Дельта Кронекера - Kronecker delta

В математике , то Кронекера (названный в честь Леопольда Кронекера ) является функцией двух переменных , как правило , только неотрицательных целых чисел . Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае:

{\ displaystyle \ delta _ {ij} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} i \ neq j, \\ 1 & {\ text {if}} i = j. \ end {cases}}}

или с использованием скобок Айверсона :

{\ Displaystyle \ дельта _ {ij} = [я = j] \,}

где символ Кронекера $δ ij$ является кусочной функцией переменных $i$ и $j$ . Например, $δ 1 2 = 0$ , тогда как $δ 3 3 = 1$ .

Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики и инженерии как средство компактного выражения своего определения, приведенного выше.

В линейной алгебре , то $п х п$ матрица $I$ имеет записи , равный Кронекер:

{\ displaystyle I_ {ij} = \ delta _ {ij}}

где $я$ и $J$ принимают значения $1, 2, ..., п$ и скалярное произведение из векторов можно записать в виде

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {i} \ delta _ {ij} b_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i}.}

Здесь евклидовы векторы определены как $n$ -наборы: и, и последний шаг получается путем использования значений дельты Кронекера для уменьшения суммирования по $j$ . ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {1}, b_ {2}, ..., b_ {n})}$

Ограничение на положительные или неотрицательные целые числа является обычным явлением, но на самом деле дельта Кронекера может быть определена на произвольном множестве.

Характеристики

Удовлетворены следующие уравнения:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {j} \ delta _ {ij} a_ {j} & = a_ {i}, \\\ sum _ {i} a_ {i} \ delta _ {ij} & = a_ {j}, \\\ sum _ {k} \ delta _ {ik} \ delta _ {kj} & = \ delta _ {ij}. \ end {align}}}

Следовательно, матрицу $δ$ можно рассматривать как единичную матрицу.

Еще одно полезное представление - это следующая форма:

{\ displaystyle \ delta _ {nm} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} e ^ {2 \ pi i {\ frac {k} {N}} ( нм)}}

Это можно вывести, используя формулу для конечного геометрического ряда .

Альтернативная нотация

Используя скобку Айверсона :

{\ displaystyle \ delta _ {ij} = [i = j].}

Часто используется запись с одним аргументом $δ i$ , что эквивалентно установке $j = 0$ :

{\ displaystyle \ delta _ {i} = {\ begin {cases} 0, & {\ mbox {if}} i \ neq 0 \\ 1, & {\ mbox {if}} i = 0 \ end {cases} }}

В линейной алгебре его можно рассматривать как тензор , и он записывается как $δ я j$ . Иногда дельту Кронекера называют тензором подстановки.

Цифровая обработка сигналов

Функция единичного образца

При изучении цифровой обработки сигналов (DSP) функция единичной выборки представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера, где индексы Кронекера включают число ноль, а один из индексов равен нулю. В таком случае: ${\ displaystyle \ delta [n]}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

{\ Displaystyle \ дельта [п] \ эквив \ дельта _ {п0} \ эквив \ дельта _ {0n} ~~~ {\ текст {где}} - \ infty <п <\ infty}

Или, в более общем смысле, где:

{\ Displaystyle \ дельта [nk] \ эквив \ дельта [kn] \ эквив \ дельта _ {nk} \ эквив \ дельта _ {kn} {\ текст {где}} - \ infty <п <\ infty, - \ infty <к <\ infty}

Однако это только очень частный случай. В тензорном исчислении базисные векторы в конкретном измерении чаще нумеруются, начиная с индекса 1, а не с индекса 0. В этом случае отношения не существует, и фактически дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки действительно разные функции, которые случайно перекрываются в одном конкретном случае, когда индексы включают число 0, количество индексов равно 2, а один из индексов имеет нулевое значение. ${\ Displaystyle \ дельта [п] \ эквив \ дельта _ {п0} \ эквив \ дельта _ {0n}}$

В то время как функция дискретной единичной выборки и дельта-функция Кронекера используют одну и ту же букву, они различаются следующими способами. Для функции дискретной единичной выборки более условно помещать единственный целочисленный индекс в квадратные скобки, в отличие от дельты Кронекера, которая может иметь любое количество индексов. Кроме того, цель дискретной единичной выборочной функции отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция дискретной единичной выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет производиться на выходе системы. Напротив, типичной целью дельта-функции Кронекера является фильтрация членов из соглашения Эйнштейна о суммировании .

Функция дискретной единичной выборки проще определить как:

{\ displaystyle \ delta [n] = {\ begin {cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n {\ text {- другое целое число}} \ end {cases}}}

Кроме того, в DSP есть функция, называемая дельта-функцией Дирака , которую часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:

{\ displaystyle \ delta (t) = {\ begin {cases} \ infty & t = 0 \\ 0 & t {\ text {- еще одно настоящее}} \ end {cases}}}

В отличие от дельта-функции Кронекера и функции единичной выборки , дельта-функция Дирака не имеет целочисленного индекса, она имеет одно непрерывное нецелое значение t. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta [n]}$ ${\ Displaystyle \ дельта (т)}$

Чтобы еще больше запутать ситуацию, функция единичного импульса иногда используется для обозначения либо дельта-функции Дирака , либо функции единичной выборки . ${\ Displaystyle \ дельта (т)}$ ${\ displaystyle \ delta [n]}$

Свойства дельта-функции

Дельта Кронекера обладает так называемым свойством просеивания, что для $j \in ℤ$ :

{\ displaystyle \ sum _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {i} \ delta _ {ij} = a_ {j}.}

и если целые числа рассматриваются как пространство меры , наделенное счетной мерой , то это свойство совпадает с определяющим свойством дельта-функции Дирака

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xy) f (x) \, dx = f (y),}

и фактически дельта Дирака была названа в честь дельты Кронекера из-за этого аналогичного свойства. В обработке сигналов обычно контекст (дискретное или непрерывное время) отличает «функции» Кронекера и Дирака. По соглашению, $δ (t)$ обычно обозначает непрерывное время (Дирак), тогда как такие аргументы, как $i$ , $j$ , $k$ , $l$ , $m$ и $n$ , обычно зарезервированы для дискретного времени (Кронекер). Другой распространенной практикой является представление дискретных последовательностей в квадратных скобках; таким образом: $δ [n]$ . Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака.

Кронекера образует мультипликативный единичный элемент в качестве инцидентности алгебры .

Связь с дельта-функцией Дирака

В теории вероятностей и статистике дельта Кронекера и дельта-функция Дирака могут использоваться для представления дискретного распределения . Если носитель распределения состоит из точек $x = {x 1, ..., x n}$ с соответствующими вероятностями $p 1, ..., p n$ , то функция массы вероятностей $p (x)$ распределения по $x$ можно записать, используя дельту Кронекера, как

{\ displaystyle p (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ delta _ {xx_ {i}}.}

Эквивалентно, функция плотности вероятности $f (x)$ распределения может быть записана с использованием дельта-функции Дирака как

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ delta (x-x_ {i}).}

При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть в результате выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и в идеале проходит фильтрацию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) в соответствии с теоремой Найквиста – Шеннона , результирующий сигнал в дискретном времени будет дельта-функцией Кронекера.

Обобщения

Если рассматривать его как тензор типа $(1,1),$ тензор Кронекера можно записать в виде $δ я j$ с ковариантным индексом $j$ и контравариантным индексом $i$ :

{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} = {\ begin {cases} 0 & (i \ neq j), \\ 1 & (i = j). \ end {cases}}}

Этот тензор представляет:

Единичное отображение (или единичная матрица), рассматриваемое как линейное отображение $V \to V$ или $V * \to V *$
Следа или тензор сжатия , рассматривать как отображение $V * \otimes V \to K$
Отображение $K \to V * \otimes V$ , представляющее скалярное умножение как сумму внешних произведений .

В обобщенная дельта Кронекера илимультииндексная дельта Кронекерапорядка $2 p$ - этотензортипа $(p, p),$ который полностьюантисимметриченв своих $p$ верхних индексах, а также в своих $p$ нижних индексах.

Два определения, различающиеся в $p раз!$ уже используются. Ниже представлена версия с ненулевыми компонентами, масштабируемыми до $\pm 1$ . Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые равны $±.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/п !$ , с последующими изменениями коэффициентов масштабирования в формулах, таких как коэффициенты масштабирования $1 / п!$ в § Исчезающие снизу свойства обобщенной дельты Кронекера .

Определения обобщенной дельты Кронекера

В терминах индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как:

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} = {\ begin {cases} + 1 & \ quad {\ text {if}} \ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p} {\ text {- разные целые числа и представляют собой четную перестановку}} \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p} \\ - 1 & \ quad {\ text {if}} \ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p} {\ text {- разные целые числа и представляют собой нечетную перестановку}} \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p} \\\; \; 0 & \ quad {\ text {во всех остальных случаях}}. \ end {cases}}}

Пусть $S p$ - симметрическая группа степени $p$ , тогда:

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} = \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {S} _ {p}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \, \ delta _ {\ nu _ {\ sigma (1)}} ^ {\ mu _ {1}} \ cdots \ delta _ {\ nu _ {\ sigma (p)}} ^ {\ mu _ {p}} = \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {S} _ {p}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \, \ delta _ {\ nu _ {1}} ^ {\ mu _ {\ sigma (1)}} \ cdots \ delta _ {\ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {\ sigma (p)}}. }

Использование антисимметризации :

