Кинетическая теория газов - Kinetic theory of gases

Кинетическая теория газов является простой, исторически значимой классической моделью термодинамического поведения газов , с которыми были установлены многие основные понятия термодинамики. Модель описывает газ как большое количество идентичных субмикроскопических частиц ( атомов или молекул ), все из которых находятся в постоянном, быстром и случайном движении . Предполагается, что их размер намного меньше среднего расстояния между частицами. Частицы испытывают случайные упругие столкновения между собой и с ограждающими стенками контейнера. Базовая версия модели описывает идеальный газ и не учитывает никаких других взаимодействий между частицами.

Кинетическая теория газов объясняет макроскопические свойства газов, такие как объем, давление и температура, а также свойства переноса, такие как вязкость , теплопроводность и массовая диффузия . Модель также учитывает связанные явления, такие как броуновское движение .

История

Примерно в 50 г. до н.э. римский философ Лукреций предположил, что очевидно статические макроскопические тела состояли из небольших быстро движущихся атомов, отскакивающих друг от друга. Эта эпикурейская атомистическая точка зрения редко рассматривалась в последующие века, когда доминировали идеи Аристотеля .

В 1738 году Даниэль Бернулли опубликовал « Гидродинамику» , положившую начало кинетической теории газов. В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, что газы состоят из большого количества молекул, движущихся во всех направлениях, что их удар по поверхности вызывает давление газа и что их средняя кинетическая энергия определяет температуру газа. Теория не была немедленно принята, отчасти потому, что закон сохранения энергии еще не был установлен, и для физиков не было очевидно, как столкновения между молекулами могут быть совершенно упругими.

Другими пионерами кинетической теории, чьи работы также в значительной степени игнорировались их современниками, были Михаил Ломоносов (1747 г.), Жорж-Луи Ле Саж (около 1780 г., опубликовано 1818 г.), Джон Герапат (1816 г.) и Джон Джеймс Уотерстон (1843 г.). , которые связали свои исследования с разработкой механических объяснений гравитации . В 1856 году Август Крёниг создал простую газокинетическую модель, в которой учитывалось только поступательное движение частиц.

В 1857 году Рудольф Клаузиус разработал аналогичную, но более сложную версию теории, которая включала поступательные и, в отличие от Кренига, также вращательные и колебательные движения молекул. В этой же работе он ввел понятие длины свободного пробега частицы. В 1859 году, после прочтения статьи Клаузиуса о диффузии молекул, шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал максвелловское распределение молекулярных скоростей, которое дало долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. Это был первый статистический закон в физике. Максвелл также привел первый механический аргумент, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. В своей тринадцатистраничной статье 1873 года «Молекулы» Максвелл утверждает: «нам говорят, что« атом »- это материальная точка, окруженная« потенциальными силами »и что, когда« летающие молекулы »ударяются о твердое тело в постоянной последовательности. он вызывает то, что называется давлением воздуха и других газов ». В 1871 году Людвиг Больцман обобщил достижения Максвелла и сформулировал распределение Максвелла – Больцмана . Логарифмическая связь между энтропией и вероятностью был также первым высказал Больцман.

Однако в начале 20 века многие физики считали атомы чисто гипотетическими конструкциями, а не реальными объектами. Важным поворотным моментом стали работы Альберта Эйнштейна (1905 г.) и Мариана Смолуховского (1906 г.) о броуновском движении , в которых удалось сделать определенные точные количественные предсказания, основанные на кинетической теории.

Предположения

Применение кинетической теории к идеальным газам делает следующие предположения:

• Газ состоит из очень мелких частиц. Эта малость их размера такова, что сумма объемов отдельных молекул газа ничтожна по сравнению с объемом контейнера с газом. Это эквивалентно заявлению о том, что среднее расстояние, разделяющее частицы газа, велико по сравнению с их размером , и что прошедшее время столкновения между частицами и стенкой контейнера пренебрежимо мало по сравнению со временем между последовательными столкновениями.
• Число частиц настолько велико, что статистическая обработка проблемы вполне оправдана. Это предположение иногда называют термодинамическим пределом .
• Быстро движущиеся частицы постоянно сталкиваются между собой и со стенками контейнера. Все эти столкновения абсолютно упругие, а это значит, что молекулы представляют собой идеальные твердые сферы.
• За исключением столкновений, взаимодействия между молекулами незначительны. Они не оказывают друг на друга никаких других сил .

