Цепь LC - LC circuit

Принципиальная схема LC
LC-цепь (слева), состоящая из ферритовой катушки и конденсатора, используемая в качестве настроенной цепи в приемнике для радиочасов.

LC - контур , также называемый резонансный контур , контур или колебательный контур , представляет собой электрическую цепь , состоящую из катушки индуктивности , представлено буквой L, а конденсатор , представленный буквой C, соединены вместе. Схема может действовать как электрический резонатор , электрический аналог камертона , накапливая энергию, колеблющуюся на резонансной частоте схемы .

LC-схемы используются либо для генерации сигналов с определенной частотой, либо для выделения сигнала с определенной частотой из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром . Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, особенно радиооборудования, используемого в таких схемах, как генераторы , фильтры , тюнеры и смесители частот .

LC-цепь является идеальной моделью, поскольку предполагает, что энергия не рассеивается из-за сопротивления . Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери из-за небольшого, но ненулевого сопротивления в компонентах и ​​соединительных проводах. Целью LC-контура обычно является колебание с минимальным демпфированием , поэтому сопротивление должно быть как можно более низким. Хотя ни одна практическая схема не обходится без потерь, тем не менее поучительно изучить эту идеальную форму схемы, чтобы получить понимание и физическую интуицию. Для модели схемы, включающей сопротивление, см. Схему RLC .

Терминология

Описанная выше двухэлементная LC-цепь представляет собой простейший тип индукторно-конденсаторной сети (или LC -цепи ). Его также называют LC-цепью второго порядка, чтобы отличать ее от более сложных (более высокого порядка) LC- цепей с большим количеством катушек индуктивности и конденсаторов. Такие LC-сети с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты .

Порядок сети - это порядок рациональной функции, описывающей сеть, в переменной комплексной частоты s . Как правило, порядок равен количеству элементов L и C в схеме и ни в коем случае не может превышать это количество.

Операция

Анимированная диаграмма, показывающая работу настроенной цепи (LC-цепь). Конденсатор C накапливает энергию в своем электрическом поле E, а индуктор L накапливает энергию в своем магнитном поле B ( зеленый ) . Анимация показывает схему в прогрессивных точках колебания. Колебания замедляются; в реальной настроенной цепи заряд может колебаться назад и вперед от тысяч до миллиардов раз в секунду.

LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может накапливать электрическую энергию . Смотрите анимацию. Конденсатор накапливает энергию в электрическом поле ( E ) между пластинами, в зависимости от напряжения на нем, а индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле ( B ) в зависимости от протекающего через него тока .

Если катушка индуктивности подключена к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет пропускать ток через катушку индуктивности, создавая вокруг нее магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется текущим током. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, потому что индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начать перезаряжать конденсатор напряжением, противоположным полярности его первоначального заряда. В связи с законом Фарадея , то ЭДС , который приводит в действие тока обусловлено уменьшением в магнитном поле, таким образом , энергия , необходимая для зарядки конденсатора извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова сохраняется в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, и ток будет течь в обратном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через катушку индуктивности. Энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности до тех пор, пока внутреннее сопротивление (если не восполняется из внешней цепи) не заставит колебания затухнуть. Действие настроенной схемы, математически известной как гармонический осциллятор , похоже на маятник, раскачивающийся взад и вперед, или плеск воды в баке; по этой причине контур также называют контуром резервуара . Собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться, когда он изолирован от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве приложений настроенная схема является частью более крупной схемы, которая применяет к ней переменный ток , вызывая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой схемы ( собственная частота ниже), произойдет резонанс , и небольшой управляющий ток может вызвать колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных схемах электронного оборудования колебания происходят очень быстро, от тысяч до миллиардов раз в секунду.

Резонансный эффект

Резонанс возникает, когда LC-цепь возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω 0, при которой индуктивное и емкостное сопротивление равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретной цепи, называется резонансной частотой. Резонансная частота контура LC является

где L - индуктивность в генри , а C - емкость в фарадах . Угловая частота ω 0 имеет единицы радиан в секунду.

Эквивалентная частота в герцах равна

Приложения

Резонансный эффект LC-контура имеет много важных применений в системах обработки сигналов и связи.

  • Наиболее распространенное применение танковых схем - настройка радиопередатчиков и приемников. Например, при настройке радио на конкретную станцию ​​LC-контуры устанавливаются в резонанс для этой конкретной несущей частоты .
  • Последовательный резонансный контур обеспечивает увеличение напряжения .
  • Параллельный резонансный контур обеспечивает увеличение тока .
  • Параллельный резонансный контур можно использовать в качестве сопротивления нагрузки в выходных цепях ВЧ усилителей. Из-за высокого импеданса коэффициент усиления усилителя максимален на резонансной частоте.
  • В индукционном нагреве используются как параллельные, так и последовательные резонансные цепи .

LC-схемы действуют как электронные резонаторы , которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:

Решение во временной области

Законы Кирхгофа

По закону Кирхгофа напряжение V C на конденсаторе плюс напряжение V L на катушке индуктивности должно равняться нулю:

Точно так же по закону Кирхгофа ток через конденсатор равен току через катушку индуктивности:

Из определяющих соотношений для элементов схемы мы также знаем, что

Дифференциальное уравнение

Преобразование и подстановка дает дифференциальное уравнение второго порядка

Параметр ω 0 , резонансная угловая частота , определяется как

Используя это, можно упростить дифференциальное уравнение:

Соответствующее преобразование Лапласа имеет вид

таким образом

где j - мнимая единица .

