Кривая Каппа - Kappa curve

Кривая каппа имеет две вертикальные асимптоты

В геометрии , то кривая каппа или кривой Gutschoven в это двумерная алгебраическая кривая , напоминающие греческую букву К , (каппа) . Кривая каппа была впервые изучена Жераром ван Гутсховеном около 1662 года. В истории математики ее помнят как один из первых примеров применения Исааком Барроу элементарных методов исчисления для определения касательной к кривой. Впоследствии Исаак Ньютон и Иоганн Бернулли продолжили исследования этой кривой.

Используя декартову систему координат, это можно выразить как

${\ displaystyle x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = a ^ {2} y ^ {2}}$

или, используя параметрические уравнения ,

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \ sin t, \\ y & = a \ sin t \ tan t. \ end {align}}}$

В полярных координатах его уравнение еще проще:

${\ Displaystyle г = а \ загар \ тета.}$

Он имеет две вертикальные асимптоты при x = ± a , показанные пунктирными синими линиями на рисунке справа.

Кривизна кривой каппа :

${\ Displaystyle \ каппа (\ theta) = {\ frac {8 \ left (3- \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ sin ^ {4} \ theta} {a \ left (\ sin ^ {2 } (2 \ theta) +4 \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}}.}$

Тангенциальный угол:

${\ displaystyle \ phi (\ theta) = - \ arctan \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ sin (2 \ theta) \ right).}$

Касательные через бесконечно малые

Касательные линии каппа-кривой также могут быть определены геометрически с помощью дифференциалов и элементарных правил арифметики бесконечно малых . Предположим, что x и y - переменные, а a - константа. Из определения кривой каппа,

${\ displaystyle x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) -a ^ {2} y ^ {2} = 0}$

Теперь бесконечно малое изменение в нашем местоположении должно также изменить значение левой части, поэтому

${\ displaystyle d \ left (x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) -a ^ {2} y ^ {2} \ right) = 0}$

Распределяя дифференциал и применяя соответствующие правила ,

${\ Displaystyle {\ begin {align} d \ left (x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ right) -d \ left (a ^ {2} y ^ {2} \ right) & = 0 \\ [6px] (2x \, dx) \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} (2x \, dx + 2y \, dy) -a ^ {2} 2y \, dy & = 0 \\ [6px] \ left (4x ^ {3} + 2xy ^ {2} \ right) dx + \ left (2yx ^ {2} -2a ^ {2} y \ right) dy & = 0 \\ [6px] x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) dx + y \ left (x ^ {2} -a ^ {2} \ right) dy & = 0 \\ [6px] {\ frac {x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} {y \ left (a ^ {2} -x ^ {2} \ right)}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {align}}}$

Производная

Если мы используем современную концепцию функциональной связи y ( x ) и применяем неявное дифференцирование , наклон касательной линии к кривой каппа в точке ( x , y ) равен:

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} \ left (2x + 2y {\ frac {dy} {dx}} \ справа) & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} + 2x ^ {3} & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} - 2x ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 4x ^ {3} + 2xy ^ {2} & = \ left (2a ^ {2} y-2x ^ {2} y \ right) {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] {\ frac {2x ^ {3} + xy ^ {2}} {a ^ {2 } yx ^ {2} y}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {align}}}$

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Каппа» . MathWorld .
• Java-апплет для игры с кривой
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Кривая Каппа" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.