Формула дифракции Кирхгофа - Kirchhoff's diffraction formula

Формула дифракции Кирхгофа (также формула дифракции Френеля-Кирхгофа ) может использоваться для моделирования распространения света в широком диапазоне конфигураций либо аналитически, либо с помощью численного моделирования . Он дает выражение для волнового возмущения, когда монохроматическая сферическая волна является набегающей волной рассматриваемой ситуации. Эта формула выводится путем применения интегральной теоремы Кирхгофа , которая использует второе тождество Грина для вывода решения однородного скалярного волнового уравнения , к сферической волне с некоторыми приближениями.

Принцип Гюйгенса – Френеля выводится с помощью дифракционной формулы Френеля-Кирхгофа.

Вывод формулы дифракции Кирхгофа.

Интегральная теорема Кирхгофа , иногда называемая интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа, использует второе тождество Грина для вывода решения однородного скалярного волнового уравнения в произвольной пространственной позиции P в терминах решения волнового уравнения и его производной первого порядка во всех точках на произвольную замкнутую поверхность как граница некоторого объема в том числе P . ${\ displaystyle S}$

Решение, которое дает интегральная теорема для монохроматического источника, имеет вид

${\ Displaystyle U (P) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {S} \ left [U {\ frac {\ partial} {\ partial n}} \ left ({\ frac { e ^ {iks}} {s}} \ right) - {\ frac {e ^ {iks}} {s}} {\ frac {\ partial U} {\ partial n}} \ right] dS,}$

где - пространственная часть решения однородного скалярного волнового уравнения (т. е. как решение однородного скалярного волнового уравнения), k - волновое число , s - расстояние от P до (бесконечно малого) интегрального элемента поверхности, и обозначает дифференцирование вдоль единичного вектора нормали интегрального элемента поверхности (т. е. производной по нормали ), т . е .. Обратите внимание, что нормаль к поверхности или направление направлено внутрь замкнутого объема в этом интеграле ; если используется более обычная нормаль, направленная наружу , интеграл будет иметь противоположный знак. Также обратите внимание, что в показанной здесь интегральной теореме и P являются векторными величинами, а другие члены - скалярными величинами. ${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle V (\ mathbf {r}, t) = U (\ mathbf {r}) e ^ {- я \ omega t}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial n}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial n}} = \ nabla f \ cdot n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Для следующих случаев сделаны следующие основные предположения.

• Расстояние между точечным источником волн и интегральной областью, расстояние между интегральной областью и точкой наблюдения P и размер отверстия S намного больше, чем длина волны .${\ displaystyle \ lambda}$

• ${\ displaystyle U}$и прерывистые на границах отверстия, называемые граничными условиями Кирхгофа . Это может быть связано с другим предположением о том, что волны на проеме (или на открытом пространстве) аналогичны волнам, которые были бы, если бы для волн не было препятствий.${\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial n}} = \ nabla U \ cdot n}$

Точечный источник

Геометрическая схема, использованная при выводе дифракционной формулы Кирхгофа. Область, обозначенная A _1, является отверстием (отверстием), области, отмеченные A _2, являются непрозрачными областями, а A ₃ - полусфера как часть замкнутой целостной поверхности (состоящая из областей A ₁ , A ₂ и A ₃ ) интегральной теоремы Кирхгофа .

Рассмотрим монохроматический точечный источник при P ₀ , который освещает отверстие в экране. Интенсивность волны , излучаемой точечного источника убывает как обратный квадрат расстояния, поэтому амплитуда убывает как обратная величина расстояния. Комплексная амплитуда возмущения на расстоянии определяется выражением ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle U (r) = {\ frac {ae ^ {ikr}} {r}},}$

где представляет собой величину возмущения в точечном источнике. ${\ displaystyle a}$

Возмущение в пространственной позиции P можно найти, применив интегральную теорему Кирхгофа к замкнутой поверхности, образованной пересечением сферы радиуса R с экраном. Интегрирование выполняется по областям A ₁ , A ₂ и A ₃ , что дает

${\ Displaystyle U (P) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [\ int _ {A_ {1}} + \ int _ {A_ {2}} + \ int _ {A_ {3 }} \ right] \ left (U {\ frac {\ partial} {\ partial n}} \ left ({\ frac {e ^ {iks}} {s}} \ right) - {\ frac {e ^ { iks}} {s}} {\ frac {\ partial U} {\ partial n}} \ right) dS.}$

Для решения уравнения предполагается, что значения и в области апертуры A ₁ такие же, как и при отсутствии экрана, поэтому в позиции Q , ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial n}}}$

${\ displaystyle U_ {A_ {1}} = {\ frac {ae ^ {ikr}} {r}},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial U_ {A_ {1}}} {\ partial n}} = \ nabla U_ {A_ {1}} \ cdot n = {\ frac {ae ^ {ikr}} {r} } \ left [ik - {\ frac {1} {r}} \ right] \ cos (n, r),}$

где - длина прямой P ₀ Q , а - угол между прямолинейным удлиненным вариантом P ₀ Q и (внутренней) нормалью к отверстию. Обратите внимание , что так это вещественное положительное число на A ₁ . ${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle (п, г)}$${\ Displaystyle 0 <(п, г) <{\ гидроразрыва {\ pi} {2}}}$${\ Displaystyle \ соз (п, г)}$

В Q у нас также есть

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial n}} \ left ({\ frac {e ^ {iks}} {s}} \ right) = {\ frac {e ^ {iks}} {s} } \ left [ik - {\ frac {1} {s}} \ right] \ cos (n, s),}$

где - длина прямой линии PQ , а - угол между прямой удлиненной версией PQ и (внутренней) нормалью к отверстию. Обратите внимание , что так отрицательное вещественное число на A ₁ . ${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle (п, s)}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} <(n, s) <{\ frac {3 \ pi} {2}}}$${\ Displaystyle \ соз (п, s)}$

Сделаны еще два следующих предположения.

• В приведенных выше нормальных производных предполагается , что члены и в обеих квадратных скобках пренебрежимо малы по сравнению с волновым числом , средними и намного больше длины волны .${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {s}}}$ ${\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ lambda}$
• Кирхгоф предполагает, что значения и на непрозрачных областях, отмеченных A _2, равны нулю. Это означает, что и являются прерывистыми на краю апертуры A ₁ . Это не так, и это одно из приближений, используемых при выводе дифракционной формулы Кирхгофа. Эти предположения иногда называют граничными условиями Кирхгофа .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial n}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial n}}}$

Ожидается, что вклад полусферы A ₃ в интеграл будет равен нулю, и это может быть оправдано одной из следующих причин.

1. Сделайте предположение, что источник начинает излучать в определенное время, а затем сделайте R достаточно большим, чтобы при рассмотрении возмущения в точке P никакие вклады от A ₃ туда не поступали. Такая волна больше не является монохроматической , поскольку монохроматическая волна должна существовать всегда, но в этом предположении нет необходимости, и был получен более формальный аргумент, позволяющий избежать ее использования.
2. Волна исходит от апертуры A ₁ , как ожидается , развиваться в направлении сферической волны при ее распространении (волна воды примеров этого можно найти во многих картинах , показывающей воду волну , проходящую через относительно узкого отверстия.). Таким образом, если R достаточно велико, то интеграл от А ₃ становится , где и являются расстояние от центра апертуры A ₁ к интегральной поверхности элемента и дифференциал телесного угла в сферической системе координат , соответственно.${\ displaystyle U (P) \ sim - {\ frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ {3}} {\ frac {e ^ {2ik (r ')}} {r' ^ { 2}}} [\ cos (n, r ') - \ cos (n, r')] d {A_ {3}} = - {\ frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ { 3}} e ^ {2ik (r ')} [\ cos (n, r') - \ cos (n, r ')] d {\ Omega} = 0}$${\ displaystyle r '}$${\ displaystyle d {\ Omega}}$

В результате, наконец, интеграл выше, который представляет комплексную амплитуду в точке P , становится

${\ displaystyle U (P) = - {\ frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ {1}} {\ frac {e ^ {ik (r + s)}} {rs}} [ \ cos (n, r) - \ cos (n, s)] d {A_ {1}}.}$

Это формула дифракции Кирхгофа или Френеля – Кирхгофа .

Эквивалентность принципу Гюйгенса – Френеля.

Геометрическое расположение, используемое для выражения формулы Кирхгофа в форме, подобной форме Гюйгенса – Френеля.

Принцип Гюйгенса – Френеля может быть получен интегрированием по другой замкнутой поверхности (границе некоторого объема, имеющей точку наблюдения P ). Область A ₁ выше заменяется частью волнового фронта (излучаемой из P ₀ ) в точке r ₀ , которая является ближайшей к апертуре, и частью конуса с вершиной в точке P ₀ , обозначенной A _4. на правой диаграмме. Если волновой фронт расположен так, что волновой фронт находится очень близко к краям апертуры, то вкладом от A ₄ можно пренебречь (здесь предполагается). На этом новом A ₁ внутренняя (по направлению к объему, окруженному замкнутой интегральной поверхностью , т.е. по направлению к правой стороне на диаграмме), нормальная к A _1, проходит в радиальном направлении от P ₀ , то есть в направлении, перпендикулярном волновому фронту. В результате угол и угол связаны с углом (углом, определенным в принципе Гюйгенса – Френеля ) как ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (п, г) = 0}$${\ Displaystyle (п, s)}$${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle (п, s) = \ пи - \ чи.}$

Комплексная амплитуда волнового фронта при r ₀ определяется выражением

${\ displaystyle U (r_ {0}) = {\ frac {ae ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}}.}$

Итак, формула дифракции принимает вид

${\ displaystyle U (P) = - {\ frac {i} {2 \ lambda}} {\ frac {ae ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}} \ int _ {S} {\ frac {е ^ {iks}} {s}} (1+ \ cos \ chi) dS}$,

где интеграл ведется по части волнового фронта при r _0, ближайшей к отверстию на диаграмме. Этот интеграл приводит к принципу Гюйгенса – Френеля (с коэффициентом угла наклона ). ${\ displaystyle {\ frac {1+ \ cos \ chi} {2}}}$

При выводе этого интеграла вместо геометрии, изображенной на правой диаграмме, можно использовать двойные сферы с центром в P ₀ с радиусом внутренней сферы r ₀ и бесконечным радиусом внешней сферы. В этой геометрии точка наблюдения P расположена в объеме, заключенном между двумя сферами, поэтому формула дифракции Френеля-Кирхгофа применяется к двум сферам. (Нормаль к этим интегральным поверхностям, скажем, снова направлена ​​к замкнутому объему в приведенной выше формуле дифракции.) В применении формулы интеграл на внешней сфере равен нулю по той же причине, что и интеграл на полусфере, что и ноль выше. .

Расширенный источник

Предположим, что проем освещен протяженной волной источника. Комплексная амплитуда на апертуре определяется как U ₀ ( r ).

