Метрика Леви – Прохорова - Lévy–Prokhorov metric

В математике , то метрика Леви Прохор (иногда называют просто как метрика Прохорова ) является метрика (т.е. определение расстояния) на сборе вероятностных мер на заданном метрическом пространстве . Он назван в честь французского математика Поля Леви и советского математика Юрия Васильевича Прохорова ; Прохоров ввел ее в 1956 г. как обобщение более ранней метрики Леви .

Определение

Позвольте быть метрическим пространством с его борелевской сигма-алгеброй . Обозначим через набор всех вероятностных мер на измеримом пространстве . ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (М)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (М)}$ ${\ Displaystyle (М, {\ mathcal {B}} (М))}$

Для подмножества , определим е-окрестность из по ${\ displaystyle A \ substeq M}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle A ^ {\ varepsilon}: = \ {p \ in M ​​~ | ~ \ существует q \ in A, \ d (p, q) <\ varepsilon \} = \ bigcup _ {p \ in A} B_ {\ varepsilon} (p).}$

где - открытый шар радиуса с центром в . ${\ Displaystyle B _ {\ varepsilon} (p)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle p}$

Метрики Леви-Прохоров определяются путем установки расстояния между двумя вероятностными мерами и будет ${\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {P}} (M) ^ {2} \ to [0, + \ infty)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ pi (\ mu, \ nu): = \ inf \ left \ {\ varepsilon> 0 ~ | ~ \ mu (A) \ leq \ nu (A ^ {\ varepsilon}) + \ varepsilon \ {\ текст {и}} \ \ nu (A) \ leq \ mu (A ^ {\ varepsilon}) + \ varepsilon \ {\ text {для всех}} \ A \ in {\ mathcal {B}} (M) \ право\}.}$

Для вероятностных мер ясно . ${\ Displaystyle \ пи (\ му, \ ню) \ leq 1}$

Некоторые авторы опускают одно из двух неравенств или выбирают только открытое или закрытое ; любое неравенство подразумевает другое, и , но ограничение открытыми наборами может изменить определенную таким образом метрику (если она не польская ). ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle ({\ bar {A}}) ^ {\ varepsilon} = A ^ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle M}$

Свойства

• Если оно сепарабельно , сходимость мер в метрике Леви – Прохорова равносильна слабой сходимости мер . Таким образом, является метризацией топологии слабой сходимости на .${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (М)}$
• Метрическое пространство является отделимы тогда и только тогда , когда отделимо.${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {P}} (M), \ pi \ right)}$ ${\ displaystyle (M, d)}$
• Если это полное , то завершено. Если все меры имеют сепарабельный носитель , то имеет место и обратная импликация: если полно, то полно. В частности, это так, если оно отделимо.${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {P}} (M), \ pi \ right)}$${\ displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (М)}$${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {P}} (M), \ pi \ right)}$${\ displaystyle (M, d)}$
• Если отделимо и полное подмножество является относительно компактным тогда и только тогда , когда его -замыкание -compact.${\ displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} \ substeq {\ mathcal {P}} (M)}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Смотрите также

• Метрика Леви
• Теорема Прохорова
• Жесткость мер
• слабая сходимость мер
• Метрика Вассерштейна
• Радоновое расстояние

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-471-19745-9. OCLC  41238534 .
• Золотарев, В.М. (2001) [1994], "Метрика Леви – Прохорова" , Энциклопедия математики , EMS Press