Классическая механика Купмана – фон Неймана - Koopman–von Neumann classical mechanics

В классической статистической механике плотность вероятности (относительно меры Лиувилля ) подчиняется уравнению Лиувилля

$${\ Displaystyle я {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ rho (x, p, t) = {\ hat {L}} \ rho (x, p, t)}$$

$${\ displaystyle {\ hat {L}} = - я {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial p}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + i {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial x}} {\ frac {\ partial} {\ partial p}},}$$

рассматриваемое как дифференциальный оператор первого порядка). То же динамическое уравнение постулируется для волновой функции KvN ${\ Displaystyle Н (х, р)}$${\ displaystyle i}$

$${\ Displaystyle я {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, p, t) = {\ hat {L}} \ psi (x, p, t),}$$

таким образом

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, p, t) = \ left [- {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial p}} { \ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial x}} {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ psi (x, p, t),}$$

и для его комплексно сопряженного

$${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, p, t) = \ left [- {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial p}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial x}} {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ psi ^ {*} (x, p, t).}$$

Из

$${\ Displaystyle \ rho (x, p, t) = \ psi ^ {*} (x, p, t) \ psi (x, p, t)}$$

следует с использованием правила продукта, что

$${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho (x, p, t) = \ left [- {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial p}} { \ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial x}} {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ rho (x, p, t)}$$

что доказывает, что динамику плотности вероятности можно восстановить по волновой функции KvN.

Замечание

Последний шаг этого вывода основан на классическом операторе Лиувилля, содержащем только производные первого порядка по координате и импульсу; это не так в квантовой механике, где уравнение Шредингера содержит производные второго порядка.

Вышеупомянутые аксиомы (i) - (iv) со скалярным произведением, записанным в скобках-обозначениях , следующие:

1. ${\ Displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = 1}$,
2. Ожидаемое значение наблюдаемой в момент времени равно${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ langle A (t) \ rangle = \ langle \ Psi (t) | {\ hat {A}} | \ Psi (t) \ rangle.}$
3. Вероятность того, что измерение наблюдаемой при времени урожайности является , где . (Эта аксиома является аналогом правила Борна в квантовой механике.)${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ left | \ langle A | \ Psi (t) \ rangle \ right | ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} | A \ rangle = A | A \ rangle}$
4. (см. Тензорное произведение гильбертовых пространств ).

Начнем со следующих уравнений для математических ожиданий координаты x и импульса p

${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \ qquad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ langle -U '( x) \ rangle,}$

ака, законы движения Ньютона, усредненные по ансамблю. С помощью аксиом операторов их можно переписать в виде

${\ displaystyle {\ begin {align} m {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {x}} | \ Psi (t) \ rangle & = \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {p}} | \ Psi (t) \ rangle, \\ {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {p}} | \ Psi ( t) \ rangle & = \ langle \ Psi (t) | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi (t) \ rangle. \ end {align}}}$

Обратите внимание на близкое сходство с теоремами Эренфеста в квантовой механике. Применение правила продукта приводит к

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ langle d \ Psi / dt | {\ hat {x}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {x}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | {\ hat {p}} / m | \ Psi \ rangle, \\\ langle d \ Psi / dt | {\ hat {p}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {p}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {align}}}$

в которую подставляем следствие теоремы Стоуна и получаем ${\ Displaystyle я | d \ Psi (t) / dt \ rangle = {\ hat {L}} | \ Psi (t) \ rangle}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} им \ langle \ Psi (t) | [{\ hat {L}}, {\ hat {x}}] | \ Psi (t) \ rangle & = \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {p}} | \ Psi (t) \ rangle, \\ i \ langle \ Psi (t) | [{\ hat {L}}, {\ hat {p}}] | \ Psi (t) \ rangle & = - \ langle \ Psi (t) | U '({\ hat {x}}) | \ Psi (t) \ rangle. \ end {align}}}$

Так как эти тождества должны быть справедливы для любого начального состояния, усреднение может быть отброшено и система коллекторных уравнений для неизвестного выводятся ${\ displaystyle {\ hat {L}}}$

${\ displaystyle im [{\ hat {L}}, {\ hat {x}}] = {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {L}}, {\ hat {p}}] = -U '({\ hat {x}}).}$

( коммутатор Eqs для L )

Предположим, что координата и импульс коммутируют . ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = 0}$Это предположение физически означает, что координата и импульс классической частицы могут быть измерены одновременно, что подразумевает отсутствие принципа неопределенности .

