ frac {i \ pi} {4}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой горизонтальной осью	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ pi} {4}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \ end {pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом к горизонтальной оси ${\ displaystyle \ theta}$	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ pi} {4}}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + i \ sin ^ {2} \ theta & (1-i) \ sin \ theta \ cos \ theta \\ (1-i) \ sin \ theta \ cos \ theta & \ sin ^ {2} \ theta + i \ cos ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}$
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом к горизонтальной оси ${\ displaystyle \ theta}$	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ pi} {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta & 2 \ cos \ theta \ sin \ theta \\ 2 \ cos \ theta \ sin \ theta & \ sin ^ {2} \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}$
Произвольный двулучепреломляющий материал (как фазовый замедлитель)	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ eta} {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + e ^ {i \ eta} \ sin ^ {2} \ theta & \ left (1-e ^ {i \ eta} \ right) e ^ {- i \ phi} \ cos \ theta \ sin \ theta \\\ left (1-e ^ {i \ eta} \ right) e ^ {я \ phi} \ cos \ theta \ sin \ theta & \ sin ^ {2} \ theta + e ^ {i \ eta} \ cos ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}$

Специальные выражения для фазовых замедлителей можно получить, взяв подходящие значения параметров в общем выражении для двулучепреломляющего материала. В общем выражении:

• Относительное запаздывание фазы, индуцированное между быстрой осью и медленной осью, определяется выражением ${\ displaystyle \ eta = \ phi _ {y} - \ phi _ {x}}$
• ${\ displaystyle \ theta}$ - ориентация быстрой оси относительно оси x.
• ${\ displaystyle \ phi}$ это округлость.

Обратите внимание, что для линейных замедлителей = 0 и для круговых замедлителей = ± / 2, = / 4. Обычно для эллиптических замедлителей принимает значения от - / 2 до / 2. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Элементы с осевым вращением

Предположим, что оптическая ось оптического элемента перпендикулярна вектору поверхности для плоскости падения и вращается вокруг этого вектора поверхности на угол θ / 2 (т. Е. Главная плоскость, через которую проходит оптическая ось, составляет угол θ / 2 с относительно плоскости поляризации электрического поля падающей ТЕ-волны). Напомним, что полуволновая пластинка поворачивает поляризацию на угол, в два раза превышающий угол между падающей поляризацией и оптической осью (главной плоскостью). Следовательно, матрица Джонса для повернутого состояния поляризации M ( θ ) равна

${\ Displaystyle М (\ тета) = р (- \ тета) \, М \, р (\ тета),}$

куда ${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}$

Это согласуется с выражением для полуволновой пластинки в таблице выше. Эти повороты идентичны преобразованию унитарного светоделителя в оптической физике:

${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ begin {pmatrix} r & t '\\ t & r' \ end {pmatrix}}}$

где коэффициенты со штрихом и без штрихов представляют лучи, падающие с противоположных сторон светоделителя. Отраженная и прошедшая компоненты приобретают фазу θ _r и θ _t соответственно. Требования к действительному представлению элемента:

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {t}} - \ theta _ {\ text {r}} + \ theta _ {\ text {t '}} - \ theta _ {\ text {r'}} = \ pm \ pi}$

а также ${\ displaystyle r ^ {*} t '+ t ^ {*} r' = 0.}$

Оба эти представления являются унитарными матрицами, отвечающими этим требованиям; и как таковые, оба действительны.

Произвольно повернутые элементы

Это будет включать трехмерную матрицу вращения . См. Проделанную работу Рассела А. Чипмана и Гарама Юна.