Решение

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения есть

и может быть решена для A и B с учетом начальных условий. Поскольку экспонента сложная , решение представляет собой синусоидальный переменный ток . Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен быть действительным. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно сопряженными :

Теперь позвольте

Следовательно,

Далее мы можем использовать формулу Эйлера для получения действительной синусоиды с амплитудой I 0 , угловой частотой ω 0 = 1/LC, и фазовый угол .

Таким образом, полученное решение становится

Первоначальные условия

Начальные условия, которые удовлетворяли бы этому результату, следующие:

Последовательная схема

Последовательная цепь LC

В последовательной конфигурации LC-цепи катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Общее напряжение V на открытых клеммах - это просто сумма напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I на положительном выводе схемы равен току через конденсатор и катушку индуктивности.

Резонанс

Величина X L индуктивного сопротивления увеличивается с увеличением частоты, а величина X C емкостного реактивного сопротивления уменьшается с увеличением частоты. На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны по величине, но противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f 0 для данной цепи.

Следовательно, при резонансе

Решая относительно ω , имеем

которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразуя угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах), мы получаем

В последовательной конфигурации X C и X L компенсируют друг друга. В реальных, а не идеализированных компонентах току противодействует, в основном, сопротивление обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, максимален при резонансе.

  • В пределе ff 0 ток максимален. Сопротивление цепи минимальное. В этом состоянии цепь называется приемной цепью.
  • Для е < е 0 , X L «- X C . Следовательно, цепь емкостная.
  • Для е > е 0 , X L »- X C . Следовательно, цепь индуктивна.

Импеданс

В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексное электрическое сопротивление цепи приближается к нулю.

Сначала рассмотрим полное сопротивление последовательной LC-цепи. Полный импеданс определяется суммой индуктивного и емкостного сопротивлений:

Записывая индуктивное сопротивление как Z L = jωL и емкостное сопротивление как Z C =1/jωC и замена дает

Запись этого выражения под общим знаменателем дает

Наконец, определяя собственную угловую частоту как

импеданс становится

Числитель означает, что в пределе ω → ± ω 0 полный импеданс Z будет равен нулю, а в противном случае отличен от нуля. Следовательно, последовательный LC-контур при последовательном включении с нагрузкой будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевой импеданс на резонансной частоте LC-контура.

Параллельная схема

Параллельная LC-цепь

Когда катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) подключены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых выводах равно как напряжению на катушке индуктивности, так и напряжению на конденсаторе. Полный ток I, протекающий через положительный вывод схемы, равен сумме тока, протекающего через катушку индуктивности, и тока, протекающего через конденсатор:

Резонанс

Когда X L равно X C , два тока ответвления равны и противоположны. Они компенсируют друг друга, чтобы получить минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и катушкой индуктивности циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но на самом деле он ограничен сопротивлением в цепи, особенно сопротивлением обмоток индуктора. Так как общий ток минимален, в этом состоянии полное сопротивление будет максимальным.

Резонансная частота определяется выражением

Обратите внимание, что любой ток ветви не является минимальным при резонансе, но каждый определяется отдельно путем деления напряжения источника ( V ) на реактивное сопротивление ( Z ). Следовательно, I =V/Z, по закону Ома .

  • При f 0 линейный ток минимален. Полный импеданс максимальный. В этом состоянии схема называется схемой отбраковки .
  • Ниже f 0 цепь индуктивная.
  • Выше f 0 цепь емкостная.

Импеданс

Тот же анализ может быть применен к параллельной LC-цепи. Общий импеданс тогда определяется как

и после замены Z L = jωL и Z C =1/jωC и упрощение, дает

С использованием

это еще больше упрощает

Обратите внимание, что

но для всех остальных значений ω импеданс конечен. Параллельный LC-контур, включенный последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечный импеданс на резонансной частоте LC-контура. Параллельная LC-цепь, подключенная параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр .

Решение Лапласа

LC-цепь может быть решена с помощью преобразования Лапласа .

Пусть общее уравнение будет:

Пусть дифференциальное уравнение серии LC имеет вид:

С начальным состоянием:

Определим:

Дает:

Преобразование с помощью Лапласа:

Тогда антитрансформация:

Если входное напряжение является ступенчатой ​​функцией Хевисайда :

Если входное напряжение является синусоидальной функцией:

История

Первое свидетельство того, что конденсатор и индуктор могут вызывать электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжалась через проволоку, намотанную вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно пришел к выводу, что это было вызвано затухающим колеблющимся током разряда в проводе, который менял намагниченность иглы назад и вперед до тех пор, пока она не становилась слишком маленькой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в произвольном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, по-видимому, независимо. Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и определил его резонансную частоту. Британский радиоисследователь Оливер Лодж , разрядив большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который создавал музыкальный тон из искры при ее разряде. В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, создаваемую резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимые свидетельства колебаний. В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вычислил эффект приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, в которой показана зависимость длины искры, получаемой от его детекторов LC-резонатора с искровым разрядником, от частоты.

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными цепями был эксперимент Лоджа с «синтонными сосудами» около 1889 года. Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденского сосуда, подключенного к регулируемой однооборотной катушке с искровым разрядником. Когда высокое напряжение от индукционной катушки прикладывалось к одному настроенному контуру, создавая искры и, следовательно, колеблющиеся токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочли термин « синтония » для этого эффекта, но термин « резонанс » в конце концов прижился. Первое практическое использование LC-цепей было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым разрядником, что позволило настраивать приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, позволяющую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки