Колмогоровский автоморфизм - Kolmogorov automorphism

В математике , Колмогорова автоморфизм , K -автоморфизмом , K -Shift или K -система является обратимым, сохраняющее меру автоморфизм , определенный на стандартном вероятностном пространстве , подчиняющийся нулевой один закон Колмогорова . Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами (говорят, что они обладают K -свойством ), но не наоборот. Было показано, что многие эргодические динамические системы обладают K -свойством, хотя более поздние исследования показали, что многие из них на самом деле являются автоморфизмами Бернулли.

Хотя определение K -свойства кажется достаточно общим, оно резко отличается от автоморфизма Бернулли. В частности, теорема об изоморфизме Орнштейна неприменима к K -системам, и поэтому энтропии недостаточно для классификации таких систем - существует несчетное количество неизоморфных K -систем с одинаковой энтропией. По сути, коллекция K- систем большая, беспорядочная и неклассифицированная; тогда как B -автоморфизмы «полностью» описываются теорией Орнштейна .

Формальное определение

Позвольте быть стандартным вероятностным пространством , и позвольте быть обратимым, сохраняющим меру преобразованием . Тогда называется K -автоморфизм, K -преобразование или K -Shift, если существует суб- сигма алгебры таких , что следующие три свойства: ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} \ subset {\ mathcal {B}}}$

${\ Displaystyle {\ mbox {(1)}} {\ mathcal {K}} \ subset T {\ mathcal {K}}}$

${\ Displaystyle {\ mbox {(2)}} \ bigvee _ {п = 0} ^ {\ infty} T ^ {n} {\ mathcal {K}} = {\ mathcal {B}}}$

${\ Displaystyle {\ mbox {(3)}} \ bigcap _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {- n} {\ mathcal {K}} = \ {X, \ varnothing \}}$

Здесь символ является объединение сигма - алгебр , а это множество пересечений . Равенство следует понимать как выполняющееся почти везде , то есть различающееся не более чем на множестве нулевой меры . ${\ displaystyle \ vee}$${\ displaystyle \ cap}$

Характеристики

Предполагая, что сигма-алгебра нетривиальна, т. Е. Если , то Отсюда следует, что K -автоморфизмы являются сильным перемешивающим . ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ neq \ {X, \ varnothing \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} \ neq T {\ mathcal {K}}.}$

Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами, но не наоборот .

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кристофер Хоффман, " Контрпримерная машина АК ", Пер. Амер. Математика. Soc. 351 (1999), стр. 4263–4280.