Неравенство Канторовича - Kantorovich inequality

В математике , то неравенство Канторович является частным случаем неравенства Коши-Шварца , которое само по себе является обобщением неравенства треугольника .

Неравенство треугольника гласит, что длина двух сторон любого треугольника, сложенная вместе, будет равна или больше длины третьей стороны. Проще говоря, неравенство Канторовича переводит основную идею неравенства треугольника в термины и условные обозначения линейного программирования . (См. Векторное пространство , внутренний продукт и нормированное векторное пространство для других примеров того, как основные идеи, присущие неравенству треугольника - отрезок линии и расстояние - могут быть обобщены в более широком контексте.)

Более формально неравенство Канторовича можно выразить так:

Позволять

${\ displaystyle p_ {i} \ geq 0, \ quad 0 <a \ leq x_ {i} \ leq b {\ text {for}} i = 1, \ dots, n.}$

Позволять ${\ displaystyle A_ {n} = \ {1,2, \ dots, n \}.}$

затем

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} \ qquad \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} {\ frac {p_ {i}} {x_ {i}}} \ right) \\ & \ leq {\ frac {(a + b) ^ {2}} {4ab}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {(ab) ^ {2}} {4ab}} \ cdot \ min \ left \ {\ left (\ sum _ {i \ in X} p_ {i} - \ sum _ {j \ in Y} p_ {j} \ right) ^ {2} \,: \, {X \ cup Y = A_ {n} }, {X \ cap Y = \ varnothing} \ right \}. \ End {выравнивается}}}$

Неравенство Канторовича используется при анализе сходимости ; он ограничивает скорость сходимости наискорейшего спуска Коши .

Эквиваленты неравенства Канторовича возникли в целом ряде различных областей. Например, неравенство Коши-Шварца-Буняковского и неравенство Виландт эквивалентны неравенству Канторовича и все это, в свою очередь, частные случаи неравенства Гельдера .

Неравенство Канторович назван в честь советского экономиста, математика, и Нобелевской премии лауреат Леонид Канторович , пионер в области линейного программирования .

Существует также матричная версия неравенства Кантровича Маршалла и Олкина.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Канторовича» . MathWorld .
• Неравенство Коши-Шварца на PlanetMath.org .
• Статья в глоссарии математического программирования "неравенство Канторовича"
• МАРШАЛЛ А. В., ОЛКИН И. Матричные версии неравенств Коши и Канторовича. Aequationes Mathematicae 40 (1990), стр. 89–93.

внешние ссылки

• Биография Леонида Витальевича Канторовича