Теорема Лагранжа о четырех квадратах - Lagrange's four-square theorem

Достаточно доказать теорему для любого нечетного простого числа p . Это немедленно следует из четырехквадратного тождества Эйлера (и из того факта, что теорема верна для чисел 1 и 2).

Остатки в ² по модулю р различны для каждого а между 0 и ( р  - 1) / 2 (включительно). Чтобы увидеть это, потребуется некоторое а , и определим C , как в ² мод р . является корнем многочлена х ²  -  с над полем Z / р Z . То же самое и p  -  a (которое отличается от a ). В поле K любой многочлен степени n имеет не более n различных корней ( теорема Лагранжа (теория чисел) ), поэтому нет других a с этим свойством, в частности, не среди 0 - ( p  - 1) / 2 .

Аналогично, для b, принимающего целые значения от 0 до ( p  - 1) / 2 (включительно), - b ²  - 1 различны. По принципу "голубятни" в этом диапазоне есть a и b , для которых a ² и - b ²  - 1 равны по модулю p , то есть для которого

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + 1 ^ {2} + 0 ^ {2} = np.}$

Теперь пусть m будет наименьшим положительным целым числом такое, что mp является суммой четырех квадратов, x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² (мы только что показали, что существует m (а именно n ) с этим свойством , значит, есть хотя бы один m , и он меньше p ). Покажем от противного , что т равно 1: если предположить , что это не так, мы докажем существование положительного целого числа г меньше т , для которых тр также сумма четырех квадратов (это в духе бесконечного спуска методом Ферма).

С этой целью мы рассматриваем для каждого x _i значение y _i, которое находится в одном и том же классе вычетов по модулю m и между (- m  + 1) / 2 и m / 2 (возможно, включая). Отсюда следует, что y ₁ ²  +  y ₂ ²  +  y ₃ ²  +  y ₄ ²  =  mr для некоторого строго положительного целого числа r, меньшего  m .

Наконец, еще одно обращение к тождеству Эйлера с четырьмя квадратами показывает, что mpmr  =  z ₁ ²  +  z ₂ ²  +  z ₃ ²  +  z ₄ ² . Но тот факт, что каждый x _i конгруэнтен своему соответствующему y _i, означает, что все z _i делятся на m . Действительно,

${\ displaystyle {\ begin {cases} z_ {1} & = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} + x_ {4} y_ {4} & \ Equiv x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} & = mp \ Equiv 0 & {\ pmod {m} }, \\ z_ {2} & = x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} + x_ {3} y_ {4} -x_ {4} y_ {3} & \ Equiv x_ { 1} x_ {2} -x_ {2} x_ {1} + x_ {3} x_ {4} -x_ {4} x_ {3} & = 0 & {\ pmod {m}}, \\ z_ {3} & = x_ {1} y_ {3} -x_ {2} y_ {4} -x_ {3} y_ {1} + x_ {4} y_ {2} & \ Equiv x_ {1} x_ {3} -x_ {2} x_ {4} -x_ {3} x_ {1} + x_ {4} x_ {2} & = 0 & {\ pmod {m}}, \\ z_ {4} & = x_ {1} y_ { 4} + x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {1} & \ Equiv x_ {1} x_ {4} + x_ {2} x_ {3} - x_ {3} x_ {2} -x_ {4} x_ {1} & = 0 & {\ pmod {m}}. \ end {cases}}}$

Отсюда следует , что при ш _я = г _я / м , ш ₁ ²  +  ш ₂ ²  +  ш ₃ ²  +  ш ₄ ²  =  тр , и это находится в противоречии с минимальности  м .

В приведенном выше спуске мы должны исключить как случай y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m / 2 (что дало бы r = m и отсутствие спуска), так и случай y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (что даст r = 0, а не строго положительное). В обоих случаях можно проверить, что mp = x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² будет делиться на m ² , что противоречит тому факту, что p является простым числом больше m .