Решение не может быть просто формы, потому что оно подразумевает сокращения и . Следовательно, мы должны использовать дополнительные операторы и подчиняться ${\ displaystyle {\ hat {L}}}$${\ displaystyle {\ hat {L}} = L ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$${\ displaystyle im [L ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}), {\ hat {x}}] = 0 = {\ hat {p}}}$${\ displaystyle i [L ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}), {\ hat {p}}] = 0 = -U '({\ hat {x}})}$${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {p}}$

${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {\ lambda}} _ {x}] = [{\ hat {p}}, {\ hat {\ lambda}} _ {p}] = я , \ quad [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = [{\ hat {x}}, {\ hat {\ lambda}} _ {p}] = [{\ hat {p }}, {\ hat {\ lambda}} _ {x}] = [{\ hat {\ lambda}} _ {x}, {\ hat {\ lambda}} _ {p}] = 0.}$

( Алгебра КВН )

Необходимость использования этих вспомогательных операторов возникает потому, что все классические наблюдаемые коммутируют. Теперь ищем по форме . Используя алгебру KvN , уравнения коммутатора для L можно преобразовать в следующие дифференциальные уравнения ${\ displaystyle {\ hat {L}}}$${\ displaystyle {\ hat {L}} = L ({\ hat {x}}, {\ hat {\ lambda}} _ {x}, {\ hat {p}}, {\ hat {\ lambda}}) _{п})}$

${\ displaystyle mL '_ {\ lambda _ {x}} (x, \ lambda _ {x}, p, \ lambda _ {p}) = p, \ qquad L' _ {\ lambda _ {p}} ( x, \ lambda _ {x}, p, \ lambda _ {p}) = - U '(x).}$

Отсюда мы заключаем, что классическая волновая функция KvN эволюционирует в соответствии с уравнением движения типа Шредингера ${\ Displaystyle | \ пси (т) \ rangle}$

${\ displaystyle i {\ frac {d} {dt}} | \ Psi (t) \ rangle = {\ hat {L}} | \ Psi (t) \ rangle, \ qquad {\ hat {L}} = { \ frac {\ hat {p}} {m}} {\ hat {\ lambda}} _ {x} -U '({\ hat {x}}) {\ hat {\ lambda}} _ {p}. }$

( KvN динамическое уравнение )

Покажем явно, что динамическое уравнение KvN эквивалентно классической механике Лиувилля .

Поскольку и коммутируют, они имеют общие собственные векторы${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle {\ hat {p}}}$

${\ displaystyle {\ hat {x}} | x, p \ rangle = x | x, p \ rangle, \ quad {\ hat {p}} | x, p \ rangle = p | x, p \ rangle, \ quad A ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}) | x, p \ rangle = A (x, p) | x, p \ rangle,}$

( xp eigenvec )

с разрешением единицы Тогда из уравнения ( алгебра KvN ) получаем${\ displaystyle 1 = \ int dxdp \, | x, p \ rangle \ langle x, p |.}$

${\ Displaystyle \ langle x, p | {\ hat {\ lambda}} _ {x} | \ Psi \ rangle = -i {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ langle x, p | \ Psi \ rangle, \ qquad \ langle x, p | {\ hat {\ lambda}} _ {p} | \ Psi \ rangle = -i {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ langle x, p | \ Psi \ rangle.}$

Проецируя уравнение ( динамическое уравнение KvN ) на , получаем уравнение движения для волновой функции KvN в xp-представлении ${\ displaystyle \ langle x, p |}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {p} {m}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - U '(x) { \ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle = 0.}$

( Динамическое уравнение KvN в xp )

Величина - это амплитуда вероятности того, что классическая частица окажется в точке с импульсом в момент времени . Согласно аксиомам, приведенным выше , плотность вероятности определяется выражением . Использование идентичности ${\ Displaystyle \ langle х, \, п | \ пси (т) \ rangle}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ rho (x, p; t) = \ left | \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \ right | ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ rho (x, p; t) = \ langle \ Psi (t) | x, p \ rangle {\ frac {\ partial} {\ partial t }} \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle + \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \ right) ^ {*}}$

а также ( динамическое уравнение KvN в xp ), мы восстанавливаем классическое уравнение Лиувилля

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {p} {m}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - U '(x) { \ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ rho (x, p; t) = 0.}$

( Уравнение Лиувилля )

Более того, согласно аксиомам операторов и ( xp eigenvec ),

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ langle A \ rangle & = \ langle \ Psi (t) | A ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}) | \ Psi (t) \ rangle = \ int dxdp \, \ langle \ Psi (t) | x, p \ rangle A (x, p) \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \\ & = \ int dxdp \, A (x , p) \ langle \ Psi (t) | x, p \ rangle \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle = \ int dxdp \, A (x, p) \ rho (x, p; t) . \ end {выровнено}}}$

Таким образом, правило вычисления средних значений наблюдаемых в классической статистической механике было восстановлено из операторных аксиом с дополнительным предположением . В результате фаза классической волновой функции не влияет на наблюдаемые средние. В отличие от квантовой механики, фаза волновой функции KvN физически не имеет значения. Таким образом, в механике KvN установлено отсутствие эксперимента с двумя щелями, а также эффекта Ааронова – Бома . ${\ Displaystyle А (х, р)}$${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = 0}$

Проецируя динамическое уравнение KvN на общий собственный вектор операторов и (т. Е. -Представления), мы получаем классическую механику в двойном конфигурационном пространстве, обобщение которой приводит к формулировке квантовой механики в фазовом пространстве . ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {p}}$${\ displaystyle x \ lambda _ {p}}$

Как и при выводе классической механики , мы начнем со следующих уравнений для средних значений координаты x и импульса p

${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \ qquad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ langle -U '( x) \ rangle.}$

С помощью аксиом операторов их можно переписать в виде

${\ displaystyle {\ begin {align} m {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {x}} | \ Psi (t) \ rangle & = \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {p}} | \ Psi (t) \ rangle, \\ {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {p}} | \ Psi ( t) \ rangle & = \ langle \ Psi (t) | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi (t) \ rangle. \ end {align}}}$

Это теоремы Эренфеста в квантовой механике. Применение правила продукта приводит к

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ langle d \ Psi / dt | {\ hat {x}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {x}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | {\ hat {p}} / m | \ Psi \ rangle, \\\ langle d \ Psi / dt | {\ hat {p}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {p}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {align}}}$

в которое мы подставляем следствие теоремы Стоуна

${\ Displaystyle я \ hbar | д \ пси (т) / дт \ рангл = {\ шляпа {Н}} | \ пси (т) \ рангл,}$

где введена как нормировочная константа, чтобы сбалансировать размерность. Так как эти тождества должны быть справедливы для любого начального состояния, усреднение может быть отброшено и система коллекторных уравнений для неизвестного квантового генератора движений являются производным ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

${\ displaystyle im [{\ hat {H}}, {\ hat {x}}] = \ hbar {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {H}}, {\ hat {p} }] = - \ hbar U '({\ hat {x}}).}$

В отличие от классической механики , мы предполагаем, что наблюдаемые координаты и импульс подчиняются каноническому коммутационному соотношению . Установив , уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = я \ hbar}$${\ displaystyle {\ hat {H}} = H ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$

${\ displaystyle mH '_ {p} (x, p) = p, \ qquad H' _ {x} (x, p) = U '(x),}$

решением которой является известный квантовый гамильтониан

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + U ({\ hat {x}}).}$

Следовательно, уравнение Шредингера было выведено из теорем Эренфеста, предполагая каноническое коммутационное соотношение между координатой и импульсом. Этот вывод, а также вывод классической механики KvN показывает, что разница между квантовой и классической механикой по существу сводится к значению коммутатора . ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}]}$