Предполагается, как и раньше, что значения и в области A ₁ такие же, как и при отсутствии экрана, что значения и в A ₂ равны нулю (граничные условия Кирхгофа) и что вклад от A ₃ к интегралу также равны нулю. Также предполагается, что 1 / с пренебрежимо мала по сравнению с k . Тогда у нас есть ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial n}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial n}}}$

${\ displaystyle U (P) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {A_ {1}} {\ frac {e ^ {iks}} {s}} \ left [ikU_ {0} (r) \ cos (n, s) - {\ frac {\ partial U_ {0} (r)} {\ partial n}} \ right] \, dS.}$

Это наиболее общая форма дифракционной формулы Кирхгофа. Чтобы решить это уравнение для расширенного источника, потребуется дополнительное интегрирование, чтобы суммировать вклады, вносимые отдельными точками в источнике. Если, однако, мы предположим, что свет от источника в каждой точке апертуры имеет четко определенное направление, что имеет место, если расстояние между источником и апертурой значительно больше, чем длина волны, то мы можем написать

${\ Displaystyle U_ {0} (г) \ приблизительно а (г) е ^ {ikr},}$

где a ( r ) - величина возмущения в точке r отверстия. Тогда у нас есть

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {U_ {0} (r)}} {\ partial n}} = ika (r) \ cos (n, r)}$

и поэтому

${\ displaystyle U (P) = - {\ frac {i} {2 \ lambda}} \ int _ {S} a (r) {\ frac {e ^ {iks}} {s}} [\ cos \ chi + \ cos (n, r)] \, dS.}$

Уравнения дифракции Фраунгофера и Френеля

Несмотря на различные приближения, которые были сделаны при выводе формулы, ее достаточно для описания большинства задач инструментальной оптики. Это происходит главным образом потому, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся препятствий. Аналитические решения невозможны для большинства конфигураций, но уравнение дифракции Френеля и уравнение дифракции Фраунгофера , которые являются приближениями формулы Кирхгофа для ближнего и дальнего полей , можно применять к очень широкому кругу оптических систем.

Одно из важных предположений, сделанных при получении формулы дифракции Кирхгофа, состоит в том, что r и s значительно больше, чем λ. Можно сделать другое приближение, которое еще больше упрощает уравнение: расстояния P ₀ Q и QP намного больше, чем размеры отверстия. Это позволяет сделать еще два приближения:

• cos ( n, r ) - cos ( n, s ) заменяется на 2cos β, где β - угол между P ₀ P и нормалью к отверстию. Фактор 1 / rs заменяется на 1 / r ' s ' , где r ' и s ' - расстояния от P ₀ и P до начала координат, которое находится в апертуре. Тогда комплексная амплитуда становится:
  $${\ displaystyle U (P) = - {\ frac {ia \ cos \ beta} {\ lambda r's '}} \ int _ {S} e ^ {ik (r + s)} \, ds.}$$

  
• Предположим, что отверстие находится в плоскости xy , а координаты P ₀ , P и Q (общая точка в отверстии) равны ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) и ( x ' , y ' , 0) соответственно. Тогда у нас есть:

  ${\ displaystyle ~ r ^ {2} = (x_ {0} -x ') ^ {2} + (y_ {0} -y') ^ {2} + z_ {0} ^ {2},}$

  ${\ displaystyle ~ s ^ {2} = (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2} + z ^ {2},}$

  ${\ displaystyle ~ r '^ {2} = x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + z_ {0} ^ {2},}$

  ${\ displaystyle ~ s '^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Мы можем выразить r и s следующим образом:

${\ displaystyle r = r '\ left [1 - {\ frac {2 (x_ {0} x' + y_ {0} y ')} {r' ^ {2}}} + {\ frac {x '^ {2} + y '^ {2}} {r' ^ {2}}} \ right] ^ {1/2},}$

${\ displaystyle s = s '\ left [1 - {\ frac {2 (xx' + yy ')} {s' ^ {2}}} + {\ frac {x '^ {2} + y' ^ { 2}} {s '^ {2}}} \ right] ^ {1/2}.}$

Их можно расширить до степенных рядов:

${\ displaystyle r = r '\ left [1 - {\ frac {1} {2r' ^ {2}}} [2 (x_ {0} x '+ y_ {0} y') + (x '^ { 2} + y '^ {2})] + {\ frac {1} {2r' ^ {2}}} [2 (x_ {0} x '+ y_ {0} y') + (x '^ { 2} + y '^ {2})] ^ {2} + \ cdots \ right],}$