Кватернионы Гурвица состоят из всех кватернионов с целочисленными компонентами и всех кватернионов с полуцелыми компонентами. Эти два набора можно объединить в одну формулу

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2}} E_ {0} (1+ \ mathbf {i} + \ mathbf {j} + \ mathbf {k}) + E_ {1} \ mathbf {i } + E_ {2} \ mathbf {j} + E_ {3} \ mathbf {k} = a_ {0} + a_ {1} \ mathbf {i} + a_ {2} \ mathbf {j} + a_ {3 } \ mathbf {k}}$

где целые числа. Таким образом, кватернионными компонентами являются либо все целые числа, либо все полуцелые числа, в зависимости от того , четное или нечетное, соответственно. Набор кватернионов Гурвица образует кольцо ; то есть сумма или произведение любых двух кватернионов Гурвица также является кватернионом Гурвица. ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3}}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}}$${\ displaystyle E_ {0}}$

(Арифметическая, или поле) норма рационального кватерниона является неотрицательным рациональным числом${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ альфа)}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha) = \ alpha {\ bar {\ alpha}} = a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2}}$

где это конъюгат из . Обратите внимание, что норма кватерниона Гурвица всегда является целым числом. (Если коэффициенты являются полуцелыми числами, то их квадраты имеют форму , а сумма четырех таких чисел является целым числом.) ${\ displaystyle {\ bar {\ alpha}} = a_ {0} -a_ {1} \ mathbf {i} -a_ {2} \ mathbf {j} -a_ {3} \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} + n: n \ in \ mathbb {Z}}$

Поскольку умножение кватернионов является ассоциативным, а действительные числа коммутируют с другими кватернионами, норма произведения кватернионов равна произведению норм:

${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha \ beta) = \ alpha \ beta ({\ overline {\ alpha \ beta}}) = \ alpha \ beta {\ bar {\ beta}} {\ bar {\ alpha }} = \ alpha \ mathrm {N} (\ beta) {\ bar {\ alpha}} = \ alpha {\ bar {\ alpha}} \ mathrm {N} (\ beta) = \ mathrm {N} (\ альфа) \ mathrm {N} (\ beta).}$

Для любого , . Отсюда легко следует, что является единицей в кольце кватернионов Гурвица тогда и только тогда, когда . ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$${\ displaystyle \ alpha ^ {- 1} = {\ bar {\ alpha}} \ mathrm {N} (\ alpha) ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ альфа) = 1}$

Доказательство основной теоремы начинается с сведения к случаю простых чисел. Тождество Эйлера с четырьмя квадратами означает, что если теорема Лангранжа о четырех квадратах верна для двух чисел, она верна для произведения двух чисел. Поскольку любое натуральное число можно разложить на степени простых чисел, достаточно доказать теорему для простых чисел. Это верно для . Чтобы показать это для нечетного простого целого числа p , представьте его как кватернион и предположим пока (как мы покажем позже), что это не гурвицево неприводимое ; то есть его можно разложить на два неединичных кватерниона Гурвица ${\ displaystyle 2 = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2}}$${\ displaystyle (p, 0,0,0)}$

${\ displaystyle p = \ alpha \ beta.}$

Нормы являются целыми числами, такими что ${\ displaystyle p, \ alpha, \ beta}$

${\ Displaystyle \ mathrm {N} (p) = p ^ {2} = \ mathrm {N} (\ alpha \ beta) = \ mathrm {N} (\ alpha) \ mathrm {N} (\ beta)}$

и . Это показывает, что оба и равны p (поскольку они целые числа), а p - сумма четырех квадратов. ${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ альфа), \ mathrm {N} (\ beta)> 1}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ альфа)}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ бета)}$

${\ displaystyle p = \ mathrm {N} (\ alpha) = a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} .}$

Если случится так, что у выбранного есть полуцелые коэффициенты, его можно заменить другим кватернионом Гурвица. Выбирайте таким образом, чтобы коэффициенты были четными. потом ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega = (\ pm 1 \ pm \ mathbf {i} \ pm \ mathbf {j} \ pm \ mathbf {k}) / 2}$${\ Displaystyle \ гамма \ эквив \ омега + \ альфа}$

${\ displaystyle p = ({\ bar {\ gamma}} - {\ bar {\ omega}}) \ omega {\ bar {\ omega}} (\ gamma - \ omega) = ({\ bar {\ gamma} } \ omega -1) ({\ bar {\ omega}} \ gamma -1).}$

