Многогранник Кеплера – Пуансо - Kepler–Poinsot polyhedron

В геометрии , многогранник Kepler-Пуанси любой из четырех регулярных звезд многогранников .

Они могут быть получены путем образования звезд на правильном выпуклом додекаэдре и икосаэдре и отличаются от них правильными пентаграммическими гранями или вершинными фигурами . Все они так или иначе могут рассматриваться как трехмерные аналоги пентаграммы.

Характеристики

Невыпуклость

Эти фигуры имеют пентаграммы (звездные пятиугольники) в виде граней или вершинных фигур. В малом и большом звездчатом додекаэдре Have невыпуклая регулярная пентаграммы лицо. Большой додекаэдр и большой икосаэдр Have выпуклые полигональные грани, но pentagrammic фигуры вершин .

Во всех случаях две грани могут пересекаться по линии, которая не является краем ни одной грани, так что часть каждой грани проходит через внутреннюю часть фигуры. Такие линии пересечения не являются частью многогранной структуры и иногда называются ложными ребрами. Аналогично, если три такие прямые пересекаются в точке, которая не является углом какой-либо грани, эти точки являются ложными вершинами. На изображениях ниже показаны сферы в истинных вершинах и синие стержни вдоль истинных краев.

Например, маленький звездчатый додекаэдр имеет 12 граней пентаграммы, а центральная пятиугольная часть скрыта внутри твердого тела. Видимые части каждого лица состоят из пяти равнобедренных треугольников, которые касаются пяти точек вокруг пятиугольника. Мы могли бы рассматривать эти треугольники как 60 отдельных граней, чтобы получить новый неправильный многогранник, который внешне выглядит идентично. Теперь каждое ребро будет разделено на три более коротких ребра (двух разных типов), а 20 ложных вершин станут истинными, так что всего у нас будет 32 вершины (опять же двух типов). Скрытые внутренние пятиугольники больше не являются частью многогранной поверхности и могут исчезнуть. Теперь справедлива формула Эйлера : 60 - 90 + 32 = 2. Однако этот многогранник больше не тот, который описывается символом Шлефли {5/2, 5}, и поэтому не может быть телом Кеплера – Пуансо, даже если он все еще выглядит как кто-то извне.

Эйлерова характеристика χ

Многогранник Кеплера – Пуансо покрывает свою описанную сферу более одного раза, причем центры граней действуют как точки поворота на фигурах с пентаграммическими гранями, а вершины - на остальных. Из-за этого они не обязательно топологически эквивалентны сфере, как Платоновы тела, и, в частности, соотношение Эйлера

не всегда держится. Шлефли считал, что все многогранники должны иметь χ = 2, и отверг малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр как правильные многогранники. Эта точка зрения никогда не была широко распространена.

Модифицированная форма формулы Эйлера, использующая плотность ( D ) вершинных фигур ( ) и граней ( ), была дана Артуром Кэли и верна как для выпуклых многогранников (где все поправочные коэффициенты равны 1), так и для многогранников Кеплера – Пуансо. :

Двойственность и многоугольники Петри

Многогранники Кеплера – Пуансо существуют в двойственных парах. Двойники имеют один и тот же многоугольник Петри , или, точнее, многоугольники Петри с одинаковой двумерной проекцией.

На следующих изображениях показаны два двойных соединения с одинаковым радиусом кромки . Они также показывают, что многоугольники Петри наклонены . Две взаимосвязи, описанные в статье ниже, также легко увидеть на изображениях: фиолетовые края одинаковые, а зеленые грани лежат в одной плоскости.

