Жюль Ришар - Jules Richard

Жюль Ришар (12 августа 1862 - 14 октября 1956) был французским математиком .

Жизнь и творчество

Ричард родился в городе Блет , департамент Шер .

Он преподавал в лицеях Тура , Дижона и Шатору . Он получил докторскую степень в возрасте 39 лет на факультете наук в Париже . Его диссертация на 126 страницах касается волновой поверхности Френеля. Ричард работал в основном над основами математики и геометрии, связанными с работами Гильберта , фон Штаудта и Мере .

В более философском трактате о природе аксиом геометрии Ричард обсуждает и отвергает следующие основные принципы:

  1. Геометрия основана на произвольно выбранных аксиомах - существует бесконечно много одинаково истинных геометрий.
  2. Опыт предоставляет аксиомы геометрии, основа - экспериментальная, развитие - дедуктивная.
  3. Аксиомы геометрии - это определения (в отличие от (1)).
  4. Аксиомы не являются ни экспериментальными, ни произвольными, они навязывают себя нам, поскольку без них опыт невозможен.

Последний подход, по сути, был предложен Кантом . Ричард пришел к выводу, что понятие идентичности двух объектов и неизменности объекта слишком расплывчато и требует уточнения. Это должно быть сделано по аксиомам.

Аксиомы - это предложения, задача которых - уточнить понятие идентичности двух объектов, ранее существовавших в нашем сознании.

Далее, согласно Ричарду, цель науки - объяснить материальную вселенную. И хотя неевклидова геометрия не нашла никаких приложений ( Альберт Эйнштейн закончил свою общую теорию относительности только в 1915 году), Ричард уже ясновидящим утверждал:

Видно, что, допустив понятие угла, можно свободно выбрать понятие прямой линии таким образом, чтобы была истинна та или иная из трех геометрий.

Ричард переписывался с Джузеппе Пеано и Анри Пуанкаре . Он стал известен более чем небольшой группе специалистов, сформулировав свой парадокс, который Пуанкаре широко использовал для нападок на теорию множеств, после чего сторонникам теории множеств пришлось опровергнуть эти атаки.

Он умер в 1956 году в Шатору , департамент Эндр , в возрасте 94 лет.

Парадокс ричарда

Впервые парадокс был заявлен в 1905 году в письме Луи Оливье, директору Revue générale des Sciences pures et appliquées . Он был опубликован в 1905 году в статье Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles . Principia Mathematica по Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел процитировать его вместе с шестью другими парадоксами по проблеме самоссылки. В одном из важнейших сборников математической логики, составленном Жаном ван Хейенуртом, статья Ричарда переведена на английский язык. Парадокс можно интерпретировать как применение диагонального аргумента Кантора. Это вдохновило Курта Гёделя и Алана Тьюринга на их знаменитые работы. Курт Гёдель считал свою теорему о неполноте аналогом парадокса Ричарда, который в первоначальной версии звучит следующим образом:

Пусть E будет набором действительных чисел, который может быть определен конечным числом слов. Этот набор счетный. Пусть p будет n- м десятичным знаком n- го числа множества E ; мы формируем число N, имеющее ноль для целой части и p + 1 для n- го десятичного знака, если p не равно ни 8, ни 9, и единицу в противном случае. Это число N не принадлежит множеству E, потому что оно отличается от любого номера этого множества, а именно от n- го числа на n- ю цифру. Но N было определено конечным числом слов. Поэтому она должна принадлежать множеству E . Это противоречие.

Ричард никогда не представлял свой парадокс в другой форме, но между тем существует несколько различных версий, некоторые из которых очень слабо связаны с оригиналом. Их можно указать здесь для полноты картины.

Другие версии парадокса Ричарда

(A) Версия, данная Уайтхедом и Расселом в «Принципах математики», похожа на исходную версию Ричарда, но, к сожалению, не так точна. Здесь только цифра 9 заменена цифрой 0, так что такие идентификаторы, как 1.000 ... = 0.999 ... могут испортить результат.

(B) Парадокс Берри , впервые упомянутый в Principia Mathematica как пятый из семи парадоксов, приписывается г-ну Г.Г. Берри из Бодлианской библиотеки. Он использует наименьшее целое число, которое не может быть названо менее чем в девятнадцати слогах ; Фактически, на английском языке это означает 111777. Но «наименьшее целое число, не имеющее наименования менее чем из девятнадцати слогов», само по себе является именем, состоящим из восемнадцати слогов; следовательно, наименьшее целое число, не имеющее наименования менее чем в девятнадцати слогах, может быть названо в восемнадцати слогах, что является противоречием.

(C) Парадокс Берри с буквами вместо слогов часто связан с набором всех натуральных чисел, которые могут быть определены менее чем 100 (или любым другим большим числом) букв. Поскольку натуральные числа представляют собой хорошо упорядоченный набор, должно быть наименьшее число, которое не может быть определено менее чем 100 буквами . Но это число как раз определялось 65 буквами, включая пробелы.

(D) Парадокс Кенига также был опубликован в 1905 году Юлиусом Кенигом . Все действительные числа, которые могут быть определены конечным числом слов, образуют подмножество действительных чисел. Если действительные числа могут быть хорошо упорядочены, тогда должно быть первое действительное число (в соответствии с этим порядком), которое не может быть определено конечным числом слов. Но первое действительное число, которое не может быть определено конечным числом слов, было просто определено конечным числом слов.