Смотрите также

• Поляризация
• Параметры рассеяния
• Параметры Стокса
• Исчисление Мюллера
• Поляризация фотона

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

• Коллетт, Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN  0-8194-5868-6 .
• Д. Гольдштейн и Э. Коллетт, Поляризованный свет , 2-е изд., CRC Press (2003). ISBN  0-8247-4053-X .
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN  0-201-11609-X .
• Франк Л. Педротти, SJ Лено С. Педротти, Введение в оптику , 2-е изд., Prentice Hall (1993). ISBN  0-13-501545-6
• А. Джеральд и Дж. М. Берч, Введение в матричные методы в оптике , 1-е изд., John Wiley & Sons (1975). ISBN  0-471-29685-6
• Джонс, Р. Кларк (1941). "Новое исчисление для обработки оптических систем, I. Описание и обсуждение исчисления". Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 488–493. DOI : 10.1364 / JOSA.31.000488 .
• Гурвиц, Генри; Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для обработки оптических систем, II. Доказательство трех общих теорем эквивалентности». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 493–499. DOI : 10.1364 / JOSA.31.000493 .
• Джонс, Р. Кларк (1941). "Новый расчет для обработки оптических систем, III Теория Зонке оптической активности". Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 500–503. DOI : 10.1364 / JOSA.31.000500 .
• Джонс, Р. Кларк (1942). «Новый камень для лечения оптических систем, IV». Журнал Оптического общества Америки . 32 (8): 486–493. DOI : 10.1364 / JOSA.32.000486 .
• Фымат А.Л. (1971). "Матричное представление оптических инструментов Джонса. I: светоделители". Прикладная оптика . 10 (11): 2499–2505. Bibcode : 1971ApOpt..10.2499F . DOI : 10,1364 / AO.10.002499 . PMID  20111363 .
• Фымат А.Л. (1971). "Матричное представление оптических инструментов Джонса. 2: Интерферометры Фурье (спектрометры и спектрополяриметры)". Прикладная оптика . 10 (12): 2711–2716. Bibcode : 1971ApOpt..10.2711F . DOI : 10,1364 / AO.10.002711 . PMID  20111418 .
• Фымат А.Л. (1972). "Эффекты поляризации в Фурье-спектроскопии. I: Матричное представление когерентности". Прикладная оптика . 11 (1): 160–173. Bibcode : 1972ApOpt..11..160F . DOI : 10,1364 / AO.11.000160 . PMID  20111472 .
• Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эйсебио (1987). «Получение параметров поляризации и запаздывания недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Оптик . 76 : 67–71.
• Бросо, Кристиан; Гивенс, Кларк Р .; Костинский, Александр Б. (1993). «Обобщенное условие следа на матрице поляризации Мюллера-Джонса». Журнал Оптического общества Америки A . 10 (10): 2248–2251. Bibcode : 1993JOSAA..10.2248B . DOI : 10.1364 / JOSAA.10.002248 .
• Макгуайр, Джеймс П .; Чипман, Рассел А. (1994). «Поляризационные аберрации. 1. Вращательно-симметричные оптические системы» . Прикладная оптика . 33 (22): 5080–5100. Bibcode : 1994ApOpt..33.5080M . DOI : 10,1364 / AO.33.005080 . PMID  20935891 . S2CID  3805982 .
• Пистони, Натале С. (1995). «Упрощенный подход к исчислению Джонса в восстановлении оптических схем». Прикладная оптика . 34 (34): 7870–7876. Bibcode : 1995ApOpt..34.7870P . DOI : 10,1364 / AO.34.007870 . PMID  21068881 .
• Морено, Игнасио; Изуэль, Мария Дж .; Кампос, Хуан; Варгас, Астицио (2004). «Матричная обработка Джонса для поляризационной фурье-оптики». Журнал современной оптики . 51 (14): 2031–2038. Bibcode : 2000JMOp ... 51.2031M . DOI : 10.1080 / 09500340408232511 . hdl : 10533/175322 . S2CID  120169144 .
• Морено, Иван (2004). «Матрица Джонса для призм поворота изображения» . Прикладная оптика . 43 (17): 3373–3381. Bibcode : 2004ApOpt..43.3373M . DOI : 10,1364 / AO.43.003373 . PMID  15219016 . S2CID  24268298 .
• Уильям Шурклифф (1966) « Поляризованный свет: производство и использование» , глава 8 «Исчисление Мюллера и исчисление Джонса», стр. 109, издательство Harvard University Press .

внешние ссылки

• Исчисление Джонса, написанное Э. Коллеттом на Optipedia