${\ displaystyle s = s '\ left [1 - {\ frac {1} {2s' ^ {2}}} [2 (xx '+ yy') + (x '^ {2} + y' ^ {2 })] + {\ frac {1} {2s '^ {2}}} [2 (xx' + yy ') + (x' ^ {2} + y '^ {2})] ^ {2} + \ cdots \ right].}$

Комплексную амплитуду в точке P теперь можно выразить как

${\ displaystyle U (P) = - {\ frac {i \ cos \ beta} {\ lambda}} {\ frac {ae ^ {ik (r '+ s')}} {r's '}} \ int _ { S} e ^ {ikf (x ', y')} \, dx'dy ',}$

где f ( x ' , y ' ) включает в себя все члены приведенных выше выражений для s и r, кроме первого члена в каждом выражении, и может быть записано в форме

${\ displaystyle f (x ', y') = c_ {1} x '+ c_ {2} y' + c_ {3} x '^ {2} + c_ {4} y' ^ {2} + c_ { 5} x'y '\ cdots,}$

где c _i - константы.

Фраунгофера дифракция

Если всеми членами в f ( x ' , y ' ) можно пренебречь, кроме членов в x ' и y ' , мы получим уравнение дифракции Фраунгофера . Если направляющие косинусы P ₀ Q и PQ равны

${\ displaystyle {\ begin {align} l_ {0} & = - x_ {0} / r ', \\ m_ {0} & = - y_ {0} / r', \\ l & = x / s ', \\ m & = y / s '. \ end {выровнено}}}$

Тогда уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид

${\ displaystyle U (P) = C \ int _ {S} e ^ {ik [(l_ {0} -l) x '+ (m_ {0} -m) y']} \, dx'dy ', }$

где C - постоянная. Это также можно записать в виде

${\ Displaystyle U (P) = С \ int _ {S} е ^ {я (\ mathbf {k} _ {0} - \ mathbf {k}) \ cdot \ mathbf {r} '} \, dr', }$

где k ₀ и k - волновые векторы волн, распространяющихся от P ₀ к апертуре и от апертуры к P соответственно, а r ' - точка в апертуре.

Если точечный источник заменить протяженным источником, комплексная амплитуда которого на апертуре равна U ₀ ( r ' ), то уравнение дифракции Фраунгофера будет иметь следующий вид:

${\ Displaystyle U (P) \ propto \ int _ {S} a_ {0} (\ mathbf {r} ') e ^ {я (\ mathbf {k} _ {0} - \ mathbf {k}) \ cdot \ mathbf {r} '} \, dr',}$

где a ₀ ( r ' ) - по-прежнему величина возмущения на отверстии.

Помимо приближений, сделанных при выводе уравнения Кирхгофа, предполагается, что

• r и s значительно больше размера апертуры,
• Членами второго и более высокого порядка в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.

Дифракция Френеля

Когда квадратичными членами нельзя пренебречь, но можно всеми членами более высокого порядка, уравнение становится уравнением дифракции Френеля . Используются приближения для уравнения Кирхгофа и дополнительные предположения:

• r и s значительно больше размера апертуры,
• Членами третьего и более высокого порядка в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бейкер, BB; Копсон, ET (1939, 1950). Математическая теория принципа Гюйгенса . Оксфорд.
• Воан, Грэм (2000). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521575072.
• Дж. Гудман (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику . Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
• Группа, Иегуда Б. (2006). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-89931-0.
• Кеньон, Ян (2008). The Light Fantastic: современное введение в классическую и квантовую оптику . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-856646-5.
• Лернер, Рита Г .; Джордж Л., Тригг (1991). Энциклопедия физики . ВЧ. ISBN 978-0-89573-752-6.
• Сибил П., Паркер (1993). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла . McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.