Таким образом, динамику движения частицы можно рассматривать классически, а уравнения движения обратимы во времени.

В качестве упрощающего предположения обычно предполагается, что частицы имеют одинаковую массу ; однако теорию можно обобщить до распределения масс, при этом каждый тип массы влияет на свойства газа независимо друг от друга в соответствии с законом Дальтона о парциальных давлениях . Многие предсказания модели остаются неизменными вне зависимости от того, учитываются ли столкновения между частицами, поэтому ими часто пренебрегают в качестве упрощающего допущения при выводе (см. Ниже).

Более современные разработки ослабляют эти предположения и основаны на уравнении Больцмана . Они могут точно описывать свойства плотных газов, потому что они включают объем частиц, а также вклад межмолекулярных и внутримолекулярных сил, а также квантованные вращения молекул, квантовые эффекты вращательно-колебательной симметрии и электронное возбуждение.

Равновесные свойства

Давление и кинетическая энергия

В кинетической теории газов давление считается равным силе (на единицу площади), прилагаемой атомами, ударяющимися и отскакивающими от поверхности газового баллона. Рассмотрим газ, состоящий из большого числа N молекул, каждая из которых имеет массу m , заключенных в куб объемом V = L ³ . Когда молекула газа сталкивается со стенкой контейнера, перпендикулярной оси x, и отскакивает в противоположном направлении с той же скоростью ( упругое столкновение ), изменение количества движения определяется выражением:

где p - импульс, i и f обозначают начальный и конечный импульс (до и после столкновения), x указывает, что учитывается только направление x , и является скоростью частицы в направлении x (которая одинакова до и после столкновения). после столкновения). ${\ displaystyle v_ {x}}$

Частица ударяется об одну конкретную боковую стенку один раз за промежуток времени ${\ displaystyle \ Delta t}$

$${\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {2L} {v_ {x}}},}$$

где L - расстояние между противоположными стенками.

Сила столкновения этой частицы со стенкой является

$${\ displaystyle F = {\ frac {\ Delta p} {\ Delta t}} = {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {L}}.}$$

Полная сила, действующая на стенку из-за столкновений молекул со стенками, с диапазоном возможных значений составляет ${\ displaystyle v_ {x}}$

$${\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}} {L}},}$$

где черта обозначает среднее по возможным скоростям N частиц.

Поскольку движение частиц является случайным и нет никакого смещения в каком-либо направлении, средний квадрат скорости в каждом направлении идентичен:

$${\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {z} ^ {2}}}.}$$

По теореме Пифагора в трех измерениях средний квадрат скорости определяется выражением ${\ displaystyle v ^ {2}}$

$${\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {z} ^ {2}}},}$$

Следовательно

$${\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = 3 {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}.}$$

а также

$${\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ frac {\ overline {v ^ {2}}} {3}},}$$

и поэтому силу можно записать как

$${\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3L}}.}$$

Эта сила действует равномерно на площади L ² . Следовательно, давление газа равно

$${\ displaystyle P = {\ frac {F} {L ^ {2}}} = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3V}},}$$

где V = L ³ - объем ящика.

Что касается поступательной кинетической энергии газа K , поскольку

$${\ Displaystyle К = N {\ гидроразрыва {1} {2}} м {\ overline {v ^ {2}}}}$$

у нас есть

$${\ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} K.}$$

Это важный, нетривиальный результат кинетической теории, поскольку он связывает давление, макроскопическое свойство, с поступательной кинетической энергией молекул, которая является микроскопическим свойством.

Температура и кинетическая энергия

Переписывая приведенный выше результат для давления как , мы можем объединить его с

законом идеального газа${\ textstyle PV = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3}}}$

${\ Displaystyle PV = Nk _ {\ mathrm {B}} T,}$

( 1 )

где есть постоянная Больцмана и абсолютная температура определяется законом идеального газа, чтобы получить ${\ Displaystyle к _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle T}$

что приводит к упрощенному выражению средней кинетической энергии на молекулу, Кинетическая энергия системы в разы больше, чем у молекулы, а именно . Тогда температура принимает вид ${\ displaystyle N}$${\ textstyle К = {\ гидроразрыва {1} {2}} Нм {\ overline {v ^ {2}}}}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T = {m {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3k _ {\ mathrm {B}}}}$

( 2 )

который становится

${\ displaystyle T = {\ frac {2} {3}} {\ frac {K} {Nk _ {\ mathrm {B}}}}.}$

( 3 )

Уравнение ( 3 ) является одним из важных результатов кинетической теории: средняя молекулярная кинетическая энергия пропорциональна абсолютной температуре по закону идеального газа . Из уравнений ( 1 ) и ( 3 ) имеем

${\ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} K.}$

( 4 )

Таким образом, произведение давления и объема на моль пропорционально средней (поступательной) молекулярной кинетической энергии.

Уравнения ( 1 ) и ( 4 ) называются «классическими результатами», которые также могут быть получены из статистической механики ; подробнее см .:

Поскольку в системе одноатомного газа с частицами существуют степени свободы , кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы на молекулу, равна ${\ displaystyle 3N}$ ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ frac {K} {3N}} = {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {2}}}$

( 5 )

В кинетической энергии на степень свободы коэффициент пропорциональности температуры составляет 1/2 постоянной Больцмана или R / 2 на моль. Этот результат связан с теоремой о равнораспределении .

Таким образом, кинетическая энергия одного моля (одноатомного идеального газа ) на Кельвин составляет 3 [R / 2] = 3R / 2. Таким образом, кинетическая энергия на Кельвин может быть легко рассчитана:

• на моль: 12,47 Дж / К
• на молекулу: 20,7 мкДж / К = 129 мкэВ / К

При стандартной температуре (273,15 К) кинетическая энергия также может быть получена:

• на моль: 3406 Дж
• на молекулу: 5,65 zJ = 35,2 мэВ.

Хотя одноатомные газы имеют 3 (поступательных) степени свободы на атом, двухатомные газы должны иметь 6 степеней свободы на молекулу (3 перехода, два вращения и одно колебание). Однако более легкие двухатомные газы (такие как двухатомный кислород ) могут действовать так, как если бы их было только 5 из-за сильно квантово-механической природы их колебаний и больших промежутков между последовательными уровнями колебательной энергии. Для точного расчета этих вкладов необходима квантовая статистическая механика .

Столкновения с контейнером

Распределение скорости частиц, ударяющихся о стенку контейнера, можно рассчитать на основе наивной кинетической теории, и результат можно использовать для анализа скорости эффузивного потока .

Предположим, что в контейнере числовая плотность (количество на единицу объема) равна и что частицы подчиняются распределению скоростей Максвелла : ${\ displaystyle n}$

Тогда количество частиц, попадающих в область со скоростью под углом от нормали, за интервал времени равно: ${\ displaystyle dA}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle dt}$

Интегрирование этого по всем подходящим скоростям в пределах ограничения дает количество атомных или молекулярных столкновений со стенкой контейнера на единицу площади в единицу времени: ${\ Displaystyle v> 0,0 <\ theta <\ pi / 2,0 <\ phi <2 \ pi}$

Эта величина также известна как «скорость столкновения» в физике вакуума. Обратите внимание, что для расчета средней скорости распределения Максвелла необходимо выполнить интегрирование . ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$${\ Displaystyle v> 0,0 <\ theta <\ pi, 0 <\ phi <2 \ pi}$

Передача импульса стенке контейнера от частиц, ударяющихся о поверхность со скоростью под углом к нормали, в интервале времени составляет:${\ displaystyle dA}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle dt}$

Интегрирование этого по всем подходящим скоростям в пределах ограничения дает давление (в соответствии с законом идеального газа ):${\ Displaystyle v> 0,0 <\ theta <\ pi / 2,0 <\ phi <2 \ pi}$

$${\ displaystyle P = {\ frac {1} {3}} nv _ {\ text {rms}} ^ {2} = nk _ {\ mathrm {B}} T}$$

Если пробить этот небольшой участок и превратить его в маленькое отверстие, скорость эффузивного потока будет:${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle \ Phi _ {\ text {effusion}} = J _ {\ text {collision}} A = nA {\ sqrt {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {2 \ pi m}}} .}$$

В сочетании с законом идеального газа это дает

$${\ displaystyle \ Phi _ {\ text {effusion}} = {\ frac {PA} {\ sqrt {2 \ pi mk _ {\ mathrm {B}} T}}}.}$$

Распределение скорости частиц, попадающих в эту небольшую область, равно

$${\ displaystyle {\ begin {align} f (v, \ theta, \ phi) \, dv \, d \ theta \, d \ phi & = {\ text {const.}} \ times (v \ cos {\ theta}) {\ times} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k _ {\ mathrm {B}} T}}} {\ times} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv \, d \ theta \, d \ phi) \\ & = {\ text {const.}} \ times \ left (v ^ {3} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k _ {\ mathrm {B}} T}}} dv \ right) \ times (\ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {d \ theta}) \ times d \ phi \ end {выровнено} }}$$

с ограничением . Константа ( const. ) Может быть определена условием нормировки . ${\ textstyle v> 0, \, 0 <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}, \, 0 <\ phi <2 \ pi}$${\ textstyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left ({\ frac {m} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) ^ {2}}$

Скорость молекул

Из формулы кинетической энергии можно показать, что

$${\ displaystyle v _ {\ text {p}} = {\ sqrt {2 \ cdot {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {m}}}},}$$

$${\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = {\ sqrt {{\ frac {8} {\ pi}} \ cdot {\ гидроразрыв {k _ {\ mathrm {B}} T} {m}}}},}$$

$${\ displaystyle v _ {\ text {rms}} = {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} v_ {p} = {\ sqrt {{3} \ cdot {\ frac {k _ {\ mathrm {B) }} T} {m}}}},}$$

где v выражается в м / с, T - в кельвинах, а m - масса одной молекулы газа. Наиболее вероятная (или режимная) скорость составляет 81,6% от среднеквадратичной скорости , а средняя (средняя арифметическая или средняя) скорость составляет 92,1% от среднеквадратичной скорости ( изотропное распределение скоростей ). ${\ displaystyle v _ {\ text {p}}}$${\ displaystyle v _ {\ text {rms}}}$${\ displaystyle {\ bar {v}}}$

Видеть:

• Средний ,
• Среднеквадратичная скорость
• Среднее арифметическое
• Иметь в виду
• Режим (статистика)

Транспортные свойства

Смотрите также: Транспортные явления

Кинетическая теория газов имеет дело не только с газами, находящимися в термодинамическом равновесии, но также, что очень важно, с газами, не находящимися в термодинамическом равновесии. Это означает использование кинетической теории для рассмотрения так называемых «транспортных свойств», таких как вязкость , теплопроводность и массовая диффузия .

Вязкость и кинетический импульс

Смотрите также: Вязкость § Импульсный перенос

В книгах по элементарной кинетической теории можно найти результаты моделирования разреженного газа, которые используются во многих областях. Вывод кинетической модели сдвиговой вязкости обычно начинается с рассмотрения течения Куэтта, в котором две параллельные пластины разделены слоем газа. Верхняя пластина движется со скоростью постоянной вправо за счет силы F . Нижняя пластина неподвижна, поэтому на нее должна действовать равная и противоположная сила, чтобы удерживать ее в состоянии покоя. Молекулы в слое газа имеют поступательную составляющую скорости, которая равномерно увеличивается с расстоянием над нижней пластиной. Неравновесный поток накладывается на

равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle y}$

Пусть -

сечение столкновения одной молекулы, сталкивающейся с другой. Числовая плотность определяется как количество молекул в (обширном) объеме . Сечение столкновения на объем или плотность сечения столкновения составляет , и это связано со средней длиной свободного пробега соотношением ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п = Н / В}$${\ Displaystyle п \ сигма}$ ${\ displaystyle l}$

$${\ displaystyle l = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} п \ sigma}}}$$

Обратите внимание, что единица измерения поперечного сечения столкновения на объем обратно пропорциональна длине. Длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула или количество молекул в объеме, прежде чем они совершат свое первое столкновение. ${\ Displaystyle п \ сигма}$

Позвольте быть поступательной скоростью газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Число молекул, прибывающих в область на одной стороне газового слоя со скоростью, отклоненной от нормали, за интервал времени равно ${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle dA}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle dt}$

$${\ displaystyle nv \ cos ({\ theta}) \, dA \, dt \ times \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) ^ {3 / 2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k _ {\ mathrm {B}} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv \, d \ theta \, d \ phi)}$$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии выше и ниже газового слоя, и каждая из них будет вносить прямой импульс в ${\ Displaystyle л \ соз \ тета}$

$${\ displaystyle p_ {x} ^ {\ pm} = m \ left (u_ {0} \ pm l \ cos \ theta \, {du \ over dy} \ right),}$$

где знак плюс относится к молекулам сверху, а знак минус снизу. Обратите внимание, что градиент скорости поступательного движения можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега. ${\ displaystyle du / dy}$

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

$${\ displaystyle {\ begin {cases} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {cases}}}$$

дает прямую передачу импульса в единицу времени на единицу площади (также известную как напряжение сдвига ):

$${\ displaystyle \ tau ^ {\ pm} = {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot m \ left (u_ {0} \ pm {\ frac {2} {3} } l \, {du \ over dy} \ right)}$$

Таким образом, чистая скорость количества движения на единицу площади, переносимого по воображаемой поверхности, равна

$${\ displaystyle \ tau = \ tau ^ {+} - \ tau ^ {-} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nm \ cdot l \, {du \ over dy}}$$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с законом вязкости Ньютона

$${\ displaystyle \ tau = \ eta \, {du \ over dy}}$$

дает уравнение для вязкости сдвига, которое обычно обозначают, когда речь идет о разреженном газе: ${\ displaystyle \ eta _ {0}}$

$${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nml}$$

Комбинируя это уравнение с уравнением для длины свободного пробега, получаем

$${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3 {\ sqrt {2}}}} {\ frac {m \ cdot {\ bar {v}}} {\ sigma}}}$$

Распределение Максвелла-Больцмана дает среднюю (равновесную) скорость молекул как

$${\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = 2 {\ sqrt {{\ frac {2} {\ pi}} \ cdot { \ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {m}}}}}$$

где - наиболее вероятная скорость. Отметим, что ${\ displaystyle v_ {p}}$

$${\ displaystyle k_ {B} \ cdot N_ {A} = R \ quad {\ text {and}} \ quad M = m \ cdot N_ {A}}$$

и вставьте скорость в уравнение вязкости выше. Это дает хорошо известное уравнение сдвиговой вязкости для разреженных газов :

$${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {mk _ {\ mathrm {B}} T}} {\ sigma}} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {MRT}} {\ sigma \ cdot N_ {A}}}}$$

и -

молярная масса . Вышеприведенное уравнение предполагает, что плотность газа низкая (то есть давление низкое). Это означает, что кинетическая поступательная энергия преобладает над вращательной и колебательной энергиями молекул. Уравнение вязкости также предполагает, что существует только один тип молекул газа и что молекулы газа представляют собой совершенные упругие частицы с твердым ядром сферической формы. Это предположение об упругих сферических молекулах с твердым ядром, таких как бильярдные шары, означает, что сечение столкновения одной молекулы можно оценить следующим образом: ${\ displaystyle M}$

$${\ displaystyle \ sigma = \ pi \ left (2r \ right) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$$

Радиус называется радиусом поперечного сечения столкновения или кинетическим радиусом, а диаметр - диаметром поперечного сечения столкновения или

кинетическим диаметром молекулы в мономолекулярном газе. Нет простой общей связи между сечением столкновения и размером твердого ядра (достаточно сферической) молекулы. Соотношение зависит от формы потенциальной энергии молекулы. Для реальной сферической молекулы (то есть атома благородного газа или достаточно сферической молекулы) потенциал взаимодействия больше похож на потенциал Леннарда-Джонса или потенциал Морзе, у которых есть отрицательная часть, которая притягивает другую молекулу с расстояний, превышающих радиус твердого ядра. Радиус для нулевого потенциала Леннарда-Джонса затем подходит для использования в качестве оценки кинетического радиуса. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

Теплопроводность и тепловой поток

Смотрите также: Теплопроводность

Следуя той же логике, что и выше, можно вывести кинетическую модель теплопроводности разреженного газа:

Рассмотрим две параллельные пластины, разделенные слоем газа. Обе пластины имеют одинаковую температуру и настолько массивны по сравнению со слоем газа, что их можно рассматривать как тепловые резервуары . Верхняя пластина имеет более высокую температуру, чем нижняя пластина. Молекулы в газовом слое обладают молекулярной кинетической энергией, которая равномерно увеличивается с расстоянием над нижней пластиной. Неравновесный поток энергии накладывается на

равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle y}$

Позвольте быть молекулярной кинетической энергией газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Число молекул, прибывающих в область на одной стороне газового слоя со скоростью, отклоненной от нормали, за интервал времени равно ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle dA}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle dt}$

$${\ displaystyle nv \ cos (\ theta) \, dA \, dt \ times \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) ^ {3/2 } e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin (\ theta) \, dv \, d \ theta \, d \ phi) }$$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии выше и ниже газового слоя, и каждая из них будет давать молекулярную кинетическую энергию в размере ${\ Displaystyle л \ соз \ тета}$

$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ pm} = \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm mc_ {v} l \ cos \ theta \, {dT \ over dy} \ right),}$$

где - удельная теплоемкость . Опять же, знак плюса относится к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент температуры можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега. ${\ displaystyle c_ {v}}$${\ displaystyle dT / dy}$

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

$${\ displaystyle {\ begin {cases} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {cases}}}$$

дает передачу энергии в единицу времени на единицу площади (также известную как тепловой поток ):

$${\ displaystyle q_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm {\ frac {2 } {3}} mc_ {v} l \, {dT \ over dy} \ right)}$$

Обратите внимание, что передача энергии сверху происходит в направлении, и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Таким образом, чистый тепловой поток через воображаемую поверхность равен ${\ displaystyle -y}$

$${\ displaystyle q = q_ {y} ^ {+} - q_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l \, {dT \ over dy}}$$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с законом Фурье

$${\ displaystyle q = - \ kappa \, {dT \ over dy}}$$

дает уравнение теплопроводности, которое обычно обозначают, когда речь идет о разреженном газе: ${\ displaystyle \ kappa _ {0}}$

$${\ displaystyle \ kappa _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l}$$

Коэффициент диффузии и диффузионный поток

Смотрите также: законы диффузии Фика

Следуя той же логике, что и выше, можно вывести кинетическую модель для массовой диффузии разреженного газа:

Рассмотрим устойчивую диффузию между двумя областями одного и того же газа с идеально плоскими и параллельными границами, разделенными слоем одного и того же газа. Обе области имеют одинаковую числовую плотность , но верхняя область имеет более высокую числовую плотность, чем нижняя область. В установившемся состоянии плотность числа в любой точке постоянна (то есть не зависит от времени). Однако численная плотность в слое равномерно увеличивается с расстоянием над нижней пластиной. Неравновесный молекулярный поток накладывается на

равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$

Позвольте быть плотность газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри слоя. Число молекул, прибывающих в область на одной стороне газового слоя со скоростью, отклоненной от нормали, за интервал времени равно ${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle dA}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle dt}$

$${\ displaystyle nv \ cos (\ theta) \, dA \, dt \ times \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) ^ {3/2 } e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin (\ theta) \, dv \, d \ theta \, d \ phi) }$$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии выше и ниже слоя газа, где локальная числовая плотность равна ${\ Displaystyle л \ соз \ тета}$

$${\ displaystyle n ^ {\ pm} = \ left (n_ {0} \ pm l \ cos \ theta \, {dn \ over dy} \ right)}$$

Опять же, знак плюса относится к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент числовой плотности можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега. ${\ displaystyle dn / dy}$

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

$${\ displaystyle {\ begin {cases} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {cases}}}$$

дает молекулярный перенос в единицу времени на единицу площади (также известный как диффузионный поток ):

$${\ displaystyle J_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} \ cdot \ left (n_ {0} \ pm {\ frac {2} {3 }} l \, {dn \ over dy} \ right)}$$

Обратите внимание, что молекулярный перенос сверху находится в направлении, и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Таким образом, чистый диффузионный поток через воображаемую поверхность равен ${\ displaystyle -y}$

$${\ displaystyle J = J_ {y} ^ {+} - J_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} l {dn \ over dy}}$$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с первым законом диффузии Фика

$${\ Displaystyle J = -D {dn \ over dy}}$$

дает уравнение для массовой диффузии, которое обычно обозначают, когда речь идет о разреженном газе: ${\ displaystyle D_ {0}}$

$${\ displaystyle D_ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} l}$$

Смотрите также

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика плетения
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермически-изобарический
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Возможности Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

• Иерархия уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона
• Уравнение Больцмана
• Теория столкновений
• Критическая температура
• Газовые законы
• Нагревать
• Межатомный потенциал
• Магнитогидродинамика
• Распределение Максвелла – Больцмана
• Mixmaster динамика
• Термодинамика
• Модель Вичека
• Уравнение Власова

Примечания

использованная литература

• Клаузиус, Р. (1857), "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen" , Annalen der Physik , 176 (3): 353–379, Bibcode : 1857AnP ... 176..353C , doi : 10.1002 / andp .18571760302

• de Groot, SR, W.A van Leeuwen и Ch. Дж. Ван Веерт (1980), Релятивистская кинетическая теория, Северная Голландия, Амстердам.
• Эйнштейн, А. (1905), "Uber die von der molkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" (PDF) , Annalen der Physik , 17 (8): 549–560, Bibcode : 1905 ... ..549E , DOI : 10.1002 / andp.19053220806

• Град, Harold (1949), "На кинетической теории разреженных газов", Коммуникации на чистой и прикладной математики , 2 (4): 331-407, DOI : 10.1002 / cpa.3160020403

• Herapath, J. (1816), «О физических свойствах газов» , Annals of Philosophy , Роберт Болдуин: 56–60

• Herapath, J. (1821), «О причинах, законах и явлениях тепла, газов, гравитации» , Annals of Philosophy , Baldwin, Cradock, and Joy, 9 : 273–293

• Крёниг, А. (1856), "Grundzüge einer Theorie der Gase" , Annalen der Physik , 99 (10): 315–322, Bibcode : 1856AnP ... 175..315K , doi : 10.1002 / andp.18561751008

• Ле Саж, Г.-Л. (1818), «Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage» , в Prevost, Pierre (ed.), Deux Traites de Physique Mécanique , Geneva & Paris: JJ Paschoud, pp. 1–186.

• Либофф, Р.Л. (1990), кинетическая теория, Прентис-Холл, Энглвудские скалы, Нью-Джерси
• Ломоносов, М. (1970) [1758], «О соотношении количества материала и веса» , в Генри М. Лестере (ред.), Михаил Васильевич Ломоносов о корпускулярной теории , Кембридж: издательство Гарвардского университета, стр. 224–233

• Махон, Бэзил (2003), Человек, который все изменил - жизнь Джеймса Клерка Максвелла , Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, ISBN 0-470-86171-1

• Максвелл, Джеймс Клерк (1873 г.), «Molecules» , Nature , 417 (6892): 903, Bibcode : 2002Natur.417..903M , doi : 10.1038 / 417903a , PMID  12087385 , S2CID  4417753 , заархивировано из оригинала (- ^{Scholar search} ) 9 февраля 2007 г.
• Смолуховский, М. (1906), "Zur kinetischen Теорье дер Brownschen Molekularbewegung унд дер Suspensionen" , Annalen дер Physik , 21 (14): 756-780, Bibcode : 1906AnP ... 326..756V , DOI : 10.1002 / и р. 19063261405

• Уотерстон, Джон Джеймс (1843), Мысли о психических функциях(перепечатано в его Papers , 3 , 167, 183.)

• Уильямс, MMR (1971). Математические методы в теории переноса частиц . Баттервортс, Лондон. ISBN 9780408700696.

дальнейшее чтение

• Сидней Чепмен и Томас Джордж Каулинг (1939/1970), Математическая теория неоднородных газов: учет кинетической теории вязкости, теплопроводности и диффузии в газах (первое издание 1939 г., второе издание 1952 г.), третье издание 1970 г. подготовлено в сотрудничестве с Д. Бернеттом, Cambridge University Press, Лондон
• Джозеф Окленд Хиршфельдер , Чарльз Фрэнсис Кертисс и Роберт Байрон Берд (1964), Молекулярная теория газов и жидкостей , исправленное издание (Wiley-Interscience), ISBN 978-0471400653
• Ричард Лоуренс Либофф (2003), кинетическая теория: классические, квантовые и релятивистские описания , третье издание (Springer), ISBN 978-0-387-21775-8
• Behnam Рагой и Хеннинг Struchtrup (2016), " макроскопический и кинетическое моделирование разреженных многоатомных газов ", журнал Fluid Mechanics , 806 , 437-505, DOI 10,1017 / jfm.2016.604

внешние ссылки

• Ранние теории газов
• Термодинамика - глава из онлайн-учебника
• Температура и давление идеального газа: уравнение состояния в проекте PHYSNET .
• Введение в кинетическую молекулярную теорию газов от школьного совета округа Верхняя Канада
• Java-анимация, иллюстрирующая кинетическую теорию, от Университета Арканзаса.
• Блок- схема, объединяющая концепции кинетической теории, от HyperPhysics
• Интерактивные апплеты Java, позволяющие старшеклассникам экспериментировать и узнавать, как различные факторы влияют на скорость химических реакций.
• https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8A Демонстрационный аппарат для термического перемешивания в газах.