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} = p! \ delta _ {\ lbrack \ nu _ {1}} ^ {\ mu _ {1}} \ dots \ delta _ {\ nu _ {p} \ rbrack} ^ {\ mu _ {p}} = p! \ Delta _ {\ nu _ {1 }} ^ {\ lbrack \ mu _ {1}} \ dots \ delta _ {\ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {p} \ rbrack}.}

В терминах определителя $p \times p$ :

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} = {\ begin {vmatrix} \ delta _ { \ nu _ {1}} ^ {\ mu _ {1}} & \ cdots & \ delta _ {\ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ delta _ {\ nu _ {1}} ^ {\ mu _ {p}} & \ cdots & \ delta _ {\ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {p}} \ end {vmatrix }}.}

Используя разложение Лапласа ( формула Лапласа ) определителя, она может быть определена рекурсивно :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} & = \ sum _ {k = 1} ^ {p} (- 1) ^ {p + k} \ delta _ {\ nu _ {k}} ^ {\ mu _ {p}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ точки {\ check {\ nu}} _ {k} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {k} \ dots {\ check {\ mu}} _ { p}} \\ & = \ delta _ {\ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {p}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p-1}} ^ { \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p-1}} - \ sum _ {k = 1} ^ {p-1} \ delta _ {\ nu _ {k}} ^ {\ mu _ {p }} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {k-1} \, \ nu _ {p} \, \ nu _ {k + 1} \ dots \ nu _ {p-1} } ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {k-1} \, \ mu _ {k} \, \ mu _ {k + 1} \ dots \ mu _ {p-1}}, \ конец {выровнен}}}

где $гачеком,$ указывает индекс , который опускается из последовательности.

Когда $p = n$ (размерность векторного пространства), в терминах символа Леви-Чивиты :

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {n}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {n}} = \ varepsilon ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {n}} \ varepsilon _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {n}}.}

Свойства обобщенной дельты Кронекера

Обобщенная дельта Кронекера может использоваться для антисимметризации :

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {p!}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} a ^ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} & = a ^ {\ lbrack \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p} \ rbrack}, \ \ {\ frac {1} {p!}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} a_ { \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} & = a _ {\ lbrack \ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p} \ rbrack}. \ end {align}}}

Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричных тензоров мы можем вывести свойства обобщенной дельты Кронекера:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {p!}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} a ^ {\ lbrack \ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p} \ rbrack} & = a ^ {\ lbrack \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p} \ rbrack}, \\ {\ frac {1} {p!}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p }} a _ {\ lbrack \ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p} \ rbrack} & = a _ {\ lbrack \ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p} \ rbrack}, \\ { \ frac {1} {p!}} \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}} \ delta _ { \ rho _ {1} \ dots \ rho _ {p}} ^ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {p}} & = \ delta _ {\ rho _ {1} \ dots \ rho _ { p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {p}}, \ end {align}}}

которые являются обобщенной версией формул, записанных в § Свойства . Последняя формула эквивалентна формуле Коши – Бине .

Уменьшение порядка путем суммирования показателей может быть выражено тождеством

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {s} \, \ mu _ {s + 1} \ dots \ mu _ {p}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {s} \, \ mu _ {s + 1} \ dots \ mu _ {p}} = {\ frac {(ns)!} {(np)!}} \ delta _ {\ nu _ { 1} \ dots \ nu _ {s}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {s}}.}

Используя как правило суммирования для случая $p = n, так$ и связь с символом Леви-Чивиты, выводится правило суммирования символа Леви-Чивита :

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {s}} ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {s}} = {\ frac {1} {(ns) !}} \ varepsilon ^ {\ mu _ {1} \ dots \ mu _ {s} \, \ rho _ {s + 1} \ dots \ rho _ {n}} \ varepsilon _ {\ nu _ {1} \ dots \ nu _ {s} \, \ rho _ {s + 1} \ dots \ rho _ {n}}.}

Четырехмерная версия последнего соотношения появляется в спинорном подходе Пенроуза к общей теории относительности, который он позже обобщил, когда разрабатывал диаграммы Эйткена, чтобы стать частью техники графической записи Пенроуза . Кроме того, это отношение широко используется в теориях S-двойственности , особенно когда они написаны на языке дифференциальных форм и двойственных по Ходжу .

Интегральные представления

Для любого целого числа $n$ , используя стандартное вычисление остатка, мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла ниже, где контур интеграла идет вокруг нуля против часовой стрелки. Это представление также эквивалентно определенному интегралу поворотом в комплексной плоскости.

{\ displaystyle \ delta _ {x, n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {| z | = 1} z ^ {xn-1} \, dz = {\ frac { 1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {i (xn) \ varphi} \, d \ varphi}

Расческа Кронекера

Гребневая функция Кронекера с периодом $N$ определяется (в нотации DSP ) как:

{\ displaystyle \ Delta _ {N} [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta [n-kN],}

где $N$ и $n$ - целые числа. Таким образом, гребенка Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов, разделенных на $N$ единиц, и включает единичный импульс в нуле. Его можно рассматривать как дискретный аналог гребенки Дирака .

Интеграл Кронекера

Дельта Кронекера также называется степенью отображения одной поверхности в другую. Предположим, что отображение имеет место с поверхности $S uvw$ на $S xyz,$ которые являются границами областей, $R uvw$ и $R xyz,$ которые просто связаны взаимно однозначным соответствием. В этом контексте, если $ы$ и $т$ представляют собой параметры для $S UVW$ , и $S UVW$ к $S UVW$ каждый из ориентированного на внешней нормали $п$ :

{\ Displaystyle и = и (s, t), \ четырехъядерных v = v (s, t), \ четырехъядерных w = w (s, t),}

в то время как нормаль имеет направление

{\ displaystyle (u_ {s} \ mathbf {i} + v_ {s} \ mathbf {j} + w_ {s} \ mathbf {k}) \ times (u_ {t} \ mathbf {i} + v_ {t } \ mathbf {j} + w_ {t} \ mathbf {k}).}

Пусть $x = x (u, v, w)$ , $y = y (u, v, w)$ , $z = z (u, v, w)$ определены и гладкие в области, содержащей $S uvw$ , и пусть эти уравнения определяют отображение $S uvw$ на $S xyz$ . Тогда степень отображения $δ$ равна $1 / 4π$ раз телесный угол изображения $S$ из $S UVW$ по отношению к внутренней точке $S хуга$ , $O$ . Если $O$ - начало области $R xyz$ , то степень $δ$ определяется интегралом:

{\ displaystyle \ delta = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iint _ {R_ {st}} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {3} {2}}} {\ begin {vmatrix} x & y & z \\ {\ frac {\ partial x} {\ partial s}} & {\ frac {\ partial y} {\ partial s }} & {\ frac {\ partial z} {\ partial s}} \\ {\ frac {\ partial x} {\ partial t}} & {\ frac {\ partial y} {\ partial t}} & { \ frac {\ partial z} {\ partial t}} \ end {vmatrix}} \, ds \, dt.}

Смотрите также

использованная литература

^ Троубриджа, JH (1998). «О методике измерения турбулентных касательных напряжений при наличии поверхностных волн» . Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T . DOI : 10,1175 / 1520-0426 (1998) 015 <0290: OATFMO> 2.0.CO; 2 .
^ Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности , Чистая и прикладная математика, 206 , Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8.
^ Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF) .
^ Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601.
Перейти ↑ Agarwal, DC (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан СМИ.
^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
^ Рекурсивное определение требует первого случая, который может быть взят как $δ = 1$ для $p = 0$ , или, альтернативно, $δ μ ν = δ μ ν$ для $p = 1$ (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).
^ Хасани, Sadri (2008). Математические методы: для студентов, изучающих физику и смежные специальности (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
^ Пенроуз, Роджер (июнь 1960). «Спинорный подход к общей теории относительности» . Летопись физики . 10 (2): 171–201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X .
^ Эйткен, Александр Крейг (1958). Детерминанты и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.
^ Роджер Пенроуз , "Приложения тензоров отрицательной размерности", в Комбинаторной математике и ее приложениях , Academic Press (1971).
^ Каплан, Уилфред (2003). Расширенный расчет . Pearson Education. п. 364. ISBN 0-201-79937-5.

[Trowbridge-1] Троубриджа, JH (1998). «О методике измерения турбулентных касательных напряжений при наличии поверхностных волн» . Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T . DOI : 10,1175 / 1520-0426 (1998) 015 <0290: OATFMO> 2.0.CO; 2 .

[2] Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности , Чистая и прикладная математика, 206 , Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8.

[3] Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF) .

[4] Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601.

[5] Перейти ↑ Agarwal, DC (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан СМИ.

[6] Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.

[7] Рекурсивное определение требует первого случая, который может быть взят как $δ = 1$ для $p = 0$ , или, альтернативно, $δ μ ν = δ μ ν$ для $p = 1$ (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).

[8] Хасани, Sadri (2008). Математические методы: для студентов, изучающих физику и смежные специальности (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.

[9] Пенроуз, Роджер (июнь 1960). «Спинорный подход к общей теории относительности» . Летопись физики . 10 (2): 171–201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X .

[10] Эйткен, Александр Крейг (1958). Детерминанты и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.

[11] Роджер Пенроуз , "Приложения тензоров отрицательной размерности", в Комбинаторной математике и ее приложениях , Academic Press (1971).

[12] Каплан, Уилфред (2003). Расширенный расчет . Pearson Education. п. 364. ISBN 0-201-79937-5.

Languages

In other projects