горизонтальный край спереди вертикальный край спереди Многоугольник Петри
малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5} большой додекаэдр {5, 5/2} шестигранник {6}
большой икосаэдр {3, 5/2} большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3} декаграмма {10/3}
Соединение sD и gD с шестиугольниками Петри

Резюме

Имя
(аббревиатура Конвея)
Картина Сферическая
черепица
Звездчатая
диаграмма
Шлефли
{p, q} и
Кокстер-Дынкин
Лица
{p}
Края Вершины
{q}

Фигура вершины

(конфиг.)
Многоугольник Петри χ Плотность Симметрия Двойной
большой додекаэдр
(gD)
Большой додекаэдр (серый с желтой гранью) .svg Большой додекаэдр tiling.png Вторая звездчатая форма додекаэдра facets.svg {5, 5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
12
{5}
30 12
{5/2}
Большой додекаэдр vertfig.png
(5 5 ) / 2
Скелет Gr12, Петри, палка, размер m, 3-кратный.png
{6}
−6 3 Я ч малый звездчатый додекаэдр
малый звездчатый додекаэдр
(sD)
Малый звездчатый додекаэдр (серый с желтой гранью) .svg Маленький звездчатый додекаэдр tiling.png Первая звездчатая форма додекаэдра facets.svg {5/2, 5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
30 12
{5}
Малый звездчатый додекаэдр vertfig.png
(5/2) 5
Скелет St12, Петри, палка, размер m, 3-кратный.png
{6}
−6 3 Я ч большой додекаэдр
большой икосаэдр
(gI)
Большой икосаэдр (серый с желтой гранью) .svg Большой икосаэдр tiling.png Большой звездчатый икосаэдр Facets.svg {3, 5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
20
{3}
30 12
{5/2}
Большой икосаэдр vertfig.svg
(3 5 ) / 2
Скелет Gr20, Петри, палка, размер m, 5-кратный.png
{10/3}
2 7 Я ч большой звездчатый додекаэдр
большой звездчатый додекаэдр
(sgD = gsD)
Большой звездчатый додекаэдр (серый с желтой гранью) .svg Большой звездчатый додекаэдр tiling.png Третья звездчатость додекаэдра facets.svg {5/2, 3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
30 20
{3}
Большой звездчатый додекаэдр vertfig.png
(5/2) 3
Скелет GrSt12, Петри, палка, размер m, 5-кратный.png
{10/3}
2 7 Я ч большой икосаэдр

Соотношения между правильными многогранниками

Система отношений Конвея между шестью многогранниками (упорядоченными по вертикали по плотности )

Операционная терминология Конвея

Джон Конвей определяет многогранники Kepler-Пуансите как greatenings и созвездия выпуклых твердых тел.
В своем именовании небольшой звездчатый додекаэдр является только звездообразный додекаэдр .

икосаэдр (I) додекаэдр (D)
большой додекаэдр (gD) звездчатый додекаэдр (sD)
большой икосаэдр (gI) большой звездчатый додекаэдр (sgD = gsD)

Звездчатость превращает пятиугольные грани в пентаграммы. (В этом смысле звездчатость - уникальная операция, и ее не следует путать с более общей звездчатостью, описанной ниже.)

Greatening поддерживает тип лиц, сдвигая и изменяя их размер в параллельных плоскостях.

Звездчатые и фацетные

Большой икосаэдр является одним из созвездий в икосаэдре . (См . Пятьдесят девять икосаэдров. )
Три других - это звездчатые формы додекаэдра .

Большой звездчатый додекаэдр является огранка додекаэдра.
Остальные три являются гранями икосаэдра.

Если рассматривать пересечения как новые ребра и вершины, полученные фигуры не будут правильными , но их все равно можно будет считать звёздчатыми .

(См. Также Список моделей многогранников Веннингера )

Общие вершины и ребра

Большой звездчатый додекаэдр имеет общие вершины с додекаэдром. Остальные три многогранника Кеплера – Пуансо имеют общие с икосаэдром. В скелеты из твердых веществ , разделяющих вершины, топологически эквивалентны.

Многогранник 20 big.png
икосаэдр
Многогранник большой 12.png
большой додекаэдр
Многогранник большой 20.png
большой икосаэдр
Многогранник большой 12 dual.png
малый звездчатый додекаэдр
Многогранник 12 big.png
додекаэдр
Многогранник great 20 dual.png
большой звездчатый додекаэдр
общие вершины и ребра общие вершины и ребра разделять вершины, скелеты образуют додекаэдрический граф
общие вершины, скелеты образуют граф икосаэдра

Звездчатые додекаэдры

Корпус и ядро

Малый и большой звездчатый додекаэдр можно рассматривать как регулярные и с большим додекаэдром со своими ребрами и гранями продлены до их пересечения.
Грани пятиугольника этих ядер - невидимые части граней пентаграммы звездных многогранников.
У маленького звездчатого додекаэдра корпус в несколько раз больше ядра, а у большого - в раз больше. (См. Золотое сечение )
( Средний радиус - это обычная мера для сравнения размеров разных многогранников.)

Аугментации

Традиционно два звездных многогранника определялись как увеличения (или кумуляции ), т.е. как додекаэдр и икосаэдр с пирамидами, добавленными к их граням.

Кеплер назвал маленькую звездочку увеличенным додекаэдром (затем прозвал его « ёжиком» ).

По его мнению, большая звездчатость связана с икосаэдром, а малая - с додекаэдром.

Эти наивные определения используются до сих пор. Например, MathWorld утверждает, что два звездных многогранника могут быть построены путем добавления пирамид к граням Платоновых тел.

Это просто помощь для визуализации формы этих тел, а не утверждение, что пересечения ребер (ложные вершины) являются вершинами. Если бы это было так, два звездных многогранника были бы топологически эквивалентны додекаэдру пентакис и триакисикосаэдру .

Симметрия

Все многогранники Кеплера – Пуансо обладают полной икосаэдрической симметрией , как и их выпуклые оболочки.

Большой икосаэдр и его сопряженный напоминают икосаэдр и двойственный в том , что они имеют грань и вершины на 3-кратный (желтые) и 5-кратного (красная) осях симметрии.
В большом додекаэдре и двойственном ему все грани и вершины находятся на осях 5-кратной симметрии (поэтому на этих изображениях нет желтых элементов).

В следующей таблице показаны твердые тела в парах двойных. В верхнем ряду они показаны с пиритоэдрической симметрией , в нижнем - с икосаэдрической симметрией (к которой относятся упомянутые цвета).

В таблице ниже показаны орфографические проекции 5-кратной (красная), 3-кратной (желтая) и 2-кратной (синяя) осей симметрии.

{3, 5} ( I ) и {5, 3} ( D ) {5, 5/2} ( gD ) и {5/2, 5} ( sD ) {3, 5/2} ( gI ) и {5/2, 3} ( gsD )
Многогранник 20 пиритоэдрический big.pngМногогранник 12 пиритоэдрический big.png

( анимации )

Многогранник большой 12 pyritoangular.pngМногогранник большой 12 двойственный пиритоэдр.png

( анимации )

Многогранник большой 20 pyritoangular.pngМногогранник большой 20 двойной пиритоэдр.png

( анимации )

Многогранник 20 big.pngМногогранник 12 big.png

( анимации )

Многогранник большой 12.pngМногогранник большой 12 dual.png

( анимации )

Многогранник большой 20.pngМногогранник great 20 dual.png

( анимации )

История

Большинство, если не все, многогранники Кеплера-Пуансо были известны в той или иной форме до Кеплера. Небольшой звездчатый додекаэдр появляется в мраморной Tarsia (инкрустации панели) на полу базилики Сан - Марко , Венеция , Италия. Он датируется 15 веком и иногда приписывается Паоло Уччелло .

В своей книге « Perspectiva corporum regularium»Перспективы правильных тел» ), опубликованной в 1568 году, Венцель Ямницер изображает большой звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр (оба показаны ниже). Существует также усеченная версия малого звездчатого додекаэдра . Из общей структуры книги ясно, что он считал правильными только пять Платоновых тел.

Малые и большие звездчатые додекаэдры, иногда называемые многогранниками Кеплера , были впервые признаны правильными Иоганном Кеплером около 1619 года. Он получил их, образовав звездчатый выпуклый додекаэдр, впервые рассматривая его как поверхность, а не как твердое тело. Он заметил, что, растягивая края или грани выпуклого додекаэдра до тех пор, пока они снова не встретятся, он может получить звездные пятиугольники. Кроме того, он признал, что эти звездные пятиугольники также являются правильными. Таким образом он построил два звездчатых додекаэдра. У каждого есть центральная выпуклая область каждой грани, «спрятанная» внутри, с видимыми только треугольными руками. Последним шагом Кеплера было признание того, что эти многогранники соответствуют определению регулярности, хотя они и не были выпуклыми , как традиционные Платоновы тела .

В 1809 году Луи Пуансо заново открыл фигуры Кеплера, соединив звездные пятиугольники вокруг каждой вершины. Он также собрал выпуклые многоугольники вокруг звездных вершин, чтобы обнаружить еще две правильные звезды, большой икосаэдр и большой додекаэдр. Некоторые называют эти два многогранника Пуансо . Пуансо не знал, открыл ли он все правильные звездные многогранники.

Три года спустя, Augustin Коши доказал список полностью по stellating в Платоновых тел , и почти полвека после этого, в 1858 году, Бертран предоставил более элегантное доказательство, огранки их.

В следующем году Артур Кэли дал многогранникам Кеплера – Пуансо названия, под которыми они сегодня широко известны.

Спустя сто лет Джон Конвей разработал систематическую терминологию для звездчатых в четырех измерениях. В этой схеме малый звездчатый додекаэдр - это просто звездчатый додекаэдр .

Звездчатые додекаэдры, Harmonices Mundi от Johannes Kepler (1619)
Картонная модель Тюбингенского университета (около 1860 г.)

Правильные звездные многогранники в искусстве и культуре

Александра Звезда

Рассечение великого додекаэдра было использовано для 1980s головоломки Звезды Александра . Правильные звездные многогранники впервые появляются в искусстве эпохи Возрождения. Небольшой звездчатый додекаэдр изображен в мраморной тарсии на полу базилики Сан-Марко в Венеции, Италия, датируемой ок. 1430 г. и иногда приписывается Пауло Учелло.

В 20 веке интерес художника М.К. Эшера к геометрическим формам часто приводил к созданию работ, основанных на обычных твердых телах или включающих их; Гравитация основана на маленьком звездчатом додекаэдре.

Скульптура норвежского художника Вебьёрна Сэндса «Звезда Кеплера» выставлена ​​возле аэропорта Осло в Гардермуэн . Размер звезды составляет 14 метров, и она состоит из икосаэдра и додекаэдра внутри большого звездчатого додекаэдра.

Смотрите также

Рекомендации

Заметки

Библиография

  • J. Bertrand , Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), стр. 79–82, 117.
  • Огюстен-Луи Коши , Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68–86, 1813.
  • Артур Кэли , О четырех новых правильных телах Пуансо. Фил. Mag. 17. С. 123–127 и 209, 1859.
  • Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , Симметрия вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 24, Правильные звездные многогранники, стр. 404-408)
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Статья 1) HSM Coxeter, Девять правильных тел [Proc. Может. Математика. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
    • (Документ 10) HSM Кокстер, звездные многогранники и функция Шлафли f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • Теони Паппас , ( Тела Кеплера – Пуансо) Радость математики . Сан-Карлос, Калифорния: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
  • Луи Пуансо , Воспоминания о многоугольниках и многогранниках. J. de l'École Polytechnique 9 , стр. 16–48, 1810.
  • Лакатош, Имре; Доказательства и опровержения , Cambridge University Press (1976) - обсуждение доказательства эйлеровой характеристики
  • Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-54325-8.С. 39–41.
  • Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 404: Размерность 3 правильных звездно-многогранников)
  • Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 8: Многогранники Кеплера Пуазо

Внешние ссылки