Поскольку имеет четные целые коэффициенты, будет иметь целые коэффициенты и может использоваться вместо оригинала для представления p в виде суммы четырех квадратов. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle ({\ bar {\ omega}} \ gamma -1)}$${\ displaystyle \ alpha}$

Что касается доказательства того, что p не является неприводимым по Гурвицу, Лагранж доказал, что любое нечетное простое число p делит по крайней мере одно число вида , где l и m - целые числа. Это можно увидеть следующим образом: поскольку p простое число, может выполняться для целых чисел , только когда . Таким образом, набор квадратов содержит различные вычеты по модулю p . Точно так же содержит остатки. Так как всего p вычетов и , множества X и Y должны пересекаться. ${\ displaystyle u = 1 + l ^ {2} + m ^ {2}}$${\ Displaystyle а ^ {2} \ эквив б ^ {2} {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle a, b}$${\ Displaystyle а \ эквив \ пм б {\ pmod {р}}}$${\ Displaystyle X = \ {0 ^ {2}, 1 ^ {2}, \ точки, ((p-1) / 2) ^ {2} \}}$${\ displaystyle (p + 1) / 2}$${\ displaystyle Y = \ {- (1 + x): x \ in X \}}$${\ displaystyle (p + 1) / 2}$${\ displaystyle | X | + | Y | = p + 1> p}$

Число u можно разложить на кватернионы Гурвица:

${\ displaystyle 1 + l ^ {2} + m ^ {2} = (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) (1-l \; \ mathbf {i} - m \; \ mathbf {j}).}$

Норма на кватернионах Гурвица удовлетворяет одной из форм евклидовости : для любого кватерниона с рациональными коэффициентами мы можем выбрать кватернион Гурвица так, чтобы , сначала выбрав так это, а затем так, что для . Тогда получаем ${\ displaystyle \ alpha = a_ {0} + a_ {1} \ mathbf {i} + a_ {2} \ mathbf {j} + a_ {3} \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ beta = b_ {0} + b_ {1} \ mathbf {i} + b_ {2} \ mathbf {j} + b_ {3} \ mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ альфа - \ бета) <1}$${\ displaystyle b_ {0}}$${\ displaystyle | a_ {0} -b_ {0} | \ leq 1/4}$${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}}$${\ displaystyle | a_ {i} -b_ {i} | \ leq 1/2}$${\ Displaystyle я = 1,2,3}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {N} (\ alpha - \ beta) & = (a_ {0} -b_ {0}) ^ {2} + (a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3} -b_ {3}) ^ {2} \\ & \ leq \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {13} {16}} <1. \ end {align}}}$

Отсюда следует, что для любых кватернионов Гурвица с существует кватернион Гурвица такой, что ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ mathrm {N} (\ бета - \ альфа \ гамма) <\ mathrm {N} (\ alpha).}$

Кольцо H кватернионов Гурвица не коммутативно, следовательно, оно не является действительной евклидовой областью и не имеет однозначной факторизации в обычном смысле. Тем не менее из указанного выше свойства следует, что каждый правый идеал является главным . Таким образом, существует кватернион Гурвица такой, что ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ альфа H = pH + (1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}) H.}$

В частности, для какого-то кватерниона Гурвица . Если бы была единица, то было бы кратно p , однако это невозможно, так как это не кватернион Гурвица для . Точно так же, если бы мы были единицей, у нас было бы ${\ Displaystyle р = \ альфа \ бета}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle 1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}}$${\ displaystyle 1 / pl / p \; \ mathbf {i} -m / p \; \ mathbf {j}}$${\ displaystyle p> 2}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) H = (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) pH + (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) (1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}) H \ substeq pH}$

поэтому p делится , что снова противоречит тому факту, что не является кватернионом Гурвица. Таким образом, p не является неприводимым по Гурвицу, как утверждается. ${\ Displaystyle 1 + л \; \ mathbf {я} + м \; \ mathbf {j}}$${\ displaystyle 1 / pl / p \; \ mathbf {i} -m / p \; \ mathbf {j}}$