(E) Наименьшее натуральное число без интересных свойств приобретает интересное свойство именно из-за отсутствия каких-либо интересных свойств.

(F) Заимствование парадокса Греллинга и Нельсона . Число всех конечных определений счетно. В лексическом порядке мы получаем последовательность определений D 1 , D 2 , D 3 , ... Теперь может случиться так, что определение определяет свое собственное число. Это было бы так, если бы D 1 читалось как «наименьшее натуральное число». Может случиться так, что определение не описывает свой собственный номер. Это было бы так, если бы D 2 читалось как «наименьшее натуральное число». Также предложение «это определение не описывает его количество» является конечным определением. Пусть это будет D n . Является п описывается D п . Если да, то нет, а если нет, то да. Дилемма неразрешима. (Более подробно эта версия описана в другой статье, парадокс Ричарда .)

Реакции на парадокс Ричарда

Георг Кантор писал в письме Давиду Гильберту :

  • «Бесконечные определения» (т. Е. Определения, которые не могут быть даны за конечное время) - абсурд. Если бы утверждение Кенигса было «правильным», согласно которому все «конечно определимые» действительные числа образуют набор кардинальных чисел , это означало бы счетность всего континуума; но это явно неверно. Теперь вопрос в том, на какой ошибке основано предполагаемое доказательство его неправильной теоремы. Ошибка (которая также появляется в примечании мистера Ришара в последнем выпуске журнала Acta mathematic, которое мистер Пуанкаре подчеркивает в последнем выпуске Revue de Métaphysique et de Morale), на мой взгляд, заключается в следующем: Предполагается, что система { B } понятий B , которую необходимо использовать для определения отдельных чисел, не более чем счетно бесконечна. Это предположение «должно быть ошибочным», потому что в противном случае мы получили бы неверную теорему: «континуум чисел имеет мощность ».

Здесь Кантор ошибается. Сегодня мы знаем, что существует бесчисленное множество действительных чисел, не имеющих возможности конечного определения.

Эрнст Цермело комментирует аргумент Ричарда:

  • Понятие «конечно определимость» не абсолютное, а относительное, всегда связанное с выбранным «языком». Вывод, согласно которому все конечно определимые объекты счетны, верен только в том случае, если используется одна и та же система символов; вопрос о том, может ли отдельная личность подлежать конечному определению, является недействительным, потому что любой вещи может быть присвоено произвольное имя.

Цермело указывает на причину провала парадокса Ричарда. Однако его последнее утверждение невозможно удовлетворить. Действительное число с бесконечно большим числом цифр, которое не определяется каким-либо «правилом», имеет бесконечно большой объем информации. Такой номер можно было идентифицировать только по короткому имени, если существовал только один или несколько из них. Если их несчетное количество, а это так, идентификация невозможна.

Библиография

  • Эти презенты à la Faculté des Sciences de Paris Par M. Jules Richard, 1re thèse: Sur la surface des ondes de Fresnel ... , Chateauroux 1901 (126 страниц).
  • Sur la Философия математики , Готье-Виллар, Париж, 1903 г. (248 страниц).
  • Sur une manière d'exposer la géométrie projective , L'Enseignement mathématique 7 (1905) 366-374.
  • Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles , Revue générale des Sciences pures et appliquées 16 (1905) 541-543.
  • Принципы математики и проблема множеств (1905), английский перевод Жана ван Хейеноорта, «От Фреге до Гёделя - Справочник по математической логике», 1879-1931. Гарвардский унив. Press, 1967, с. 142-144.
  • Lettre à Monsieur le rédacteur de la Revue Générale des Sciences , Acta Math. 30 (1906) 295-296.
  • Sur les Principes de la mécanique , L'Enseignement mathématique 8 (1906) 137-143.
  • Considérations sur l'astronomie, sa place insuffisante dans les divers degrés de l'enseignement , L'Enseignement mathématique 8 (1906) 208-216.
  • Sur la logique et la notion de nombre entier , L'Enseignement mathématique 9 (1907) 39-44.
  • Sur un paradoxe de la théorie des ensembles et sur l'axiome Zermelo , L'Enseignement mathématique 9 (1907) 94-98.
  • Sur la nature des axiomes de la géométrie , L'Enseignement mathématique 10 (1908) 60-65.
  • Sur les translations , L'Enseignement mathématique 11 (1909) 98-101.
  • Contre la géométrie expérimentale Revue de l'Enseignement des Sciences (1910) 150.

Смотрите также

использованная литература

  • Дж. Итард: Ричард, Жюль Антуан , Словарь научной биографии, 11 , Charles Scribner's Sons, New York (1980) 413-414. [Кажется, это единственный первоисточник, используемый всеми другими биографами.]
  • С. Готвальд: Ричард, Жюль Антуан в: Lexikon bedeutender Mathematiker, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (M) 1990.
  • JJ O'Connor, EF Robertson: Архив истории математики MacTutor [1]

Литература о парадоксе Ричарда

  • Х. Мешковски, В. Нильсон: Георг Кантор - Брифе, Sphinhubyringer, Берлин 1991, стр. 446.
  • W. Mückenheim: Die Mathematik des Unendlichen , Shaker, Aachen, 2006.
  • А. Н. Уайтхед, Б. Рассел: Principia Mathematica I , Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, стр. 64. [2]
  • Э. Цермело: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung , Math. Анна. 65 (1908) стр. 107-128. [3]

внешние ссылки